円周率は3,141592……

などといいますが、

どのような式から出ている答えなんですか?

知ってる方、教えてください。

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A 回答 (3件)

 


最も簡単な式は
円周÷直径

他には
マチンの式 π/4=4atn(1/5)-atn(1/239)
ハットンの式 π/4=3atn(1/4)+atn(5/99)
オイラーの式 π/4=atn(1/2)+atn(1/3)
ベガの式 π/4=4atn(1/5)-2atn(1/408)+atn(1/1393)
ダーゼの式 π/4=atn(1/2)+atn(1/5)+atn(1/8)
ガウスの式 π/4=12atn(1/18)+8atn(1/57)-5atn(1/239)
ラザフォードの式 π/4=4atn(1/5)-atn(1/70)+atn(1/99)
クリンジェンシェルナの式 π/4=8atn(1/10)-atn(1/239)-4atn

など

 
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この回答へのお礼

こんなにたくさん式があるんですね!
円周÷直径
なるほど、という感じです。
ありがとうございました。

お礼日時:2008/12/07 17:07

現在は、無限級数展開を利用する方法が一般的ですが、アルキメデスは円に内接、外接する正多角形の周長で計算し、3桁求めるのがせいぜいでした。


しかし、今はコンピューターの時代です。アルキメデスの方法でも、50桁や100桁は一瞬にして求めることができます。
これ↓は今、アルキメデスの方法によって求めた値の一部です。(正6*2^ 100角形で計算しました。)
3.14159265358979323846264338327950288419716939937510582097494450・・・
誰でも、家にいながら一瞬にしてこの計算ができるのですから、すごい時代になったものだと感心させられます。
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この回答へのお礼

アルキメデスは聞いた事がありましたが、そういう事だったんですね。
コンピューターってすごいですね!
ありがとうございました。

お礼日時:2008/12/09 16:33

色々ありますが、早く正確に求めるならarcsinのテイラー展開に1/2を代入して6を掛ける方法があります。


ここでは式が複雑になって説明しにくいので、以下のURLを参照してください。

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%86%86%E5%91%A8% …
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%86%86%E5%91%A8% …
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この回答へのお礼

わかりやすいURLまでありがとうございます。
歴史までよくわかりました!

お礼日時:2008/12/09 16:31

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Q円周率の計算式って何ですか?

3.141592・・・と円周率がありますが、円周率ってどういう式をたてて計算すればあんなものが出てくるんでしょうか?

それともここでは回答できないような相当複雑で難しい式なのですか?

Aベストアンサー

円周と直径を測って 円周÷直径 で円周率を求められます。
計測に誤差があっては正確な答えは出ません。

Q円周から半径を求める

タイトルのまんまなんですけれど、
円周から半径を求める方法があったと思うんですけど、
すっかり忘れてしまっているので教えて下さい。
円周率。ではないです。
例えば、円周73cmだったらその半径は何cmになるのか、その計算方法を知りたいのです。
とにかく数学が苦手なので、分かりやすく教えて頂けたら幸いです。

Aベストアンサー

直径×円周率=円周
なので、
直径=円周÷円周率
直径=半径×2なので
半径×2=円周÷円周率
半径=円周÷円周率÷2
です!

Q表計算(エクセル)で、円周率の近似値を求めようとすると・・・

コンピュータのカテゴリに書き込もうかとも迷いました。
場違いでしたらすみません。

表計算ソフト(エクセル)で、遊びで円周率の近似をやってみることにしました。半径=0.5の円に内接する正多角形の周の長さを求めるやり方です。半径=0.5にしたのは、直径1の円の円周率は、周の長さをそのまま円周率とすることができるからという理由からです。

半径0.5の円に内接する正多角形の隣り合う2点ABと円の中心Oとを結んで出来る二等辺三角形OABの辺ABの長さは、
=√(0.5^2+0.5^2-2*0.5*0.5*cos∠AOB)(余弦定理)
=√(0.5^2*2*(1-cos∠AOB))

エクセルでの具体的な計算の仕方
(1)
A1セルに「=3」
B1セルに「=SQRT(0.5^2*2*(1-COS(RADIANS(360/A1))))*A1」
※これでA2セルには、半径0.5の円に内接する正三角形の周の長さが表示されます。

