確率変数X,Yがそれぞれ正規分布N(X|μx, σx^2),N(Y|μy, σy^2)に従っているとき,Z=X*YとおくとZの分布はどのような分布になるのでしょうか,またどのように導出すればよろしいでしょうか.参考になるHP等あればお教えください.

調べたところ,確率変数同士の和の分布について(Z=X+YのときのZの分布)は,畳み込みで求めるられ,また,正規分布に従う確率変数の自乗の分布はカイ2乗分布であることも分かりました.
これらを参考にZ=X*YのときのZの分布を求めようと,畳み込み同様に変数変換を行い積分をしようとしたのですが指数部の中が複雑になり積分が手に負えなくなってしまいます...

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A 回答 (3件)

なんかの本で見たのだが、どこへ行ったかわからなくなってしまった。


途中までやってみる。
U=(X/σx + Y/σy)/√2, V=(X/σx - Y/σy)/√2,
と変換すると、U,Vは独立で、それぞれN(μ1,1),N(μ2,1)の正規分布にしたがう。
(μ1=(μx/σx + μy/σy)/√2, μ2=(μx/σx - μy/σy)/√2 とおいた)
このU,Vを用いると、
XY=(σxσy/2)(U^2-V^2)
と表される。U^2,V^2は独立で、それぞれ自由度1の非心カイ2乗分布にしたがう。つまり、XYは独立な非心カイ2乗変数の差で表せることになる。
μx=μy=0、σx=σy=1の場合、T=XYの分布は、うろ覚えだが、たぶん、ラプラス分布1/2*exp(-|t|)だったのではないかと思う。あってるかどうかは自分で確かめて。
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この回答へのお礼

gef00675さん,ご回答ありがとうございます.
うまく変数変換して他の分布で表現するんですね.大変勉強になりました.ただ,X,Yの線形結合であるU,Vがそれぞれ独立になるのか疑問に思いました.ちょっと自分で確かめてみようと思います.ありがとうございました.

お礼日時:2009/01/02 22:35

>,X,Yの線形結合であるU,Vがそれぞれ独立になるのか


X,Yをσx,σyで割っておいたのは、U,Vが独立になるようにしたかったから。
こうすると、expの中の交差項uvが現れず、u^2, v^2だけになる。

分散はこうやって処理できるのだが、μx,μyの処理が難しい。それゆえ非心カイ2乗分布が出てきてしまうのである。

μx,μyが0の場合であれば、少しは計算がしやすい。
t=xy, s=(y^2-x^2)/2と変数変換すると、
ヤコビアンはJ=x^2+y^2=2√(s^2+t^2)なので、
(x,y)の同時確率密度は、
1/√(2π)*exp(-x^2/2)*1/√(2π)*exp(-y^2/2)*dxdy
=1/(4π)*exp(-√(s^2+t^2))/√(s^2+t^2)*dsdt
となる。よって、tの確率密度関数は
f(t)=1/(4π)∫exp(-√(s^2+t^2))/√(s^2+t^2)*ds (-∞<s<∞)
と表される。被積分関数は原点について対称だから、s>0の部分だけ考えて2倍し、
 z=√(s^2+t^2), (s>0)
と変数変換すると
f(t)=1/(2π)∫exp(-z)/√(z^2-t^2)*dz (|t|<z<∞)
とも表される。この積分は初等関数では表せそうにない。
部分積分すれば、z=0での特異性が消えて、
f(t)=1/(2π)∫log(z/|t|+√((z/t)^2-1))*exp(-z)*dz (|t|<z<∞)
となる。この形なら数値積分は容易だろう。

ラプラス分布にはならんかった。ごめん。
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#2の訂正です。


μx,μy=0の場合:
t=xy, s=(y^2-x^2)/2と変数変換すると、
(x,y)→(t,s)と同時に、(-x,-y)→(t,s)の対応もあるので、
∬dxdy=2∬dsdtで、積分値を2倍しないといけなかった。
(極めて基本的なミス。。。こういう間違いはしないでね)

