調和振動子のエネルギーは振動数に比例するらしいのですが

E=hνの式より、単振動エネルギーは振動数に比例するということが分かっているのですが、
質量mバネ定数k振幅Aにつながれた単振動のエネルギーは
E=(1/2)kA^2 ν=(1/2π)√(k/m)からkを求め、
E=2π^2mν^2A^2がわかり、ν^2とEが比例するようにみえます。

僕の読んだ本の結論では"あらゆる振動系において、Eはνに比例する"と書いてあります。
ということは、上の単振動のエネルギーもνに比例するはずです。
どうして上の式と辻褄が合わないのでしょうか？

当方、大学一年のため、分かりやすい説明をお願いします。
あと、参考になるサイトがあればそれもお願いします。

No.1 ベストアンサー 回答者： chiezo2005 回答日時： 2008/12/13 15:02

古典力学の単振動のエネルギーは振動数の2乗に比例します。

http://www7.plala.or.jp/stokida/l2h/tansindoe/no …

でその本に書いてある量子化の話は
http://www.phys.aoyama.ac.jp/~w3-furu/lecs/QMA20 …
だと思います。

古典力学では調和振動子の振幅は任意に取れるために，両者は独立に考えられるので，振幅が一定ならエネルギーは振動数の2乗に比例，振動数が一定なら振幅の２乗に比例となり独立に依存性を表現できます。
それが最初のHPの古典力学的な説明です。

一方，量子力学では振動が量子化されてしまうために，振動数と振幅が独立な値をとることができません。

つまり，調和振動子の一番低い振動数の振幅が決められてしまうので，
エネルギーが確定してしまうのです。
古典力学では調和振動子の一番低い振動数の振動は振幅を増やしていけば
エネルギーを増やすことができます。
逆に言えば，振幅を一定にして振動数を変えることができますから，
その場合のエネルギーは振動数の２乗に比例します。

ところが量子化された振動子では振動数で決まる特定の振幅しか
状態として存在しないことになり，そのエネルギーと振動数の関係が
比例関係にあることになります。

つまり，質問者様の疑問点は
１．自由度の大きい古典力学では振幅を一定にしたときの振動数のエネルギーの関係（２乗に比例）
２．自由度の少ない量子力学では振動数とエネルギーの関係（振幅が決まってしまうため１乗に比例）
の二つの考え方からきていることと思います。

量子化というのはしっかり理解するのが難しいので，いろいろ悩むことは
良いことだと思います。
がんばってください。

この回答へのお礼

非常にわかりやすいをありがとうございました。
量子力学においては、振動数を変化させると、振幅が変化してしまうのですね。
教養課程の授業ではありますが、昨今の素粒子ブームを理解するためにもできる限り理解を進めていきたいと思います。

お礼日時：2008/12/13 22:54