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うなりの周期はなぜ普通の波の半波長なんですか?

センター模試で出てきて答えられず困っています。

なるべく数式でなく感覚的な回答をお願いします。

教えて!goo グレード

A 回答 (8件)

>うなりの周期はなぜ普通の波の半波長なんですか?



時間的変化に関わる「周期」と空間的変化に関わる「波長」がごちゃまぜに使用されていて,何をいってるのかわからない表現になっていますね。^^; 用語を正しく使わないと,なかなか伝わりません。

推察するに,
単振動または正弦波における周期は,媒質の変位の時間的変化のグラフにおいて,「山」+「谷」(1回振動)の時間であるのに,うなりにおける振幅変動の周期は,なぜグラフ上の「山」ひとつなのか・・・ということですね? (断っておきますが,この「山」「谷」の用語も正しい使い方ではありません)

うなりの周期というのは,強弱をくりかえす周期ですから強から強まで,または弱から弱までの時間です。1つめのイモの形と2つめのイモの形は,振幅の変動(強弱)という点では同じくりかえしです。ですから,グラフの「山」(イモ)ひとつが1周期ということになります。
一方,振動の変位の時間的変化では,「山」(正方向変位)と「谷」(負方向変位)における変動は明らかに同じくりかえしではありません。したがって,両方を含む時間が1周期ということになるわけです。

物理で「感覚的」な理解は大切ではありますが,その意味を理解せずに,グラフの山(谷)の数というような機械的な判断での暗記にたよることは大変危険です。
周期という言葉は,繰り返す現象において,その繰り返し時間をさすというそれ以上でも以下でもありません。そこを理解しましょう。
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この回答へのお礼

理解できました。

説明不足でなにかとご迷惑おかけしましたが、助かりました。

あなた様のご指摘通り、暗記で頼っていた節がありました。

以後気をつけようと思います。

お礼日時:2009/01/12 23:18

htms42さんは、#3が間違っていると断言されたので説明します。



音波のうなり現象とラジオの周波数混合器での物理現象は等価と考えます。

htms42さんの書かれた式は、
三角関数の和->三角関数の乗算
で、
私の示した式http://www.crossroad.jp/mathnavi/kousiki/sankaku …
三角関数の積->三角関数の和

の3.式と全く同じです。

=イコールで結ばれた右辺式と左辺式を
左右逆に書いたもので同じことを言っているのです。
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今問題になっているうなりは2つの楽器を鳴らしたり、発信機を2つ鳴らしたりしたときに聞こえるものです。

楽器の調律に音叉を使うときもこのうなりで合わせています。
うなりの回数が振動数の差であるというのはこの場合です。
高等学校の教科書に出てくるのもセンター試験に出るのもこの場合です。ラジオの内部で起こっていることは関係がありません。2つの音源からでた振動が耳(またはマイク)の上で重なるのです。単なる振動の重ね合わせです。 

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%81%86%E3%81%AA% …
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>元の2つの音をsin(2πf1t)、sin(2πf2t)とします。


>f1~f2です。
>sin(2πf1t)+sin(2πf2t)
>   =2sin(π(f1+f2)t)cos(π(f1-f2)t)
>   =2sin(2πft)cos(π(f1-f2)t)
>  f=(f1+f2)/2

周波数の混合、例えばラジオ受信機の周波数混合部は
アナログ乗算回路です。
このため、合成周波数は加算ではなく
#3のように乗算で求めます。
http://blackfin.s36.coreserver.jp/index.php?id=14
の図で×に○を付けた記号が乗算器で周波数の変換を行います。

参考URL:http://blackfin.s36.coreserver.jp/index.php?id=14
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うなりは少しだけ違った2つの振動の音が重なった時に聞こえる現象です。

それぞれの音を単独で聞いたときには違いが分からなくても重ねてみると分かるのです。

うなりの起こっているときの波の形を描いた図を見ての質問のはずですね。元の音の振動数に対応する振動の波が書いてあるはずです。その振幅が変化しています。振幅の変化は音の強弱になって聞こえます。うなりの周期というのはこの振幅の変化の起こる周期です。強く聞こえたときと次に強く聞こえた時の時間間隔です。振動数が400Hzの音の強弱の繰り返しが1秒間当たり2回であればうなりは2回なのです。
振幅の変化を表す式にsinまたはcosが出てきますのでそれから判断しての質問だろうと思いますが図を描いてみれば分かるはずです。大きなうねりの中に細かくたくさんの振動が入っていますから+0-0+とはなっていないのです。0+0+です。