ヤコビアンはJ=x^2+y^2=2√(s^2+t^2)
(x,y)の同時確率密度は、
1/√(2π)*exp(-x^2/2)*1/√(2π)*exp(-y^2/2)*dxdy
=2/(4π)*exp(-√(s^2+t^2))/√(s^2+t^2)*dsdt。
tの確率密度関数は
f(t)=1/(2π)∫exp(-√(s^2+t^2))/√(s^2+t^2)*ds (-∞<s<∞)
 z=√(s^2+t^2), (s>0)と変数変換して、2倍して、
f(t)=1/π∫exp(-z)/√(z^2-t^2)*dz (|t|<z<∞)
部分積分すれば、z=|t|での被積分関数の特異性が消える。
f(t)=1/π∫log(z/|t|+√((z/t)^2-1))*exp(-z)*dz (|t|<z<∞)。
積分区間を固定するために、z=|t|*xと変数変換してもよい。
f(t)=1/π∫log(x+√(x^2-1))*|t|*exp(-|t|x)*dx (1<x<∞)。
ただし、t≠0。f(t)はt→0で無限大に発散する。

ここからは検算。
∫f(t)dt, (-∞<t<∞,t≠0)
=2∫f(t)dt, (0<t<∞)
=2/π∫dx*log(x+√(x^2-1))*∫t*exp(-tx)*dt
=2/π∫dx*log(x+√(x^2-1))*(1/x^2), (1<x<∞)
=2/π∫dx/(x√(x^2-1)), (部分積分)
=2/π*lim Arctan(√(x^2-1)), (x→∞)
=2/π*π/2
=1
無事、1になった。
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統計学についての質問です。

比較使用としている群で、ひとつの群は正規分布( Shapiro-WilkのW検定、p<0.05)で、もう一つの群が対数正規分布(KolmogorovのD検定)となりました。この二群間にて数値の有意差を検定するときの検定方法は正規分布の二群間と同じようにt検定等といったパラメトリックな検定を用いて問題ないのでしょうか?
また、正規分布と対数正規分布の二群を検定する検定方法はどのような方法が望ましいのでしょうか。

対数正規分布は標本数8検体で、正規分布のものは3検体~12検体となっています。

Aベストアンサー

そもそも論で申し訳ないのですが、それは検定をする必要があるのですか?
対数正規分布は右のが広いので、対数正規分布の平均の方が正規分布の平均より大きいからといって、対数正規分布の方が大きい値が出やすいとは言えないですよね。
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参考URL:http://aoki2.si.gunma-u.ac.jp/lecture/BF/index.html

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確率変数Xが平均0、分散1の標準正規分布に従うとき、|X|の確率密度関数、平均、分散を求め方と答えを教えてください;;
急ぎの問題で、大変困っておりますので、よろしくお願いします。

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fがXの確率密度関数 ⇔ Pr[X < t] = int[-∞,t]f(x)dx

この場合、|X| < 0となることはないから Pr[|X| < 0] = 0
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Q正規分布の再帰性について

現在大学生です。
統計学に関しての質問です。

互いに独立な2つ正規分布に従う確率変数の和の分布は正規分布になりますが、
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例えば、ある正規分布に従う1つの確率変数の定数倍の分布は正規分布になるのでしょうか。

単純そうなのですが、考えれば考えるほど分からなくなるので、納得ができる説明をしていただけると幸いです。
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

正規分布になりますよ。

X~N( μ, σ^2 )

という確率変数を考えた時、aを実数とすると

aX~N( aμ, (aσ)^2 )

が成立します。

Q(x^2)'=2x, (x^1)'=1, (1)'=0, (x^-1)'=-x^-2 そして ∫x^-1 dx = ln|x| + C

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(x^1)' = 1 ⇔ ∫1 dx = x + C
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(x^-1)' = -x^-2 ⇔ ∫-x^-2 dx = x^-1 + C
(x^-2)' = -2x^-3 ⇔ ∫-2x^-3 dx = x^-2 + C
ですが、

なぜ、※のところだけイレギュラーにになるのでしょう?

はるか昔、高校のときに導出方法は習いましたが、
イメージとしては、どう捉えればよいでしょう?

証明等は無くても構いませんので、
直感に訴える説明、あるいは、逆に高度な数学での説明などができる方いらっしゃいましたら、お願いします。

(もしかしたら、高度な数学では、イレギュラーに見えなくなったりしますか?)