(2)
A2セルに「=A1+1」
B2セルに「=SQRT(0.5^2*2*(1-COS(RADIANS(360/A2))))*A2」

(3)
A2、B2を選択して、下方向へオートフィルします。

オートフィルを続ければ続けるほど、正n角形のnが増大するので、3.14にB列に表示される数値は、”下の行に行くほどどんどん円周率πに近づく”はずです。

なのに、正4316角形と正4317角形(セルB4315とセルB4315)では、
正4316角形の周の長さ=3.14159237622779
正4317角形の周の長さ=3.14159237622464
となっており、正4316角形の周の長さよりも正4315角形の周の長さのほうが長いことになっています。

正∞角形の周の長さ÷直径=円周率というのは、数学の教科書にも載っているようなことなので、”下の行に行くほどどんどん円周率πに近づく”という考え方自体は間違っていないと思うのですが・・・

コンピュータの限界とか、そういう問題でしょうか?

コンピュータのカテゴリに書き込もうかとも迷いました。
場違いでしたらすみません。

表計算ソフト(エクセル)で、遊びで円周率の近似をやってみることにしました。半径=0.5の円に内接する正多角形の周の長さを求めるやり方です。半径=0.5にしたのは、直径1の円の円周率は、周の長さをそのまま円周率とすることができるからという理由からです。

半径0.5の円に内接する正多角形の隣り合う2点ABと円の中心Oとを結んで出来る二等辺三角形OABの辺ABの長さは、
=√(0.5^2+0.5^2-2*0.5*0.5*cos∠AOB)(余弦定...続きを読む

Aベストアンサー

 1-cosは、角度が小さいときには、cosがほとんど1に近くなるため、この式のまま計算すると、桁落ちが起ります。また、この数列は先に行くほど√の中が1に近くなるので、ここでも精度が減少します。
 結局、15桁使って計算しても、結果の精度はその半分の7桁程度になってしまいます。その上、4000回計算しても7桁の精度しか得られないので、この計算式は非常に能率が悪いといわざるを得ません。アルキメデスがこの式を使ってπを3桁までしか計算できなかったのもわかるというものです。
参考URLにいろいろな式があげてあるので、どれがよいか試してみてはいかがでしょうか?

参考URL:http://oshiete1.goo.ne.jp/qa4536688.html

Q数学のレポートについて・・・(中学1年です)

数学の宿題でレポートがでました。
円周率のことについてしらべることにしました
こんなかんじってよくないんですか?
アドバイスお願いします!
あと、色ペンって使った方がいいですか?




調べてみたいこと
 ・円周率について
  (円周率=πになったのはなぜか
   円周率は本当に3.14・・・・か
   自分でどこまで円周率の暗記世界記録まで近づけるかetc.)

こういうことをしらべます

ちなみに円周率は本当に3.14・・・かは
レポート用紙に円を描き
その円の上に毛糸をおきその長さをはかって
円周÷直径をします。


このやりかたってどうおもいますか・・・?

それと、調べてみたいことが多いですかね・・・・
一つに絞った方がいいですか?


他にもいろいろ教えてください!
早めの回答よろしくおねがいいたします!

Aベストアンサー

>>ちなみに円周率は本当に3.14・・・かはレポート用紙に円を描きその円の上に毛糸をおきその長さをはかって円周÷直径をします。

そのやり方では、正確に求まらないと思いますよ。僕のアイデアは、全部教えては面白くないから、ヒントだけ言わせてもらえば、丸い缶(ジュースの缶、海苔の缶…)を糸で巻いて円周を…でわかるかな?

後、円周率にはいろんな求め方があること、計算された桁数の歴史、現在、何桁まで計算されているか、暗記の世界記録はどういう風に塗り替えられてきたか、覚え方の語呂合わせは、なども、調べる対象になる。自分が興味あることを、4,5個に絞って調べてみれば。

挑戦といっても、円周率暗唱の世界記録は、10万桁!

QNをkgに換算するには?