式でも書いておきます。
(#3は間違っています。同じ振動数の音が重なれば強さが2倍になるだけです。振動数は変わりません。スピーカーを2つ取り付けると音が変わってしまったなんてことは起こりません。大きく聞こえるだけです。)

元の2つの音をsin(2πf1t)、sin(2πf2t)とします。
f1~f2です。
sin(2πf1t)+sin(2πf2t)
   =2sin(π(f1+f2)t)cos(π(f1-f2)t)
   =2sin(2πft)cos(π(f1-f2)t)
  f=(f1+f2)/2

f1~f2でしたからf~f1です。ほとんど初めの振動数と変わらないのですから同じ音が聞こえているということです。
cosの部分は(f1-f2)で決まっていますからもっと周期が長いです。振幅がゆっくり変わることを意味しています。この周期は0から0までの時間で決まります。繰り返しの回数は1秒間に(f1-f2)回です。
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うっかりしてました間違ったびで訂正します。


×
>このときの波の波長は、生成された周波数
>の逆数を取ればよいので、1/(2f)[S]と、周期は半分(半波長)
>になります。


このときの波の周期は、生成された周波数
の逆数を取ればよいので、1/(2f)[S]と、周期は半分になります。

fλ=c=光速(一定)

この式を成立させるには、
f→2f
λ→λ/2(半波長)
と波長は半分になります。
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二つの周波数の波を合成すると、2つの周波数の波を足し算した


周波数=f1+f2[Hz]、 周期=1/(f1+f2)[S]の波と
引き算した
周波数=f1-f2[Hz],周期=1/(f1-f2)[S]
と、2種類の波が出てきます。

たまたま2種の波が、f1=f2と周波数が同じという条件がなりたてば
合成される波の周波数は、f1+f1=2f1[Hz]と2倍の周波数の波が
うなりとして出てきます。このときの波の波長は、生成された周波数
の逆数を取ればよいので、1/(2f)[S]と、周期は半分(半波長)
になります。

センタ試験をうける高校生であれば、次の公式はマスタする必要が
あります。

三角関数の積和公式http://www.crossroad.jp/mathnavi/kousiki/sankaku …

物理で出てくる
fλ=C



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>うなりの周期はなぜ普通の波の半波長なんですか?



 周期:同じ状態が繰り返す時間、単位は秒
 波長:波一つ分の長さ、単位はメートル

 ということで、周期と波長は、同じとか違うとかいう以前に、そもそも違う種類の量です。(比喩的に言って、波長は空間的な周期である、ということは言えますが、あくまで別の量です。)

 波をグラフで表現するとき、ある瞬間の波形を横軸を距離に取って表す場合と、ある場所での時間的変化を横軸を時間にとって表す場合があります。正弦波の場合、どちらのグラフもサインカーブになります。横軸が距離のとき、サインカーブの山から山までが1波長です。横軸が時間のとき、サインカーブの山から山までが1周期です。
 グラフの形として同じなので、周期と波長を混同してしまったのでしょうか。

 さて、周期とは、「ある場所が山になってから次の山になるまでの時間」のように、「同じ状態」になるまでのくり返しの時間です。もちろん山でなくても「谷になってから次の谷間になるまでの時間」でもかまいません。

 うなりの周期も「同じ状態」になるまでのくり返しの時間です。つまり「大きく聞こえるときから次に大きく聞こえるまでの時間」がうなりの周期です。うなりの様子を横軸を時間に取ったグラフで表すと、振幅最大のところから、隣の振幅最大のところまでの時間です。

 なぜ「半波長」という言葉が出てきたのかはわかりませんが、うなりの周期とは以上のようなことです。
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この回答へのお礼

そもそも周期という概念がおかしかったようです。

ありがとうございました

お礼日時:2009/01/12 23:30

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