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sanoriさん、こんにちは。

釈迦に説法みたいな話しかできませんが…。

(x^α)' = α x^{α-1} …(1)

は、α=0 でも、(x^0)' = 0・x^{-1} = 0 (x≠0)ということで成り立ち、実はイレギュラーというわけでもなかったりします。

(x^2)' = 2x^1
(x^1)' = 1x^0 = 1
(x^0)' = 0x^{-1} = 0
(x^{-1})' = (-1)x^{-2} = -x^{-2}
(x^{-2})' = (-2)x^{-3} = -2x^{-3}

ということなので。。。

つまり、(ln(x))') = 1/x = x^{-1} はこのリストとは別の話と解釈するわけです。

積分のほうも、
∫x^-1 dx = ln|x| + C …(2)
のかわりに、
∫0dx = ∫0x^{-1}dx = 0 + C' = x^0 + C
があると思えば、イレギュラーではなくなります。
(2)は、
∫nx^{n-1}dx=x^n+C …(3)
のリストに元々登場していないと解釈するわけです。

また、(3)の両辺をnで割って、
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たまたま、∫x^{-1}dx = ln|x| + C となるので、はまりそうに見えますが、もともと除外していたところに、後から違う種類のものを持ってきてはめ込んだだけと解釈すれば、そこがイレギュラーになるのは不思議ともいえなくなってきます。

また、(4)のリストの立場で考えると、(分母にnがあるので)n=0を除外しなければならないけど、一方、積分∫x^{-1}dxというものは厳然として存在しているので、その隙間に、べき関数とは全く違う関数 ln|x|+C が入ってきているという言い方もできます。これは、べき関数だけでは一覧表が完成しないところに、logでもって完成させているということにもなります。つまりlogという関数は、べき関数のリストの「隙間」に入ってきて、「完成させる」というイメージです。

sanoriさん、こんにちは。

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(x^{-2})' = (-2)x^{-3} = -2x^{-3}

ということなので。。。

つまり、(ln(x))') = 1/x = x^{-1} はこのリストとは別の話と解釈するわけです。

積分のほうも、
∫x^-1 dx = l...続きを読む

Q対数正規分布に従うデータの分布状況

統計学や数学の知識が乏しい文系人間です。
必要あって工学分野の論文を読んでいたところ,「データが対数正規分布となっており,標準偏差は○○である」という文章が出てきました。
ネットで調べると,対数正規分布とは、ある変数の対数をとるとその値が正規分布に従うような分布をいう,とありました。また,正規分布の場合,平均値をμ,標準偏差をσとすると,μ±σの範囲内に約68%のデータが分布し,μ±2σの範囲内に約95%のデータが分布するとありました。
正規分布するデータの度数分布グラフは,左右対称の釣り鐘型ですが,対数正規分布するデータの度数分布グラフは,左右対称ではなく,左側が急で右側がなだらかになっています。
教えていただきたいのは,データが対数正規分布している場合も,μ±σの範囲内に約68%のデータが分布し,μ±2σの範囲内に約95%のデータが分布するといえるのか,ということです。
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

<データが対数正規分布している場合も,μ±σの範囲内に
約68%のデータが分布し,μ±2σの範囲内に約95%の
データが分布するといえるのか?>
というご質問と思いますが、そう単純ではありません。

対数正規分布はWikiによれば次の様なものです。
<対数正規分布は、連続確率分布の一種で、この分布に従う
確率変数の対数をとったとき、対応する分布が正規分布になる。>
つまり、確立変数をXとした時に、その対数logXを取り、それを
横軸として、頻度を描くと、その形が正規分布になる様な分布です。
確立変数Xを変換した物は、それ自体は具体的な意味を失います。
対数正規分布の例としては、所得分布が知られています。
所得ゼロから始まり、平均所得付近で最大値をとり、高額所得者
の方に減少しながら伸びて行く曲線です。横軸が所得金額、縦軸が
その所得の人の人数です。所得100万円の意味は明確ですが、
Log(100万円)又はlog100(万円)とは何でしょうか?

