確率変数X,Yがそれぞれ正規分布N(X|μx, σx^2),N(Y|μy, σy^2)に従っているとき,Z=X*YとおくとZの分布はどのような分布になるのでしょうか,またどのように導出すればよろしいでしょうか.参考になるHP等あればお教えください.

調べたところ,確率変数同士の和の分布について(Z=X+YのときのZの分布)は,畳み込みで求めるられ,また,正規分布に従う確率変数の自乗の分布はカイ2乗分布であることも分かりました.
これらを参考にZ=X*YのときのZの分布を求めようと,畳み込み同様に変数変換を行い積分をしようとしたのですが指数部の中が複雑になり積分が手に負えなくなってしまいます...

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A 回答 (3件)

#2の訂正です。


μx,μy=0の場合:
t=xy, s=(y^2-x^2)/2と変数変換すると、
(x,y)→(t,s)と同時に、(-x,-y)→(t,s)の対応もあるので、
∬dxdy=2∬dsdtで、積分値を2倍しないといけなかった。
(極めて基本的なミス。。。こういう間違いはしないでね)

ヤコビアンはJ=x^2+y^2=2√(s^2+t^2)
(x,y)の同時確率密度は、
1/√(2π)*exp(-x^2/2)*1/√(2π)*exp(-y^2/2)*dxdy
=2/(4π)*exp(-√(s^2+t^2))/√(s^2+t^2)*dsdt。
tの確率密度関数は
f(t)=1/(2π)∫exp(-√(s^2+t^2))/√(s^2+t^2)*ds (-∞<s<∞)
 z=√(s^2+t^2), (s>0)と変数変換して、2倍して、
f(t)=1/π∫exp(-z)/√(z^2-t^2)*dz (|t|<z<∞)
部分積分すれば、z=|t|での被積分関数の特異性が消える。
f(t)=1/π∫log(z/|t|+√((z/t)^2-1))*exp(-z)*dz (|t|<z<∞)。
積分区間を固定するために、z=|t|*xと変数変換してもよい。
f(t)=1/π∫log(x+√(x^2-1))*|t|*exp(-|t|x)*dx (1<x<∞)。
ただし、t≠0。f(t)はt→0で無限大に発散する。

ここからは検算。
∫f(t)dt, (-∞<t<∞,t≠0)
=2∫f(t)dt, (0<t<∞)
=2/π∫dx*log(x+√(x^2-1))*∫t*exp(-tx)*dt
=2/π∫dx*log(x+√(x^2-1))*(1/x^2), (1<x<∞)
=2/π∫dx/(x√(x^2-1)), (部分積分)
=2/π*lim Arctan(√(x^2-1)), (x→∞)
=2/π*π/2
=1
無事、1になった。
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>,X,Yの線形結合であるU,Vがそれぞれ独立になるのか


X,Yをσx,σyで割っておいたのは、U,Vが独立になるようにしたかったから。
こうすると、expの中の交差項uvが現れず、u^2, v^2だけになる。

分散はこうやって処理できるのだが、μx,μyの処理が難しい。それゆえ非心カイ2乗分布が出てきてしまうのである。

μx,μyが0の場合であれば、少しは計算がしやすい。
t=xy, s=(y^2-x^2)/2と変数変換すると、
ヤコビアンはJ=x^2+y^2=2√(s^2+t^2)なので、
(x,y)の同時確率密度は、
1/√(2π)*exp(-x^2/2)*1/√(2π)*exp(-y^2/2)*dxdy
=1/(4π)*exp(-√(s^2+t^2))/√(s^2+t^2)*dsdt
となる。よって、tの確率密度関数は
f(t)=1/(4π)∫exp(-√(s^2+t^2))/√(s^2+t^2)*ds (-∞<s<∞)
と表される。被積分関数は原点について対称だから、s>0の部分だけ考えて2倍し、
 z=√(s^2+t^2), (s>0)
と変数変換すると
f(t)=1/(2π)∫exp(-z)/√(z^2-t^2)*dz (|t|<z<∞)
とも表される。この積分は初等関数では表せそうにない。
部分積分すれば、z=0での特異性が消えて、
f(t)=1/(2π)∫log(z/|t|+√((z/t)^2-1))*exp(-z)*dz (|t|<z<∞)
となる。この形なら数値積分は容易だろう。

