ケーキが1つあります。これを2人で上手く分けるには、まず1人が同じ大きさになるように2つに切ります。次にもう1人が好きな方を取ります。こうすると、切った方は同じ大きさになるように切ったのですから、どちらを取られても文句は言えないわけです。
それでは、これが3人の場合やそれ以上の場合、どのようにすればいいのでしょうか?以前、解法を聞いたことがあるのですが忘れてしまいました。どなたか教えて下さい。

A 回答 (14件中11~14件)

余談ですが,道垣内正人著「自分で考えるちょっと違った法学入門」(有斐閣,1998年新版発行)にこの話が出ています。


「第1章 ケーキの分け方」です。ケーキの分け方をネタにして,政治や法律を考える,みたいな話で,なかなか面白いですよ。
たしかもともとはジュリスト(という月刊誌)に連載していた記事を単行本化したものだったと思います。
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benjaminさんの方法では、最初の1人がとった分が3分の1より多いんじゃないか、というクレームがでますので、のこりの2人に「これがほしい人」を聞く必要があります。

だれもいなければそのままもらう。1人が「ほしい」といえばその人に。2人とも「ほしい」といえば、その2人のうちの1人に残った部分切ってもらい、ほかの2人にとってもらう。
最初に切った人は、切った3分の1が正しいならば、あとで切ったほうのどちらかをとって文句はない(正しく等分できていなければどっちかが得)
残った部分を2人で1つずつ分け合えなければ、切っていない人に「大きい」と思うほうから「等分」になるよう切り取って「小さい」と思うほうに足す。それで2番目に切った人が好きなほうをとれば、丸く収まるし、切る回数も平等になります。

もっとスマートな方法もありそうですが、とりあえず。
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3人の場合。


ケーキは上手く3等分出来ないので、6等分して2個ずつとっていきます。

1.Aが二等分(半分)に切る
2.Bが四等分に切る
3.Cが六等分に切る

4.A→B→Cの順番で1個目を選ぶ
5.C→B→Aの順番で2個目を選ぶ


ん~。これでどうでしょうか?????
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3人の場合ですが,左から3分の1だと思う点を指し示します。

一番左の点を指した人がその点から左を取ります。この時点であとの2人は残りは3分の2より多いと思います。あとは2人の時の分け方を行ないないます。

N人になっても、N分の1だと思う点を示して,一番左の点を示した人がそこより左を取って、残りを(N-1)人でわけるということを繰り返して分けることができます。
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Q超難問なんですが数学詳しい方わかりますか?

ちょっと知人に聞かれてさっぱりなんですが
数学なんですが以下のようなものです
「私たちの店のシェフは不器用で、パンケーキを焼くと、みんな違った大きさになり 積み上げると変な風になってしまう だから 私がお客さんに出すとき テーブルに行くまでの間に、1番小さいパンケーキが1番上にきて 1番下に1番大きいパンケーキがくるように何枚かずつ並べ替えます パンケーキがn枚あるとすると 1番上から1番下まできれいに揃えるには最大何枚並べ替えなければならないか?」

ビルゲイツがハーバード時代に解法に寄与したという問題です
つもりとけなかったらしいです 当時のハーバードの教授も解けなかったそうです 今は解がでているかわかりません

Aベストアンサー

ANo.7 stomachmanです。
 他の回答に付けられたコメントを読んでいたら、引っこ抜いたブロックを裏返して載せる、という手もアリだと気がつきました。
つまり「手」とは、山
p = p[0]…p[i-1]p[i]p[i+1]…p[j]p[j+1]…p[n-1]

q = p[i]p[i+1]…p[j]p[0]…p[i-1]p[j+1]…p[n-1] (0<i≦j≦n-1)
に変換するか、もしくは
r = p[j]…p[i+1]p[i]p[0]…p[i-1]p[j+1]…p[n-1] (0≦i<j≦n-1)
に変換すること。
 この手を認めると、逆順の山はもちろん1手で整列できてしまう。

