確率変数X,Yがそれぞれ正規分布N(X|μx, σx^2),N(Y|μy, σy^2)に従っているとき,Z=X*YとおくとZの分布はどのような分布になるのでしょうか,またどのように導出すればよろしいでしょうか.参考になるHP等あればお教えください.

調べたところ,確率変数同士の和の分布について(Z=X+YのときのZの分布)は,畳み込みで求めるられ,また,正規分布に従う確率変数の自乗の分布はカイ2乗分布であることも分かりました.
これらを参考にZ=X*YのときのZの分布を求めようと,畳み込み同様に変数変換を行い積分をしようとしたのですが指数部の中が複雑になり積分が手に負えなくなってしまいます...

このQ&Aに関連する最新のQ&A

A 回答 (3件)

#2の訂正です。


μx,μy=0の場合:
t=xy, s=(y^2-x^2)/2と変数変換すると、
(x,y)→(t,s)と同時に、(-x,-y)→(t,s)の対応もあるので、
∬dxdy=2∬dsdtで、積分値を2倍しないといけなかった。
(極めて基本的なミス。。。こういう間違いはしないでね)

ヤコビアンはJ=x^2+y^2=2√(s^2+t^2)
(x,y)の同時確率密度は、
1/√(2π)*exp(-x^2/2)*1/√(2π)*exp(-y^2/2)*dxdy
=2/(4π)*exp(-√(s^2+t^2))/√(s^2+t^2)*dsdt。
tの確率密度関数は
f(t)=1/(2π)∫exp(-√(s^2+t^2))/√(s^2+t^2)*ds (-∞<s<∞)
 z=√(s^2+t^2), (s>0)と変数変換して、2倍して、
f(t)=1/π∫exp(-z)/√(z^2-t^2)*dz (|t|<z<∞)
部分積分すれば、z=|t|での被積分関数の特異性が消える。
f(t)=1/π∫log(z/|t|+√((z/t)^2-1))*exp(-z)*dz (|t|<z<∞)。
積分区間を固定するために、z=|t|*xと変数変換してもよい。
f(t)=1/π∫log(x+√(x^2-1))*|t|*exp(-|t|x)*dx (1<x<∞)。
ただし、t≠0。f(t)はt→0で無限大に発散する。

ここからは検算。
∫f(t)dt, (-∞<t<∞,t≠0)
=2∫f(t)dt, (0<t<∞)
=2/π∫dx*log(x+√(x^2-1))*∫t*exp(-tx)*dt
=2/π∫dx*log(x+√(x^2-1))*(1/x^2), (1<x<∞)
=2/π∫dx/(x√(x^2-1)), (部分積分)
=2/π*lim Arctan(√(x^2-1)), (x→∞)
=2/π*π/2
=1
無事、1になった。
    • good
    • 0

>,X,Yの線形結合であるU,Vがそれぞれ独立になるのか


X,Yをσx,σyで割っておいたのは、U,Vが独立になるようにしたかったから。
こうすると、expの中の交差項uvが現れず、u^2, v^2だけになる。

分散はこうやって処理できるのだが、μx,μyの処理が難しい。それゆえ非心カイ2乗分布が出てきてしまうのである。

μx,μyが0の場合であれば、少しは計算がしやすい。
t=xy, s=(y^2-x^2)/2と変数変換すると、
ヤコビアンはJ=x^2+y^2=2√(s^2+t^2)なので、
(x,y)の同時確率密度は、
1/√(2π)*exp(-x^2/2)*1/√(2π)*exp(-y^2/2)*dxdy
=1/(4π)*exp(-√(s^2+t^2))/√(s^2+t^2)*dsdt
となる。よって、tの確率密度関数は
f(t)=1/(4π)∫exp(-√(s^2+t^2))/√(s^2+t^2)*ds (-∞<s<∞)
と表される。被積分関数は原点について対称だから、s>0の部分だけ考えて2倍し、
 z=√(s^2+t^2), (s>0)
と変数変換すると
f(t)=1/(2π)∫exp(-z)/√(z^2-t^2)*dz (|t|<z<∞)
とも表される。この積分は初等関数では表せそうにない。
部分積分すれば、z=0での特異性が消えて、
f(t)=1/(2π)∫log(z/|t|+√((z/t)^2-1))*exp(-z)*dz (|t|<z<∞)
となる。この形なら数値積分は容易だろう。