ラプラス分布にはならんかった。ごめん。
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なんかの本で見たのだが、どこへ行ったかわからなくなってしまった。


途中までやってみる。
U=(X/σx + Y/σy)/√2, V=(X/σx - Y/σy)/√2,
と変換すると、U,Vは独立で、それぞれN(μ1,1),N(μ2,1)の正規分布にしたがう。
(μ1=(μx/σx + μy/σy)/√2, μ2=(μx/σx - μy/σy)/√2 とおいた)
このU,Vを用いると、
XY=(σxσy/2)(U^2-V^2)
と表される。U^2,V^2は独立で、それぞれ自由度1の非心カイ2乗分布にしたがう。つまり、XYは独立な非心カイ2乗変数の差で表せることになる。
μx=μy=0、σx=σy=1の場合、T=XYの分布は、うろ覚えだが、たぶん、ラプラス分布1/2*exp(-|t|)だったのではないかと思う。あってるかどうかは自分で確かめて。
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この回答へのお礼

gef00675さん,ご回答ありがとうございます.
うまく変数変換して他の分布で表現するんですね.大変勉強になりました.ただ,X,Yの線形結合であるU,Vがそれぞれ独立になるのか疑問に思いました.ちょっと自分で確かめてみようと思います.ありがとうございました.

お礼日時:2009/01/02 22:35

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統計学についての質問です。

比較使用としている群で、ひとつの群は正規分布( Shapiro-WilkのW検定、p<0.05)で、もう一つの群が対数正規分布(KolmogorovのD検定)となりました。この二群間にて数値の有意差を検定するときの検定方法は正規分布の二群間と同じようにt検定等といったパラメトリックな検定を用いて問題ないのでしょうか?
また、正規分布と対数正規分布の二群を検定する検定方法はどのような方法が望ましいのでしょうか。

対数正規分布は標本数8検体で、正規分布のものは3検体~12検体となっています。

Aベストアンサー

そもそも論で申し訳ないのですが、それは検定をする必要があるのですか?
対数正規分布は右のが広いので、対数正規分布の平均の方が正規分布の平均より大きいからといって、対数正規分布の方が大きい値が出やすいとは言えないですよね。
検定をしてもどれだけの意味があるのかと疑問に思います。

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統計学に関する質問をさせていただきます。
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確率的に変動する互いに独立な2つの変数x1, x2の積。一般には、かなりややこしい話になります。特にx1が(あるいはx2が)変動のために正になったり負になったりする、ということまで考慮すると。

 でも、製造ばらつきの話ですから、そんなに極端なばらつきは(多分)ないでしょう。もし、平均値μに比べて変動の幅σがうんと小さいのならば、ごく簡単な式で近似できます。

 p1, p2を、平均0、分散1の正規分布(標準正規分布)に従う、互いに独立な確率変数であるとして、
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x2 = μ2 + σ2 p2
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 ここで、ln(1+x)は|x|が小さい時
ln(1+x) ≒ x
であるから、仮定により、
ln ( (1+(σ1 / μ1)p1) ≒ (σ1 / μ1)p1
従って、
ln(x1) ≒ ln(μ1)+(σ1 / μ1)p1
です。なので
ln(x1x2)=ln(x1)+ln(x2) ≒ ln(μ1μ2)+q
ただしqは確率変数
q = (σ1 / μ1)p1+(σ2 / μ2)p2
です。
従って、対数を外すと
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exp(q)≒1+q
であり、ゆえに
x1x2 ≒ μ1μ2 (1+q)

 さて、p1, p2は互いに独立で、どちらも標準正規分布に従うのだから、 qは平均0、分散 (σ1 / μ1)^2 + (σ2 / μ2)^2 の正規分布に従うことになります。

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Q二項分布と正規分布の違い?

を、教えていただけないでしょうか?