 なるほど、この場合に最短手数を求めるとなるとメンドそうですね。アプローチとしては、
(1) (ANo.7 の[1]にある「異常度」のような)「山の混乱度合いを測る尺度であって、変換によって最良でも1ずつしか減らないもの」を見つける。
(2) (ANo.7 の[2]のように)具体的な手順や最も手数が掛かる山の並べ方を見つけて、その手順が最短であること、山の並べ方が最悪であることを帰納法で証明する。
(3) 変換によって移り合う山の状態をグラフ(代数系)で表しておいて、その系の対称性を利用する。
などの方法を使うことになるだろうと思います。

 ところで、手数を数えるのではなく、(ご質問にあるように)「並べ替える枚数」だけを数えるのであれば、ANo.7 の[1]に帰着します。なぜなら、ブロックで引っこ抜こうが裏返そうが、それと同じことが1枚ずつ動かす手順でもできるからです。例えば、逆順の山を全部まとめてえいやっと裏返すのはn枚を並べ替えたことになるから、1枚ずつ動かす場合(n-1枚動かす)よりも並べ替えた枚数が多いということになります。

ANo.7 stomachmanです。
 他の回答に付けられたコメントを読んでいたら、引っこ抜いたブロックを裏返して載せる、という手もアリだと気がつきました。
つまり「手」とは、山
p = p[0]…p[i-1]p[i]p[i+1]…p[j]p[j+1]…p[n-1]

q = p[i]p[i+1]…p[j]p[0]…p[i-1]p[j+1]…p[n-1] (0<i≦j≦n-1)
に変換するか、もしくは
r = p[j]…p[i+1]p[i]p[0]…p[i-1]p[j+1]…p[n-1] (0≦i<j≦n-1)
に変換すること。
 この手を認めると、逆順の山はもちろん1手で整列できてしまう。

 なるほど、この場合に最短手数を求め...続きを読む

Q夏休みの自由研究 数学系の研究

中学1年生の男です。
夏休みの自由研究があって、数学系なものを
調べようと思います。
そこでノートを買ったんですが、僕の考えてる物だと
ノートに埋まらないと思って
他のを考えているんですが、思いつかなくて
考えているのは、

魔法陣
クロスワードパズル

だけなので
何か回答をしてくれると
ありがたいです。
皆さんのご回答お待ちしてます。

Aベストアンサー

 クロスワードパズルのどこがどう数学なのかさっぱり分からない。魔法陣は難しい問題で、完全解決と言えるところには至っておらず、専門に研究している人が結構います。
 自由研究で数学系、というのはなかなかやりにくい。小中学生が夏休みだけで発見したり解決できると思える程度の問題は既に解かれているか、高校・大学レベルなら簡単に解けちゃうものが多いからね。

 「コラッツ予想」という有名な未解決問題があります。「ひとつ0でない自然数を持ってくる。それが偶数なら2で割り、奇数なら3倍してから1を足す。その答が偶数なら2で割り、奇数なら3倍してから1を足す。その答が…これを繰り返して行くと、必ず有限回で答が1になる。」というもので、まだ例外が見つかっていないが、「必ず有限回で答が1になる」ということも証明されていない。
 もちろん、これを解決するのは無理だけれども、ま、それはさておきです。いろんな数でやってみると、1になるまでに何回繰り返すか、途中の答が最大いくらになるか、などの様子に、いろいろバリエーションがあるんです。なので、次々に出てくる答がどう変わるのかを図やグラフで描いて調べてみたらどうだろう。

 ところで以下は、問題を理解することは容易だけれども、解くのはなかなか難しい。中1で答が理解できたら大したものだけど、もしそれが或る程度できるようなら、自分で問題を少し変えて考えてみるというのも面白いかも。
http://oshiete.goo.ne.jp/qa/30706.html
http://oshiete.goo.ne.jp/qa/3177493.html
http://oshiete.goo.ne.jp/qa/45812.html
http://oshiete.goo.ne.jp/qa/110453.html

 クロスワードパズルのどこがどう数学なのかさっぱり分からない。魔法陣は難しい問題で、完全解決と言えるところには至っておらず、専門に研究している人が結構います。
 自由研究で数学系、というのはなかなかやりにくい。小中学生が夏休みだけで発見したり解決できると思える程度の問題は既に解かれているか、高校・大学レベルなら簡単に解けちゃうものが多いからね。