ある試験片に40kgの重りをつけた時の荷重は何Nをかけてあげると、重り40kgをつけたときの荷重と同等になるのでしょうか?一応断面積は40mm^2です。
1N=9.8kgfなので、「40kg=N×0.98」でいいのでしょうか?
ただ、式の意味がイマイチ理解できないので解説付きでご回答頂けると幸いです。
どなたか、わかる方よろしくお願いします。

Aベストアンサー

こんにちは。

kgfはSI単位ではないですが、質量の数値をそのまま重さとして考えることができるのがメリットですね。


>>>
ある試験片に40kgの重りをつけた時の荷重は何Nをかけてあげると、重り40kgをつけたときの荷重と同等になるのでしょうか?

なんか、日本語が変ですね。
「ある試験片に40kgの重りをつけた時の引っ張りの力は何Nの力で引っ張るのと同じですか?」
ということですか?

・・・であるとして、回答します。

40kgのおもりなので、「おもりにかかる重力」は40kgfです。

重力は万有引力の一種ですから、おもりにも試験片にも、地球からの重力はかかります。
しかし、試験片の片方が固定されているため、見かけ、無重力で、試験片だけに40kgfの力だけがかかっているのと同じ状況になります。

試験片にかかる引っ張り力は、

40kgf = 40kg×重力加速度
 = 40kg×9.8m/s^2
 = だいたい400N

あるいは、
102グラム(0.102kg)の物体にかかる重力が1Nなので、
40kg ÷ 0.102kg/N = だいたい400N


>>>1N=9.8kgfなので、「40kg=N×0.98」でいいのでしょうか?

いえ。
1kgf = 9.8N
ですね。


>>>一応断面積は40mm^2です。

力だけでなく、引っ張り応力を求めたいのでしょうか。
そうであれば、400Nを断面積で割るだけです。
400N/40mm^2 = 10N/mm^2 = 10^7 N/m^2
1N/m^2 の応力、圧力を1Pa(パスカル)と言いますから、
10^7 Pa (1千万パスカル) ですね。

こんにちは。

kgfはSI単位ではないですが、質量の数値をそのまま重さとして考えることができるのがメリットですね。


>>>
ある試験片に40kgの重りをつけた時の荷重は何Nをかけてあげると、重り40kgをつけたときの荷重と同等になるのでしょうか?

なんか、日本語が変ですね。
「ある試験片に40kgの重りをつけた時の引っ張りの力は何Nの力で引っ張るのと同じですか?」
ということですか?

・・・であるとして、回答します。

40kgのおもりなので、「おもりにかかる重力」は40kg...続きを読む

Qアルキメデスが円周率を計算したやり方は?

Blue Backs「パソコンで挑む円周率」で教えられたのですが、世界で最初に円周率を計算により求めたのはアルキメデスとのことです。彼は円に内接・外接する正96角形の周の長さから円周率の近似値を計算し、3.14までは正確に求めたとのことです。

大変ためになる情報ですが、残念ながら私には正96角形の周の長さを求めるやり方が分かりません。アルキメデスは三角関数を知っていたのですか?
三角関数を知っているとしても、それを計算できたのでしょうか。

たぶん簡単なやり方があるのでしょうが、どなたか親切な方、教えてください。

Aベストアンサー

#2fushigichanです。お返事ありがとうございます。

>正12角形の場合は角AOC=30°なのでx=1/2と分かるのですが、正24角形は15°ではxは何になるのですか。

角AOC=30度であるから、と書いちゃったので
角度からしか求められないように誤解を与えてしまったみたいで、すみません。

もう一度、正12角形に戻ります。
二等辺三角形の頂角の二等分線(ここでは、線分OM=OC)は
底辺を二等分する、ということが分かっていますから
AM=BM
また、
AB⊥OM=OCですね。
ここで、三角形AOMと三角形CAMでそれぞれ
ピタゴラスの定理を使います。

三角形AOMにおいて、
AM=1/2AB=1/2←この時点で、もうxは求まっています。
あとは、MC=yとおいたので、
OA^2=AM^2+OM^2
1=(1/2)^2+(1-y)^2
これを解けば、yが求まります。

次に、三角形CAMにおいて、同様にピタゴラスの定理より
CA^2=AM^2+CM^2
a^2=(1/2)^2+y^2
ここに、先程求めたyの値を代入してやれば、aの値も求まります。