よろしくお願いします。

Aベストアンサー

どぞ。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BA%8C%E9%A0%85%E5%88%86%E5%B8%83

正規分布は二項分布の良好な近似値ではありますが、両者は
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平均μ、分散σで表される正規分布はf(x)=1/((√2π)σ) exp-{((x-μ)^2)/2σ^2}で表されますが



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国語の平均点、分散を(μ1,σ1)としての正規分布f(国語)
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もしμ3=μ1+μ2,σ3=σ1+σ2のように平均も分散も和で考えてよいのなら

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が答えだと思っているのですが、それとは別のやり方で



f(国語)=1/((√2π)σ1) exp-{((x-μ1)^2)/2σ1^2}と
f(数学)=1/((√2π)σ2) exp-{((x-μ2)^2)/2σ2^2}をたたみこみ積分すれば答えがでるのではないかと考えています。

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アドバイスよろしくお願いいたします。

現在大学の研究の過程で統計学を学ぶ必要がでてきました。僕自身は統計学に詳しくはないので知識のある方の回答は非常に助かります。
どうかご教授よろしくおねがいします。


平均μ、分散σで表される正規分布はf(x)=1/((√2π)σ) exp-{((x-μ)^2)/2σ^2}で表されますが



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とした時の国語と数学の合計得点の分布f(国語+数学)はどのように表せばよいのでしょうか?

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Aベストアンサー

> 平均μ、分散σで表される正規分布はf(x)=1/((√2π)σ) exp-{((x-μ)^2)/2σ^2}で表されますが
一般的には分散をσ^2と表し、標準偏差はその平方根でσと表します。
質問者さんが示された確率密度関数は、平均 μ、分散 「σ^2 」の正規分布のものです。分散と標準偏差の扱いをもう少しきちんとしましょう。

> μ3=μ1+μ2, σ3=σ1+σ2のように平均も分散も和で考えてよいのなら
2つの確率変数 X, Y があり、それぞれの平均と「分散」がμ1, (σ1)^2, μ2, (σ2)^2 であるとします。確率変数 Z を Z = X + Y で定め、Z の平均と「分散」をμ3, (σ3)^2 とすると・・・

μ3 = μ1 + μ2
は、X, Y がどのような分布であっても(X, Y が異なる分布であっても)成立しますし、X, Y が互いに独立であるか否かに関わらず成立します。
また、X, Y が互いに独立であれば(それらの分布によらず)、
(σ3)^2 = (σ1)^2 + (σ2)^2
が成立します。(このとき Z = X + Y の「標準偏差」σ3 は、σ3 = √( (σ1)^2 + (σ2)^2 ) )

> f(国語+数学)=1/((√2π)σ3) exp-{((x-μ3)^2)/2σ3^2}
> が答えだと思っているのですが
X, Y が互いに独立な確率変数であり、共に正規分布に従うならば、X + Y もまた正規分布に従うという事実は確かにありますが、これは正規分布の「再生性」と呼ばれる特別な性質であることを理解していなければなりません。その点、大丈夫ですか?

> それとは別のやり方で
> f(国語)=1/((√2π)σ1) exp-{((x-μ1)^2)/2σ1^2}と
> f(数学)=1/((√2π)σ2) exp-{((x-μ2)^2)/2σ2^2}をたたみこみ積分すれば答えがでるのではないかと考えています。
上述したように、正規分布の再生性を示す必要があるならば、畳み込み積分でそれを示すのが一法なのであって、何も「別のやり方」ではありません。
案ずるより計算するが易しです。式の整理が面倒なだけで、特別な知識は不要です。
f(x) = 1/((√2π)σ1) exp-{((x-μ1)^2)/2σ1^2}
g(x) = 1/((√2π)σ2) exp-{((x-μ2)^2)/2σ2^2}
h(x) = ∫f(t) g(x - t) dt
  = 1/(2πσ1 σ2) ∫exp{ - (t - μ1)^2 / (2σ1^2) - (x - t - μ2)^2 / (2σ2^2) } dt
  epx( ) の指数部を t で平方完成して
  = 1/(2πσ1 σ2) ∫exp{ - (t - 何ちゃら )^2 / (2σ1^2 σ2^2 / (σ1^2 + σ2^2)) - (x - μ1 - μ2)^2 / 2 (σ1^2 + σ^2) } dt
  = 1/(2πσ1 σ2) exp{ - (x - μ1 - μ2)^2 / 2 (σ1^2 + σ^2) } ∫exp{ - (t - 何ちゃら )^2 / (2σ1^2 σ2^2 / (σ1^2 + σ2^2))} dt
  = 1/√(2π(σ1^2 + σ2^2)) exp{ - (x - μ1 - μ2)^2 / 2 (σ1^2 + σ^2) }
  (∵ ∫ exp ( - (t - A)^2 / 2B^2 ) dt = √(2π) B )
μ3 = μ1 + μ2, σ3^2 = σ1^2 + σ2^2 とおけば
h(x) = 1/(√(2π) σ3) exp( - (x - μ3)^2 / 2 σ3^2 )
途中、「何ちゃら」の部分は省略してますので、興味があれば追っかけてみてください。