範囲の話を説明する為に、均一な分布の例をあげます。
確立変数X は 0≦X≦3 で定義され、その間の頻度は同一と
します。数式的には、確率密度関数f(X)は
f(X) = 1/3 0≦X≦3 で与えられます。
これを積分してみます
∫f(X)dX =1/3* [X]0-3 = 1 で確かにf(X) は確率密度関数です。
ここで、変数X を変数Y = X^2 に変換した場合の確率密度関数f’(X)
を考えてみます。
f’(X) = 2/9* X 0≦X≦9 となります。
これを積分してみます
∫f’(X)dX =2/9* [X^2/2]0-9 = 1 で確かにf(X) は確率密度関数です。

f’(X) のXの中央値を 9/2 とし、その中央値から±9/4の範囲を考えて
見ます。この範囲が、X^2 ⇒ X に戻したf(X) ではどういう範囲に
なるでしょうか?
中央値9/2 – 9/4 の範囲の面積は√をとって、1/3 を掛ければ0.2071。
中央値9/2 + 9/4 の範囲の面積は√をとって、1/3 を掛ければ0.1589。
つまり、変換前は対称な範囲も、変換後は非対称な範囲になって
います。

f(X) が対数正規分布で、変換X→X^2がlogX、f’(X) が正規分布の
場合は話はより複雑に成ります。
しかし、対数正規分布と正規分布のそれぞれの範囲を単純に同じと
考えてはいけない事は解っていただけると思います。
<標準偏差は○○である>と言う記述が有る場合には、f(X)の標準
偏差と思います。f’(X)の分散は平均値μと標準偏差σの関数です。

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AF%BE%E6%95%B0%E6%AD%A3%E8%A6%8F%E5%88%86%E5%B8%83

<データが対数正規分布している場合も,μ±σの範囲内に
約68%のデータが分布し,μ±2σの範囲内に約95%の
データが分布するといえるのか?>
というご質問と思いますが、そう単純ではありません。

対数正規分布はWikiによれば次の様なものです。
<対数正規分布は、連続確率分布の一種で、この分布に従う
確率変数の対数をとったとき、対応する分布が正規分布になる。>
つまり、確立変数をXとした時に、その対数logXを取り、それを
横軸として、頻度を描くと、その形が正規分布になる様な分布です。
確立変数...続きを読む

Q確率変数XとYはf(x,y)=cxy^2(0

宜しくお願い致します。

[Q]The random variables X and Y have a joint probability density function given by f(x,y)=cxy^2 for 0<x<y<2 and 0 elsewhere
a) Find c so that f is indeed a probability density function.
b) Find P(X<1,y>1/2).
c) Find the probability density function of X.

[問]確率変数XとYはf(x,y)=cxy^2(0<x<y<2でそれ以外は0)で与えられた同時確率密度関数を持つとする。
(a) fが本当に確率密度関数であるようなcを求めよ。
(b) P(X<1,Y>1/2)を求めよ。
(c) Xの確率密度関数を求めよ。

[(a)の解]fが本当に確率密度関数なら∫_y∫_xf(x,y)dx=1.
∫[0..2]∫[y..0]cxy^2dxdy=∫[0..2]cy^2[x^2/2]^y_0dy
=∫[0..2]cy^2(y^2/2)dy=c/2∫[0..2]y^4dy=c/2[y^5/5]^2_0
=c/2(32/5)=32c/10=1. ∴c=5/16

[(b)の解]P(X<1,Y>1/2)=∫[1/2..2]∫[0..1]5xy^2/16dxdy
=∫[1/2..2]5y^2/16[x^2/2]^1_0dy
=∫[1/2..2]5y^2/16・(1/2)dy
=5/32∫[2..1/2]y^2dy
=5/32[y^3/3]^2_1/2
=5/32[8/3-1/8/3]
=0.41

[(c)の解]f_x(X)=∫_yf(x,y)dy=∫[0..2]5xy^2/16dy
=5x/16[y^3/3]^2_0=5x/16(8/3)=5x/6

で(c)の解が間違いだったのですが正解が分かりません。
正解はどのようになりますでしょうか?

宜しくお願い致します。

[Q]The random variables X and Y have a joint probability density function given by f(x,y)=cxy^2 for 0<x<y<2 and 0 elsewhere
a) Find c so that f is indeed a probability density function.
b) Find P(X<1,y>1/2).
c) Find the probability density function of X.