これによって、12a=内接正12角形の周囲
と求められます。

これをさらに2等分、2等分・・としていくと
同様に正多角形の周囲が求められていくと思います。

ちょっとやってみます。
先程の12角形の12分の1の三角形は、三角形OACでした
便宜上、AC=aのままとします。
角AOCの二等分線は、線分ACと直交し、二等分するので
線分ACの中点をNとします。
ONの延長線と円の交点をDとします。
今度は、AD=bとおいて、bの値を求めれば
これは正24角形なので、24b=正24角形の周囲、となりますね。

OA=OC=1
AC=aより、AN=a/2
ND=xとおくと、
三角形AONにおいて、
1^2=(a/2)^2+(1-x)^2・・・(1)
三角形DANにおいて、
b^2=(a/2)^2+x^2・・・(2)

まず、(1)の式から、xが求められますね。
そのxの値を(2)に代入することで、bも求められます。
ここでaというのは、先程求めた正12角形のACの長さです。

このように、順番に、二つの三角形の
ピタゴラスの定理だけで、長さを確定していくことができます。
これを繰り返してアルキメデスは正96角形までを計算したんですね。

ご参考になればうれしいです。

#2fushigichanです。お返事ありがとうございます。

>正12角形の場合は角AOC=30°なのでx=1/2と分かるのですが、正24角形は15°ではxは何になるのですか。

角AOC=30度であるから、と書いちゃったので
角度からしか求められないように誤解を与えてしまったみたいで、すみません。

もう一度、正12角形に戻ります。
二等辺三角形の頂角の二等分線(ここでは、線分OM=OC)は
底辺を二等分する、ということが分かっていますから
AM=BM
また、
AB⊥OM=OCですね。
ここで、...続きを読む

Q円周と直径について

数学について全くの素人です。
円周から直径を求めることは可能ですか?
もし公式のようなものがあれば教えて下さい。

Aベストアンサー

直径は「円周÷π」
πは3.1415

Q円周(率)の計算方法

文系人間です。
高校の数学は、計算問題は解けるけど…といったレベルでした。

円周率は、「円周÷直径」と習いました。
しかし、実生活において円周や直径を実測しようと思ったら、
定規や巻き尺を使ってせいぜい10分の1ミリまでが限界です。
それで正確な(小数点以下何兆ケタの)円周率が算出できるとは思えません。

ということは円周も計算式で求めなければならないということです。
で、円周は、「直径×円周率」…これでは堂々巡りですね。
円周を円周率を使わずに求める方法ってあるんでしょうか。
ある値の近似値ってその値そのものですか?

小数点以下何兆ケタの円周率を算出する公式は調べれば出てくると思いますが、
その公式が意味するところは、一般人にも分かるように説明できるのでしょうか。
また、そのような公式は、円周と関係あるのでしょうか、ないのでしょうか。
円周と関係ないとしたら、どうして定義から離れたところで、円周率が算出できるのでしょうか。

円周率に対するもやもやした気持ちを言葉にすること自体が難しいのですが、
あえて質問にするとしたらこんな形です。
推察するに聞きたいことはそうじゃないだろ、というご意見でも結構です。
よろしくお願いいたします。

文系人間です。
高校の数学は、計算問題は解けるけど…といったレベルでした。

円周率は、「円周÷直径」と習いました。
しかし、実生活において円周や直径を実測しようと思ったら、
定規や巻き尺を使ってせいぜい10分の1ミリまでが限界です。
それで正確な(小数点以下何兆ケタの)円周率が算出できるとは思えません。

ということは円周も計算式で求めなければならないということです。
で、円周は、「直径×円周率」…これでは堂々巡りですね。
円周を円周率を使わずに求める方法ってあるんでしょうか。
ある値...続きを読む