 「コラッツ予想」という有名な未解決問題があります。「ひとつ0でない自然数を持ってくる。それが偶数なら2で割り、奇数なら3倍してから1...続きを読む

Q図形の問題

正方形□を組み合わせて出来る階段の階数をnとするとき、出来た階段の図形をS_nとします。
例えばS_4は
   □
  □□
 □□□
□□□□
と言った具合です。

この時、S_nがS_3を組み合わせて作れる為のnの必要十分条件を求めよ。

例えばS_6は
     ■
    ■■
   ■□□
  ■■ □
 ■□  ■
■■□□■■
なのでn=6は条件を満たしているわけです。

一般の場合のnの満たすべき必要十分条件とその証明をお願いします。
(横位置がずれて上手く階段に見えない時はメモ帳などにcut&pasteして見てください。)

Aベストアンサー

[1] n段の階段に含まれる□の個数をM[n]とすると
M[n]= 1+2+....+n = n(n+1)/2
これが3の倍数であることが必要であるのは自明ですね。たとえばM[4]=10ですから、S_4をS_3の組み合わせで作ることは不可能。ですからn=3k+1(k=1,2,....)の場合、すなわちn=1,4,7,10,13,....の階段は作れない。

[2] さて、n=3の階段はどうか。これ無理です。では、n=5の階段は作れるのか。これも無理みたいですね。(証明は宿題。)

[3] n=6だと実際に構成できるのはご質問に示されています。S_3を7個使うんですね。
ではn=6k段(k≧2)の階段の作り方を考えましょう。
6×6の正方形を埋めるには
■■□□■■
□■□■□■
□□■■□□
■■□□■■
□■□■□■
□□■■□□
でオッケーです。だからS_6の下にこの6×6の正方形をk個入れたものを作って、S_6kの右にくっつければS_6(k+1)が作れます。つまりn=6,12,18,...が作れる。

[4]さて、S_9は構成可能です。
        ■
       ■■
      ■□□
     ■■□■
    ■○○■■
   ■■●○□□
  □□●●■■□
 ■□●■□□■●
■■●●■■□●●
そして、6×9の長方形を埋めるには
■■□□■■
□■□■□■
□□■■□□
■■□□■■
□■□■□■
□□■■□□
■■□□■■
■□■□■□
□□■■□□
でオッケーですから、S_9の右にこれをくっつけて、上にS_6を載せればS_15が出来る。以下、6づつ増やすことができるので、
n=9,15,21,....は作れます。
以上から、nが3の倍数であるときS_nが作れないのはn=3の場合だけということになります。

[5] さらに既に出来ている3n段の階段の右に2段だけ追加することができる。これは、
 □
□□
の下に
■■
□■
□□
をn個入れてやれば作れる。この手で6段の階段を8段にすることが出来ます。

[6] 以上からn=3k, 3k+2 (k≧2)の場合には具体的に構成法が分かりました。
だから、必要十分条件は
「k≧2であって、n = 3k または n=3k+2 となる自然数kが存在すること。」
ですね。

[1] n段の階段に含まれる□の個数をM[n]とすると
M[n]= 1+2+....+n = n(n+1)/2
これが3の倍数であることが必要であるのは自明ですね。たとえばM[4]=10ですから、S_4をS_3の組み合わせで作ることは不可能。ですからn=3k+1(k=1,2,....)の場合、すなわちn=1,4,7,10,13,....の階段は作れない。

[2] さて、n=3の階段はどうか。これ無理です。では、n=5の階段は作れるのか。これも無理みたいですね。(証明は宿題。)

[3] n=6だと実際に構成できるのはご質問に示されています。S_3を7個使うんですね。
ではn=...続きを読む

Q至急(o_ _)o数学の自由研究!!

冬休みの宿題で
『数学の自由研究』というのが
出されました!!

初めてだったので
どんなことを題材にすれば
いいのか分からないです( >_<)

中2~高校生レベルの
テーマと簡単な内容を
教えてください!