なお、本件は確率論において、ごくごく基本的な事項です。
もし、これから確率統計を使って研究をされるのならば、このような件を簡単に質問して済ませるのは危うい感じがします。ちゃんと書籍を読まれ、その上で質問されるのが宜しいでしょう。

> 平均μ、分散σで表される正規分布はf(x)=1/((√2π)σ) exp-{((x-μ)^2)/2σ^2}で表されますが
一般的には分散をσ^2と表し、標準偏差はその平方根でσと表します。
質問者さんが示された確率密度関数は、平均 μ、分散 「σ^2 」の正規分布のものです。分散と標準偏差の扱いをもう少しきちんとしましょう。

> μ3=μ1+μ2, σ3=σ1+σ2のように平均も分散も和で考えてよいのなら
2つの確率変数 X, Y があり、それぞれの平均と「分散」がμ1, (σ1)^2, μ2, (σ2)^2 であるとします。確率変数 Z を Z = X + Y で定め、Z ...続きを読む

Q信頼区間 正規分布しない場合

信頼区間を求める方法として、「標準正規分布では値が1.96以上の曲線下の面積と、-1.96以下の面積を合計すると0.05である。そこで平均から標準誤差SEに1.96の値をかけ算した値を引いた値と足した値の範囲に真の値が含まれるはずと言うことになる。これを95%信頼区間という」と本に記載されていました。母集団が少なく、正規分布していないであろうと思われるサンプルであっても、この方法に従い信頼区間を算出することは適切でしょうか?
具体的には以下の2群のそれぞれについて95%信頼区間を知りたいのです。
統計については素人なので的はずれな質問かも知れません。
X
209.1
280
91
124
80.57884211
67
152.2
88.584
138.0215385
112.43
115.71
97
128
144

Y
145.035
113.2352941
143.5
117.25
62
78
58
79.5
68.49975
73.85728571
81.61222222
190.5
58
179.25
84
76.6665
168.92
76.76

信頼区間を求める方法として、「標準正規分布では値が1.96以上の曲線下の面積と、-1.96以下の面積を合計すると0.05である。そこで平均から標準誤差SEに1.96の値をかけ算した値を引いた値と足した値の範囲に真の値が含まれるはずと言うことになる。これを95%信頼区間という」と本に記載されていました。母集団が少なく、正規分布していないであろうと思われるサンプルであっても、この方法に従い信頼区間を算出することは適切でしょうか?
具体的には以下の2群のそれぞれについて95%信頼区間を知りたいので...続きを読む

Aベストアンサー

通常用いられる区間推定法は、標本が正規分布に従うことを仮定していますので、#1さんの仰られている様に、標本が正規分布に従っていると見なせる場合しか使えません。
データのヒストグラムや統計的性質、そもそもの観測対象の性質を勘案して最適な標本分布のモデルを作り、両側5%点を計算することになるのでしょうか。

と言っても処方箋がないと困るでしょうから、私がこのデータをもらって信頼区間を推定せよ、と言われたらどうするか、という視点で以下私見を述べさせていただきます。

まずはヒストグラムを描いて、正規分布が当てはまりそうか目で確認します。統計的にきちんとやるなら、正規性の検定(#1の方の参考URLにある1標本Kolmogorov-Smilnov検定など)を行うのでしょうが、ここは簡便にいきます。
実際にヒストグラムを描くと(Excelで簡単に描けます)、ピークの右に裾を引いた非対称な分布になっており、正規分布は当てはまりそうにありません。
右裾の厚い非対称な分布の候補としては、対数正規分布やΓ-分布が代表的なので、これらを検討することになると思います。
特に、対数正規分布を仮定すれば、通常の区間推定法を使える(標本の対数を取って、それが正規分布に従うとすれば良い)ので、真先に検討することになるでしょう。
また一定値(50?)以下は取らないような標本にも思えますが、もしそうなら、その閾値を引いた値に対して、上記の分布を当てはめることになるでしょう。

