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『曲線 y=x^2/2 (0≦x≦1) の長さを求めよ。』という問題です。
以下のように解いてみました。
曲線の長さをSとすると,
S=∫√{1+(dy/dx)^2}dxなので,
S=∫[0→1]√(1+x^2)dx
x=tanθと置くと,
S=∫[0→π/4](1/cos^3θ)dθ=∫[0→π/4]{1/(1-sin^2θ)cosθ}dθ
さらにt=sinθと置くと,
S=∫[0→1/√2]1/(1-t^2)^2dt=∫[0→1/√2]1/(1-t)^2・(1+t)^2dt
=∫[0→1/√2]{1/2(1-t)^2+1/2(1+t)^2}dt=[1/2(1-t)-1/2(1+t)][0→1/√2]
=√2

となったんですが添削をお願いします。

A 回答 (3件)

回答が遅くなってすみません。



>∫√(x^2+a)dx = 1/2{√(x^2+a)+a log|x+√(x^2+a)|}を使って解いた答えは,(1+√2)/2+log(1+√2)でいいんですか?

(1+√2)/2はどこから出てきたのでしょうか…?
公式を用いると
S=∫√{1+(dy/dx)^2}dx
=∫[0→1]√(1+x^2)dx
=[1/2{√(x^2+1)+log|x+√(x^2+1)|}][0→1]
ですよ。


>証明は、t=x+√(x^2+a)と置いて積分してみてください。
>というのはどこでの証明になるのでしょうか?

説明が不十分ですみませんでした。これは公式
∫√(x^2+a)dx = 1/2{√(x^2+a)+a log|x+√(x^2+a)|}
の証明で用いる置き換えです。
多分、知っていないとなかなかできない置き換えなので、一度証明をやってみてください。
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この回答へのお礼

何度もご説明いただきありがとうございました。

お礼日時:2008/12/13 14:35

部分分数分解の前までは合ってます。



参考までに
∫√(x^2+a)dx = 1/2{√(x^2+a)+a log|x+√(x^2+a)|}
が成り立ちます。これを使えば一発です。証明は、t=x+√(x^2+a)と置いて積分してみてください。

この回答への補足

重ね重ねの質問で申し訳ありませんが,

>∫√(x^2+a)dx = 1/2{√(x^2+a)+a log|x+√(x^2+a)|}を使って解いた答えは,(1+√2)/2+log(1+√2)でいいんですか?

>証明は、t=x+√(x^2+a)と置いて積分してみてください。
というのはどこでの証明になるのでしょうか?

補足日時:2008/12/11 22:25
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∫[0→1/√2]1/(1-t)^2・(1+t)^2dt=∫[0→1/√2]{1/2(1-t)^2+1/2(1+t)^2}dt


これは、本当に成り立ちますか?もう一度ご確認ください。
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