Aベストアンサー

 数式見ただけで頭が痛くなるのは単に算数が苦手だからであって、「文系人間」だからじゃないでしょう。いや、円周率なんぞに興味をお持ちであるとなると、どうやら「文系人間」ではないということじゃありませんかね。
 と、冗談はさておき、アルキメデスは正96角形まで計算したそうです。正6角形からはじめて、正12角形,正24角形,正48角形,正96角形とやった。この数字がなぜ倍倍になっているかと言いますと:
 半径1の円に内接する正6角形を考え、中心から頂点に線をひく。すると、ひいた線同士のなす角度が360度の1/6(つまり60度)になります。また、正6角形の辺の長さは円の半径と同じであり、従って1です。
 次に、円に内接する正12角形の中心から頂点に線をひく。すると、ひいた線同士のなす角度が360度の1/12(つまり30度)になります。このとき、正12角形の辺の長さがいくらになるかが問題です。ここで、ある角度(この場合60度)での辺の長さが分かっていれば、ある公式を使って、その半分の角度(30度)に対応する辺の長さが計算できるんです。つまり、正6角形の辺の長さが1だと分かっているから、正12角形の辺の長さも計算で分かる。
 これを繰り返して行くと、次は正24角形、その次は正48角形、となるわけです。
 円に外接する正多角形の辺の長さを計算する方も「ある角度での辺の長さが分かっていれば、ある公式を使って、その半分の角度に対応する辺の長さが計算できる」という仕組みを利用することは同じです。

 さて、「円に内接する正n角形の辺の長さの合計は、nを大きくして行くに連れてどんどん長くなる」ことは明らかですし、さらに、「円に内接する正n角形の辺の長さの合計は円周の長さより長くはならない」ということも明らかです。なぜなら、円周をたどるより、内接する多角形の辺をまっすぐたどる方が短いから。従って、nをどんどん大きくしながら、半径1/2の円に内接する正n角形の辺の長さを計算して行けば、答はちょっとずつ大きくなりながら円周率に近づいて行きますが、円周率より大きい答は出ません。
 また、「円に外接する正n角形の辺の長さの合計が、nを大きくして行くに連れてどんどん短くなる」のは簡単に分かることです。しかし、「円に外接する正n角形の辺の長さの合計が、円周の長さより短くはならない」ということは、(アルキメデスの時代には当たり前だと考えられていたのですが、)実はそれほど明らかではなくて、「そもそも曲線の長さってどういうことか」という所から考え直して証明を組み立てる必要がありました。でも、結局これも正しいと分かった。なので、nをどんどん大きくしながら、半径1/2の円に外接する正n角形の辺の長さを計算して行けば、答はちょっとずつ小さくなりながら円周率に近づいて行きます。
 さらに、円に内接する正n角形の辺の長さの合計と、円に外接する正n角形の辺の長さの合計とが、nを無限に大きくして行ったときに同じ値(円周率)に至る、ということもまた、自明ではありませんで、証明を必要とします。

 数式見ただけで頭が痛くなるのは単に算数が苦手だからであって、「文系人間」だからじゃないでしょう。いや、円周率なんぞに興味をお持ちであるとなると、どうやら「文系人間」ではないということじゃありませんかね。
 と、冗談はさておき、アルキメデスは正96角形まで計算したそうです。正6角形からはじめて、正12角形,正24角形,正48角形,正96角形とやった。この数字がなぜ倍倍になっているかと言いますと:
 半径1の円に内接する正6角形を考え、中心から頂点に線をひく。すると、ひいた線同士のなす角度が3...続きを読む

Q円の周長を測りたいんです。単純には外径×円周率で算出されると思うのです

円の周長を測りたいんです。単純には外径×円周率で算出されると思うのですが、他に計算する方法はありますか?外径2000のパイプの周長を計らなければならないのですが、いい方法が見つかりません。

Aベストアンサー

高所作業になるのを避けて、遠隔で測りたいのであれば、
直接に周長を測るよりも、直径を計って、質問文中の式で
計算するほうが良さそうです。離れた場所から直径を計る
のには、測量の器具・技術が使えるかも知れません。

Q平米数の求め方

タイトルの通り平米数の出し方を教えてください。

Aベストアンサー

rt02060825さん、こんにちは。

>縦が129cmで横が345cmです。
単純に縦と横をかければ平米数は出るのですか?

出ます。
面積ですから、縦×横ですね。

ただし、平米というのは、平方メートルですから、
それぞれ、センチをメートル単位に直さないといけません。

縦129センチ→1.29m
横345センチ→3.45m
なので、

面積は1.29×3.45=4.4505平方メートル=平米

ということになります。


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