以上です。
もっとも、これはあくまで与えられたデータだけに基づく考察であり、観測対象の理解とモデル化から始めるのが本来であろうと思います。観測対象の詳細が分かれば、より妥当なモデル化の方法があるかもしれません。

通常用いられる区間推定法は、標本が正規分布に従うことを仮定していますので、#1さんの仰られている様に、標本が正規分布に従っていると見なせる場合しか使えません。
データのヒストグラムや統計的性質、そもそもの観測対象の性質を勘案して最適な標本分布のモデルを作り、両側5%点を計算することになるのでしょうか。

と言っても処方箋がないと困るでしょうから、私がこのデータをもらって信頼区間を推定せよ、と言われたらどうするか、という視点で以下私見を述べさせていただきます。

まずはヒストグ...続きを読む

Q確率密度関数の四則演算

http://oshiete.goo.ne.jp/qa/8571563.html

このページで二つの独立した確率密度関数の
足し算と掛け算の確率密度関数に関してご回答いただいたのですが

x + y の確率密度関数が二等辺三角形

x × y の確率密度関数が-ln(t)

になるのはどういう計算を行っているのでしょうか?

検索しても調べてみたのですが
解説ページが見つかりませんでした。
解説ページなどあれば教えてください。

Aベストアンサー

かのご質問ではコタエばかりが求められており、かつ、あんまり適切な回答がないようなので、結果だけをカキコしたのでしたが、こりゃ、セキニンとらんといかんですかね。

 正規分布を日常的に使っているくせに、意味がよく分かってない人がちょいちょいいます。「平均0、分散1の正規分布に従う確率変数pがp=0となる確率P(0)は?」と尋ねてみると分かってるかどうかがテストできます。P(0)=0と正しく答えられるかどうか。
 もし、あれれ? となる場合には[1]から、そんなの分かってると仰るのなら[2]からどうぞ。

[1] 「確率変数xが確率密度関数φ(x)に従う」とは、Δaがうんと小さい正の実数のとき、mΔa≦x<(m+1)Δa(すなわちx∈[mΔa,(m+1)Δa))となる確率をP(x∈[mΔa,(m+1)Δa))と書くと
  lim[Δa→0] P(x∈[mΔa,(m+1)Δa))= φ(mΔa)Δa
だってことです。特にxが一様分布φ1(x)に従うのであれば、
  lim[Δa→0] P(x∈[mΔa,(m+1)Δa))= φ1(mΔa)Δa
である。
 さて、x∈[mΔa,(m+1)Δa)であるとします。このとき、z=x+yの分布はどうなるか。ただしyがφ1(y)に従い、しかもyはxとは独立である。簡単ですね。y=z-aなのだから、もちろんzは φ1(z-mΔa)に従う。
 言い換えれば、x∈[mΔa,(m+1)Δa)であって、Δbがうんと小さい正の実数のとき、nΔb≦z<(n+1)Δbとなる条件付き確率は
  P(z∈[nΔb,(n+1)Δb) | x∈[mΔa,(m+1)Δa)) = φ1(nΔb-mΔa)Δb
です。だからz∈[nΔb,(n+1)Δb)となる確率は
  P(z∈[nΔb,(n+1)Δb)) = lim [Δa→0] Σ{n=-∞〜∞} P(z∈[nΔb,(n+1)Δb) | x∈[mΔa,(m+1)Δa)) P(x∈[nΔa,(n+1)Δa))
   = lim [Δa→0] Σ{n=-∞〜∞} φ1(nΔb-mΔa)Δb φ1(nΔa)Δa
   = ∫{a=-∞〜∞} φ1(nΔb-a)Δbφ1(a) da
と書ける。zが従う確率密度関数をφa(z)とすると、
  lim[Δb→0] P(z∈[nΔb,(n+1)Δb)) = φa(nΔb)Δb
なので、
  lim[Δb→0] (φa(nΔb) - P(z∈[nΔb,(n+1)Δb))/Δb )= 0
つまり
  φa(b) - ∫{a=-∞〜∞} φ1(b-a)φ1(a) da
ここでbをz, aをxに書き換えてみると
  φa(z) = ∫{x=-∞〜∞} φ1(z-x)φ1(x) dx
となります。