個人的には
ハノイの塔とかサイコロ(確率)は
どうかな?と思ってます
さサイコロ(確率)は
やり方が分からないので
教えてもらえれば嬉しいです(´・ω・`)

Aベストアンサー

全然違うけれど。代数学で。

「三乗根なんて一発だ」なんてどう?

4096=x^3 x?

これ実は一目です♪ 16ね。計算機使ってないよ^^;

二桁まで一目。三桁の数字になると、ちょっとかかるか・・・。

1^3=1
2^3=8
3^3=27
4^3=64
5^3=125
6^3=216
7^3=343
8^3=512
9^3=729

これは暗記する必要もないです^^; 計算すればそんなに難しくないでしょう?

下一桁だけ見て? 
1→1
2→8
3→7
4→4
5→5
6→6
7→3
8→2
9→9
 (当然 0^3=0 なので 0→0)

下一桁が重複していないのが分かる? 2が8に 3が7に。
8は2に。7は3に変わるだけ。後は元のまま。

10のくらいは 二通りあるけれど、簡単なほうで。

10^3=1000ね
20^3=8000ね。

10^3<15^3<20^3 
これは分かるよね^^;

1000<15^3<8000

この仕組みを利用すればいいです^^;

下一桁が5で1000以上、8000以下 だったら三乗根は 15。

こっちは自分で考えてみて?

こういうのも結構面白いから。

(=^. .^=) m(_ _)m (=^. .^=)

全然違うけれど。代数学で。

「三乗根なんて一発だ」なんてどう?

4096=x^3 x?

これ実は一目です♪ 16ね。計算機使ってないよ^^;

二桁まで一目。三桁の数字になると、ちょっとかかるか・・・。

1^3=1
2^3=8
3^3=27
4^3=64
5^3=125
6^3=216
7^3=343
8^3=512
9^3=729

これは暗記する必要もないです^^; 計算すればそんなに難しくないでしょう?

下一桁だけ見て? 
1→1
2→8
3→7
4→4
5→5
6→6
7→3
8→2
9→9
 ...続きを読む

Q数学の自由研究について …

御観覧ありがとうございます。 中学の夏休みの宿題で数学の自由研究が出たのですが、なにか参考になるURLをご存じでしょうか?内容は数式などです。 お願いします。

Aベストアンサー

こんにちは。数学科ではありませんが、理系大卒です。

>内容は数式などです

数式でまとめろと言う、指示があったんですか? 数学を数式でまとめるならば、学部はおろか修士クラスの論文になりますよ。「数式でまとめろ」と指示した先生だって、まともな研究なんて出来ないはずですよ。冗談では有りません。

私が中学生なら…
・「ゼロ」の発見について
・代数方程式の起源について 
あたりかナ~ 両者とも多少は数式が出てきそうだし…

Q数学の自由研究について

中学校の宿題で、
「数学についての自由研究」という課題が出たのですが、
どういうことを調べていいのかまったく分からないんです・・・

数学の自由研究について、
何かいい課題(?)
っていうか調べることはないでしょうか?
教えてください!!お願いします。。

Aベストアンサー

数学に関する歴史について調べてみては如何でしょうか。

例えば、エジプト文明ではどんな数学があったのかとか、
どんな経緯で円周は360度と決まったのか、などです。
日本の数学(和算)について調べるのも興味深いかもしれません。

Q身の回りの中の数学研究テーマ

私は家庭教師をやっていて、生徒の中学校の数学のテーマ研究について以下のように質問されました。
単に複雑な計算や図形が簡単におもしろく解ける解放とかではなく、へぇ~こんなことも数学なんだというようなおもしろい数学を教えてほしい。
このような数学を知っている方ぜひ教えてください。お願いします。

Aベストアンサー

級数の計算などはどうでしょうか
三角形の面積と等差級数が同じ計算だよ
地球と月の引力が同じになるのはどの位置か?
地球から月に向かうときの的の大きさは?
これらは二次方程式の根の公式で計算します
負と負の積が正でなければならない理由を和と差の積から理解する
なぜブラックホールから逃げ出せないの?
高速で運動するとどうして時間が遅れるの?
どうして光速度を超えることができないの?