ラプラス分布にはならんかった。ごめん。
    • good
    • 0

なんかの本で見たのだが、どこへ行ったかわからなくなってしまった。


途中までやってみる。
U=(X/σx + Y/σy)/√2, V=(X/σx - Y/σy)/√2,
と変換すると、U,Vは独立で、それぞれN(μ1,1),N(μ2,1)の正規分布にしたがう。
(μ1=(μx/σx + μy/σy)/√2, μ2=(μx/σx - μy/σy)/√2 とおいた)
このU,Vを用いると、
XY=(σxσy/2)(U^2-V^2)
と表される。U^2,V^2は独立で、それぞれ自由度1の非心カイ2乗分布にしたがう。つまり、XYは独立な非心カイ2乗変数の差で表せることになる。
μx=μy=0、σx=σy=1の場合、T=XYの分布は、うろ覚えだが、たぶん、ラプラス分布1/2*exp(-|t|)だったのではないかと思う。あってるかどうかは自分で確かめて。
    • good
    • 0
この回答へのお礼

gef00675さん,ご回答ありがとうございます.
うまく変数変換して他の分布で表現するんですね.大変勉強になりました.ただ,X,Yの線形結合であるU,Vがそれぞれ独立になるのか疑問に思いました.ちょっと自分で確かめてみようと思います.ありがとうございました.

お礼日時:2009/01/02 22:35

このQ&Aに関連する人気のQ&A

お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!

このQ&Aを見た人はこんなQ&Aも見ています

このQ&Aを見た人が検索しているワード

このQ&Aと関連する良く見られている質問

Q確率変数Xが平均0、分散1の標準正規分布に従うとき、|X|の確率密度関

確率変数Xが平均0、分散1の標準正規分布に従うとき、|X|の確率密度関数、平均、分散を求め方と答えを教えてください;;
急ぎの問題で、大変困っておりますので、よろしくお願いします。

Aベストアンサー

fがXの確率密度関数 ⇔ Pr[X < t] = int[-∞,t]f(x)dx

この場合、|X| < 0となることはないから Pr[|X| < 0] = 0
Pr[|X| < 0] = int[-∞,0]g(x)dx = 0 ⇒ g(x) = 0 when x < 0


そのガウス積分は、計算する必要ないですよ。
fは標準正規分布の密度関数ということが分かっていますから。
int[0,∞]x^2g(x)dx = int[-∞,∞]x^2f(x)dx = 1

V[|X|] = 1 - 2/π

Qx1=(1,1,1),x2=(1,1,-1),x3=(1,-1,-1)をC^3の基底,{y1,y2,y3}がその双対基底でx=(0,1,0)の時,y1(x),y

[問] ベクトルx1=(1,1,1),x2=(1,1,-1),x3=(1,-1,-1)をC^3の基底とする。
{y1,y2,y3}がその双対基底でx=(0,1,0)の時、
y1(x),y2(x),y3(x)を求めよ。

という問題の解き方をお教え下さい。

双対基底とは
{f;fはF線形空間VからFへの線形写像}
という集合(これをV*と置く)において、
V(dimV=nとする)の一組基底を{v1,v2,…,vn}とすると
fi(vj)=δij(:クロネッカーのデルタ)で定めるV*の部分集合
{f1,f2,…,fn}はV*の基底となる。これを{v1,v2,…,vn}の双対基底と呼ぶ。

まず、
C^3の次元は6(C^3の基底は(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1),(i,0,0),(0,i,0),(0,0,i))
だと思うので上記のx1,x2,x3は基底として不足してると思うのです(もう3ベクトル必要?)。

うーん、どのようにしたらいいのでしょうか?

Aベストアンサー

>C^3の次元は6(

これが間違え.
「x1=(1,1,1),x2=(1,1,-1),x3=(1,-1,-1)をC^3の基底」
といってるんだから,係数体はRではなく,C.