[問]確率変数XとYはf(x,y)=cxy^2(0<x<y<2でそれ以外は0)で与えられた同時確率密度関数を持つとする。
(a) fが本当に確率密度関数であるようなcを求めよ。
(b) P(X<1,Y>1/2)を求めよ。
(c) Xの確率密度...
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Aベストアンサー

うーん、前回の質問といい、なぜ前の2問ができてこれを間違うのでしょう?
発展問題というより、視点を変えただけで難易度も考え方も同じです。
今回は前回よりは勘違い度が低いのできちんと書いておきます。

f(x,y)=cxy^2(0<x<y<2でそれ以外は0)
なのですからyの積分範囲は下限x,上限2ですね。

5x/16∫[x,2]y^2dy=5x/16 * [y^3/3]^2_x=5x/48 * (8-x^3)
(=5x/6-5x^4/48)

Q土木で正規分布の応用

土木で正規分布・対数正規分布・指数分布を用いる事例を教えていただけませんでしょうか。

Aベストアンサー

記憶が怪しいので、間違っている場合があります。
正規分布
巻尺の読みや図面の寸法を物差しで読み取るとき
(読み取り誤差のみが存在する場合)

対数正規分布・指数分布
河川の流量。どっちの分布を示すのか忘却
http://www.kkr.mlit.go.jp/fukuchiyama/river/iinkai/siryou02/1_12.html

対数正規分布
降水量

指数分布
交通量

Q正規分布の加法性について(平均値の求め方)

正規分布の加法性について(平均値の求め方)について教えてください。

たとえば,1つの正規分布の平均値が100,もう1つの正規分布の平均値が110で,この2つの正規分布の「差」を求める場合,平均値は10になるのでしょうか,それともマイナス10になるのでしょうか。

「常に大きい値から小さい値を引く」というようなルールはあるのでしょうか。

Aベストアンサー

まず、前回回答の「平均同士の差A-Bが新しい平均」という言葉は、あまりよくなかったです。
数学と英語を総合した平均点が10点(あるいは-10点)としているみたいですからね。(本題と関係ないかもしれませんが。)

さて、

>>>
例えば,Aが女性の平均身長でBが男性の平均身長だとします(値のおかしいのは無視してください)。全体数が同じだと仮定して,新しくできた「身長の差」の正規分布を用いて,男性よりも身長が高い女性の割合を計算するとします。このとき,A-Bなら平均値がマイナス10ですが,B-Aなら10になります。
平均値がマイナス10の場合と10の場合とでは,男性よりも身長が高い女性の割合は違ってしまいませんか? 

A-B にするか B-A にするかは任意、
つまり、役割分担を、
・男性=プラス、女性=マイナス
・女性=プラス、男性=マイナス
のどちらにしてもよいので、お好きなほうに決めればいいだけです。
座標を考えるとき、東と西のどちらをプラスにするかを決めるのと同じことです。


>>>
差は常に絶対値をとるのでしょうか? でも,A(女性の身長)-B(男性の身長)は普通に考えればマイナスになる場合が多いはずで,差を絶対値とするのはおかしい気がします。
当初の質問の「常に大きい値から小さい値を引く」というようなルールはあるのでしょうか,とはこういう意味なのですが・・・。

絶対値を取る必要はありません。
上記で述べた「役割分担」を決めることによって、プラスかマイナスかが反転します。
(最初の回答文の、最後の2行にも書いてますけど。)

まず、前回回答の「平均同士の差A-Bが新しい平均」という言葉は、あまりよくなかったです。
数学と英語を総合した平均点が10点(あるいは-10点)としているみたいですからね。(本題と関係ないかもしれませんが。)

さて、

>>>
例えば,Aが女性の平均身長でBが男性の平均身長だとします(値のおかしいのは無視してください)。全体数が同じだと仮定して,新しくできた「身長の差」の正規分布を用いて,男性よりも身長が高い女性の割合を計算するとします。このとき,A-Bなら平均値がマイ...続きを読む

QX,Yは正規分布(0,1)に従う互いに独立な確率変数とする、このとき、

X,Yは正規分布(0,1)に従う互いに独立な確率変数とする、このとき、X+Y、X/Yの分布は?
  頭悪いです、すみません~

Aベストアンサー

正規分布の再生性は応用上たいへん重要なので,覚えてくださいね。
コーシー分布の密度関数の導出も確認してください。
密度変換の公式などは,大丈夫ですね。


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