[2] 一般に、
   (f*g)(z) = ∫{x=-∞〜∞} f(z-x)g(x) dx
を 「fとgの畳み込み(convolution)」と呼びます。
 なお、(f*g) = (g*f) が成り立つことは容易に証明できます。畳み込みは信号処理・画像処理における「フィルター」、制御工学における「伝達関数」の作用を表すのにも使われる、とても重要な概念です。
 これを使って、

定理:「確率密度関数f(x)に従うxと、xとは独立で確率密度関数g(y)に従うyについて、z=x+yは確率密度関数(f*g)(z)に従う」
 (これは、上記[1]の計算をfとgを使ってやり直してみれば証明できるでしょ。)

[3] では、確率密度関数f(x)に従うxと、xとは独立で確率密度関数g(y)に従うyについて、t=xyはどんな確率密度関数に従うか。
 t=xyの両辺の対数をとって
  ln(t) = ln(x) + ln(y)
とし、ln(t), ln(x), ln(y)をそれぞれ T, X, Yという確率密度関数だと考えれば、「確率密度関数f(X)に従うXと、Xとは独立で確率密度関数g(Y)に従うYについて、T=X+Yは確率密度関数(f*g)(T)に従う」わけです。
 xがφ1(x)に従うとき、X = ln(x)がどんな確率密度関数fに従うか。これは簡単でしょうからご自分で。Tが従う確率密度関数は(f*f)(T)です。あとは t = exp(T) がどんな確率密度関数に従うか、という問題を解けば、おしまいです。

 「分かりやすい」をお求めですけど、すらすら行かない場合でも、少なくとも2〜3日ぐらいは粘ってみて下さいな。七転八倒することが地力を付けること。こんなの慣れちまえば鎧袖一触です。

かのご質問ではコタエばかりが求められており、かつ、あんまり適切な回答がないようなので、結果だけをカキコしたのでしたが、こりゃ、セキニンとらんといかんですかね。

 正規分布を日常的に使っているくせに、意味がよく分かってない人がちょいちょいいます。「平均0、分散1の正規分布に従う確率変数pがp=0となる確率P(0)は?」と尋ねてみると分かってるかどうかがテストできます。P(0)=0と正しく答えられるかどうか。
 もし、あれれ? となる場合には[1]から、そんなの分かってると仰るのなら[2]からどうぞ。...続きを読む

Q確率変数の和の問題

確率変数の和の問題です。

2つの確率変数XとYが、互いに独立に一様分布に従うとするとき、
確率変数X+Yはどのような分布の形状になるのでしょうか?

結局、和も一様分布になるのでしょうか?分からなくなってしまいました。
教えて下さい。

Aベストアンサー

連続型でピンとこないなら、離散型で考えてみれば?例えばサイコロを1個振るでしょ。1から6に一様(離散なので一様的)に出るね。2回振って和を取ると、平均3.5*2=7だけど2から12が一様的には出ないよね。
元問題を正確に解くと、確率変数X,Yの確率密度関数をf(x),g(y)として。確率変数Z=X+Yの確率密度関数をh(z)とすると。
h(z)=∫[-∞,∞]f(z-y)g(y)dy または h(z)=∫[-∞,∞]f(x)g(z-x)dx を計算すればよい。
問題よりf(x)=1 (0≦x≦1),g(y)=1 (0≦y≦1) なので 0≦z≦1のときyは0≦y≦z,1<z≦2のときz-1≦y≦1の範囲をとる。
0≦z≦1 のとき h(z)=∫[0,z]f(z-y)g(y)dy=∫[0,z]1・1dy=z
1<z≦2 のとき h(z)=∫[z-1,1]f(z-y)g(y)dy=∫[z-1,1]1・1dy=1-(z-1)=2-z