Qケーキを2人で公平に分ける方法の解説を。

ゲームの理論の解説書の最初に

ケーキを2人で公平に分ける方法について、
「一人が、ナイフで二つに切り分け、もう一人が片方のケーキを選ぶ」と
ありました。

でも、良く考えると「選ぶ人」の方が有利ではないでしょうか?

なぜなら、選ぶ人は少なくとも50%以上の大きさのケーキを選ぶことができるけど、
切った人は、大きくても50%以下のケーキしか得られないと思ったからです。

どなたか、解説頂ければ、助かります。

Aベストアンサー

これは、
"公平に分ける方法"
ではなく、
"どちらからも文句が出ないように分ける方法"。

切る方は,どちらをとっても文句がないように2つに切る。
取る方は,先に好きな方をとる。

Q数学のレポート

夏休みの宿題で課題は自由なレポートがあります。僕は黄金比についての研究しようと思っているのですが、本やパソコンを使って調べてみても中1の僕にはとても理解の出来ない内容ばかりです。どうかこの僕に黄金比とはどんな数なのか教えて下さい。また役に立ちそうなURLを貼り付けてもらえれば幸いです。

Aベストアンサー

中一だとちょっと理解困難なものが多いでしょうね。
平方根は中3の単元ですし、数列は高2の単元ですから。
といって数学のレポートにあまり美術方面にかたよった内容を出すのも気が引けるでしょうから、結論から言うと別のテーマを探した方が良いと思います。
#1さんがおっしゃっているようなテーマとか、あと、数学の歴史に関するテーマとか。(分数や小数の始まり、とか、外国での数の数え方とか。前者については、
http://www.rd.mmtr.or.jp/%7Ebunryu/mokuzi.shtml
後者については
http://www.sf.airnet.ne.jp/%7Ets/language/numberj.html
がすばらしい。ただし高校生~大人向けの解説だからまちがってもそのまま丸写しなどしないように)
それとこういうので調べた時はちゃんとどこのURLで、とかどの本で調べたかをレポートに書いておくこと。これは絶対に必要なエチケットです。
あと、参考になりそうなページをいくつか。
http://www.geocities.jp/nicht48/
http://www.wasan.jp/
http://hp.vector.co.jp/authors/VA014765/pi/
http://www002.tokai.or.jp/hiramatu/onyak/kotob-kz.htm
http://suu.cc/
http://www.moroo.com/uzokusou/misc/suumei/suumei.html
http://www.rumic.gr.jp/%'Earai/dice/index.html
http://homepage3.nifty.com/onosoroban/index.htm

中一だとちょっと理解困難なものが多いでしょうね。
平方根は中3の単元ですし、数列は高2の単元ですから。
といって数学のレポートにあまり美術方面にかたよった内容を出すのも気が引けるでしょうから、結論から言うと別のテーマを探した方が良いと思います。
#1さんがおっしゃっているようなテーマとか、あと、数学の歴史に関するテーマとか。(分数や小数の始まり、とか、外国での数の数え方とか。前者については、
http://www.rd.mmtr.or.jp/%7Ebunryu/mokuzi.shtml
後者については
http://www.sf.airnet...続きを読む

Q数学レポートについて

  私たちの学校では、数学レポートが宿題になっています。

 中1なので、あまり難しいのは、できないと思いますが、結構奥深いものをしてみたいです^^

どんなのができそうですか?  また、参考になりそうなURLを貼って頂くと、幸いですノノ

Aベストアンサー

無限の濃度なんてどうでしょうか?

たとえば、自然数:1,2,3,4,5,6、・・・と正の偶数:2,4,6,8,10、・・・
はどっちも無限個あるわけですが、どっちが多いと思いますか?
正の偶数はとびとびなんだから、自然数の方が多い気がしませんか?
でも実は同じだけあるんですよね。
これを、自然数と正の偶数は濃度が同じといいます。

なんで同じだけあると言えるのか?
じゃあ、どうなときは同じじゃないと言えるか?(対角線論法というキーワードで調べてみると難しいけどおもしろいかも)

"ヒルベルトの無限ホテルのパラドックス"とかで調べると出てくると思います

参考URL:http://tenmei.cocolog-nifty.com/matcha/2010/04/post-57f5.html


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