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No.3
- 回答日時:
rei00 さん,お久しぶりです.
おそらく,問題の意図は
すべての x>0 に対して x>sin x>x-x^3/6 を示せ,
ということでしょう.
sin x のマクローリン展開が
(1) sin x = x - (x^3/3!) + (x^5/5!) - ...
であることと関連した問題でしょう.
こういう話はやっぱり微分ですね.
(2) f(x) = x - sin x
(3) g(x) = sin x - {x - x^3/6}
とおいて,増減を調べればいいでしょう.
rei00 さんご指摘のように,x=0 では3辺ともゼロです.
したがって
(4) f(0) = g(0) = 0
あとは,f(x),g(x) が増加関数であることがいえればOKです.
(5) f'(x) = 1 - cos x ≧0
ですから,大体OKですが,x=0 からの出だしの瞬間は f'(0) = 0 ですから,
多少神経を使わないといけません.
(1)と比べてみると,x がゼロより少し大きいとき
(6) f(x) = (x^3/3!) + (x^5 以上の補正項)
ですから,出だしでも x がちょっとでもゼロより大きくなれば
f(x)>0 がわかります.
あとは(5)が常に成り立っていますから,x>0 である限り f(x)>0 が言えました.
g(x) の方も同様の方針でできます.
(7) g'(x) = cos x - 1 + (x^2/2)
g'(0)=0 ですから,g'(x)>0 かどうか見るには
(8) g''(x) = - sin x + x
を調べればよいのですが,
「ありゃ,g''(x) = f(x) だ」というわけで,
f(x) > 0 ⇒ g''(x) > 0 ⇒ g'(x) >0 ⇒ g(x) > 0
が順次言えます.
No.2
- 回答日時:
> x>sinx>x-x^3/6 について不等式を証明する問題ですが、
本当に証明問題ですか?
不等式を満たすxの範囲を求める問題では?
x = 0 とすると,sinx = sin0 = 0, x-x^3/6 = 0 となって『x>sinx>x-x^3/6』を満たしませんが・・・。
補足下さい。
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