Q正規分布の加法性について

すいません。統計学初学者です。
正規分布の加法性でわからないことがございます。

1.N(u1, σ1^2) + N(u2, σ2^2) → N(u1 + u2, σ1^2+σ2^2)
2.N(u1, σ1^2) - N(u2, σ2^2) → N(u1 - u2, σ1^2+σ2^2)

正規分布を足しても引いても、
平均はそれぞれ、足されるあるいは引かれますが、
なぜ、分散だけはどちらも足されるのでしょうか?
分散は引くことは出来ないものなのでしょうか?

よろしくお願いいたします。

Aベストアンサー

>分散を引いたときと足したとき、分散の値は同じ。

根本的な誤解があります。質問者さんが参考にしている本も私たちも分散の引き算を、
さらには分布の引き算を論じているわけではありません。2つの確率変数X,Yの和、差の
結果として(X-Y)の分布、分散がどうなるかを論じています。この二つは全く違う議論です。

確率変数は何らかの分布に従ってはいても実態は具体的な数字です。
サイコロの出目であったり、#3で例としてあげたコインの枚数であったり、
工場で作れらる製品の不良品の数であったり様々ですがあくまでただの数字であり、
分布では有りません。ただ、その出現頻度が何らかの法則に従っているだけです。
この具体的な数字、例えば大きなサイコロと小さなサイコロを振って大きいサイコロの
出目から小さいサイコロの出目を引くといったことを考えるのが確率変数の引き算で、
その結果がどのような分布に従うことになるかを今、論じているのです。

さらに分かり易い(?)例を考えてみると、A社の200g入り牛乳の実重量が正規分布(203,1)に
従っているとします。ここから2本ずつ取り出してそれぞれの重量の差を求めてみます。
その結果が(0,0)、つまり全部0、どれも差がなかったことになると思いますか?
重いものから軽いものを引くこともあるし、軽いものから重いものを引くこともあり
結果として差は正規分布(0,2)に従うことになりますよ、と言っているのが参考書ですし、
回答者みなさんなのです。

もちろん、分散を引く計算を問題にすることも出来ます。
重量が正規分布に従うコップが有ってここに重量が正規分布(100,5)に従う水を
入れたら全体の重さは正規分布(120,8)に従った。元のコップの分布を求めよ。
これなら分散を引いて答えは(20,3)になります。しかしこれは確率変数の差を
求めているわけではないのですよ。

>分散を引いたときと足したとき、分散の値は同じ。

根本的な誤解があります。質問者さんが参考にしている本も私たちも分散の引き算を、
さらには分布の引き算を論じているわけではありません。2つの確率変数X,Yの和、差の
結果として(X-Y)の分布、分散がどうなるかを論じています。この二つは全く違う議論です。

確率変数は何らかの分布に従ってはいても実態は具体的な数字です。
サイコロの出目であったり、#3で例としてあげたコインの枚数であったり、
工場で作れらる製品の不良品の数であったり様々...続きを読む

Qエクセルで掛け算の九九の表を作る方法

エクセルで掛け算の九九の表を作る場合どのように操作すれば簡単に作成できますでしょうか?

Aベストアンサー

これではいかがですか?
1)セル「B1」~「J1」に1~9を入力する(オートフィルを使うと簡単)
2)セル「A2」~「A10」に1~9を入力する(同上)
3)セル「B2」に次の式を入れる
 =B$1&"×"&$A2&"="&B$1*$A2
4)「B2」のセルを左右に「J10」のセルまでコピーする

**3)の式のX記号は書体によってはアルファベットのXまたは
2バイト系の×(バツ)のお好きな方を使ってください。

Q二つのガウス分布の畳み込み積分 得られるガウス分布の標準偏差σは?

二つのガウス分布の畳み込み積分についてお尋ねします。
標準偏差σ1、σ2をもつガウス分布F1、F2をF1*F2と畳み込むと、あるガウス分布Fが得られると思います。そのガウス分布Fの標準偏差σは
σ=sqrt(σ1^2+σ2^2)
で与えられるでしょうか。

Aベストアンサー

はい、その通り。

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