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学校で先生に
2つの自然数m,nの最大公約数をG,最小公倍数をL,とすると

m×n=G×L

と教わったのですが…
いまいちわかりません。
何故そうなるのか教えてください!

A 回答 (3件)

2つの自然数について考えると、


 m=a・G  ・・・(1)
 n=b・G  ・・・(2)
と表せて、aとbは互いに素となります。もし互いに素でなければa,bには2以上の公約数が存在することになり、その公約数をGに掛けたものもm、nの公約数。これはGより大きくなります。これはGが「最大」公約数であることと矛盾します。よってa,bは互いに素。

m、nを掛けたものmnは、明らかにmとnの公倍数ですが、これを「最小」にするには、mに掛ける数(またはnに掛ける数)をできるだけ小さくする必要があります。

ためしにmにbを掛けたものは、(1)によりa・b・Gとなり、これはb・G(=n)のa倍なので、m、nの公倍数。

仮に、bよりも小さな自然数pをmに掛けてnの倍数になるとすると、
 a・G・p=b・G・k (kは自然数)
  a・p=b・k  ・・・(3)
a、bは互いに素だから、pがbの倍数(ただし0は除く)でないと(3)は成立しない。ところが「pはbの倍数」は「pはbよりも小さい」と矛盾する。
以上からp=bのときにm、nの公倍数は最小となる。
 ∴L=a・b・G  ・・・(4)
(1)(2)(4)から
  m・n=G・L
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最大公約数がをGとすると、


 m = p * G
 n = q * G  (ただし、pとqはたがいに素)
とおけます。

すると、mとnの最小公倍数を求めると、
   G ) m n
     ---------
      p q
となりますから
 L = G * p * q
  = ( m * n ) / G

よって、m * n = G * L になります。
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m=G×a 、n=G×b(a,bは定数)と表わすことができます。


このとき、L=G×a×b となります。

m×n=(G×a)×(G×b)=G×G×a×b=G×(G×a×b)=G×L
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