あとは定義にしたがって,
dualな基底を書き下せばいいだけ.
y1(x1)=1,y1(x2)=y1(x3)=0であって
v=ax1+bx2+cx2と表わせるわけだし,
v=(v1,v2,v3)とすれば,a,b,cはv1,v2,v3で表現できる
#単なる基底変換の問題.

Q確率変数XとYはf(x,y)=cxy^2(0

宜しくお願い致します。

[Q]The random variables X and Y have a joint probability density function given by f(x,y)=cxy^2 for 0<x<y<2 and 0 elsewhere
a) Find c so that f is indeed a probability density function.
b) Find P(X<1,y>1/2).
c) Find the probability density function of X.

[問]確率変数XとYはf(x,y)=cxy^2(0<x<y<2でそれ以外は0)で与えられた同時確率密度関数を持つとする。
(a) fが本当に確率密度関数であるようなcを求めよ。
(b) P(X<1,Y>1/2)を求めよ。
(c) Xの確率密度関数を求めよ。

[(a)の解]fが本当に確率密度関数なら∫_y∫_xf(x,y)dx=1.
∫[0..2]∫[y..0]cxy^2dxdy=∫[0..2]cy^2[x^2/2]^y_0dy
=∫[0..2]cy^2(y^2/2)dy=c/2∫[0..2]y^4dy=c/2[y^5/5]^2_0
=c/2(32/5)=32c/10=1. ∴c=5/16

[(b)の解]P(X<1,Y>1/2)=∫[1/2..2]∫[0..1]5xy^2/16dxdy
=∫[1/2..2]5y^2/16[x^2/2]^1_0dy
=∫[1/2..2]5y^2/16・(1/2)dy
=5/32∫[2..1/2]y^2dy
=5/32[y^3/3]^2_1/2
=5/32[8/3-1/8/3]
=0.41

[(c)の解]f_x(X)=∫_yf(x,y)dy=∫[0..2]5xy^2/16dy
=5x/16[y^3/3]^2_0=5x/16(8/3)=5x/6

で(c)の解が間違いだったのですが正解が分かりません。
正解はどのようになりますでしょうか?

宜しくお願い致します。

[Q]The random variables X and Y have a joint probability density function given by f(x,y)=cxy^2 for 0<x<y<2 and 0 elsewhere
a) Find c so that f is indeed a probability density function.
b) Find P(X<1,y>1/2).
c) Find the probability density function of X.

[問]確率変数XとYはf(x,y)=cxy^2(0<x<y<2でそれ以外は0)で与えられた同時確率密度関数を持つとする。
(a) fが本当に確率密度関数であるようなcを求めよ。
(b) P(X<1,Y>1/2)を求めよ。
(c) Xの確率密度...
続きを読む

Aベストアンサー

うーん、前回の質問といい、なぜ前の2問ができてこれを間違うのでしょう?
発展問題というより、視点を変えただけで難易度も考え方も同じです。
今回は前回よりは勘違い度が低いのできちんと書いておきます。

f(x,y)=cxy^2(0<x<y<2でそれ以外は0)
なのですからyの積分範囲は下限x,上限2ですね。

5x/16∫[x,2]y^2dy=5x/16 * [y^3/3]^2_x=5x/48 * (8-x^3)
(=5x/6-5x^4/48)

Q≪問題≫実数x,y,zは関係式,x+y=2…(1),x^3+y^3+z^3

≪問題≫実数x,y,zは関係式,x+y=2…(1),x^3+y^3+z^3=8…(2)を満たす。
(1)x^2+y^2+z^2をzを用いて表せ。

(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)-3xyz=x^3^+y^3+z^3
の関係式を使ってみようかな。。。
って思ったんですが…できません^^;

どなたかよろしくお願いします。

Aベストアンサー

x^2+y^2+z^2をzで表すのだからx^2+y^2の部分が問題です。
x^2+y^2はx+yとxyで表せますね。
だから目標はxyをzで表すことです。

(1)が使えるように(2)を変形してみる。
(x+y)^3-3xy(x+y)+z^3=8
(1)を代入してみる。
2^3-3xy*2+z^3=8
xy=z^3/6
となった。


人気Q&Aランキング

おすすめ情報