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e^x^2 を不定積分した場合の解を教えて下さい。

e^x は微分すると不変で e^x 、
e^ax は微分すると a*e^ax になるんですよね。
参考書を見ると、e^x^2 を微分すると 2x * e^x^2 になっているようです。
すると、e^x^2 を不定積分したら 1/2x * e^x^2 になるのでしょうか?
ただ、1/2x * e^x^2 を微分しても e^x^2 にはならず、(-1/x^2 + 1)e^x^2 になるように思います。

ご回答お願い致します。

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A 回答 (4件)

#2です。


補足です。
>大学レベルの数学では、不定積分は
>∫e^(x^2)dx=-i(√π)erf(ix))/2 +C (iは虚数単位,elf(・)は誤差関数)
この積分の「-i(√π)erf(ix))/2」は虚数単位が含まれていますが、実数
になります。
この誤差関数erf(x)を使わないで、参考URLの
特殊関数である虚部誤差関数erfi(x)を使って表せば、
∫e^(x^2)dx=(√π)erfi(x))/2 +C

なお、
erfi(x)=erf(ix)/i
の関係にあります。

参考URL:http://integrals.wolfram.com/index.jsp?expr=Exp% …
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この回答へのお礼

おおよそ理解させて頂きました。
ご説明ありがとう御座います。

ただ、結局この積分を用いた問題の解答に辿り着けておりません。
そちらの方ももう少し考えてみて、どうしても分からないようならば問題そのものの質問トピックを立てさせて頂こうと思っております。
その時はまたよろしくお願いします。

お礼日時:2009/01/23 20:12

>#2


はい、ガウス積分と勘違いしてましたorz
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e^(x^2)の不定積分は出来ませんね。


大学レベルの数学では、不定積分は
∫e^(x^2)dx=-i(√π)erf(ix))/2 +C (iは虚数単位,elf(・)は誤差関数)
となります。

∫e^(-x^2)dxなら、実関数の特殊関数(誤差関数)で不定積分が
得られます(大学数学レベル)。高校数学レベルでは初等関数では表せないので積分できない。というのが答になります。
大学レベルの解答では
∫e^(-x^2)dx=(√π)*erf(x)/2+C

なお、#1さんの
∫[0,∞]{exp(x^2)}dx = (√π)/2
は間違いで左辺は∞に発散します。

以下の不定積分と勘違いされているようです。
∫[0,∞]{exp(-x^2)}dx = (√π)/2
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e^(x^2)の原始関数を初等関数で表すことは出来ません。



積分範囲を[0,∞]とすれば定積分は計算でき
 ∫[0,∞]{exp(x^2)}dx = (√π)/2
となります。
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この回答へのお礼

なるほど、できないという話なんですね。
参考にさせて頂きます。

お礼日時:2009/01/23 02:56

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Qe^(-x^2)の積分

e^(-x^2)の積分はどうやったらよいのでしょうか?
どなたか分かる方、よろしくお願いします。

eは自然対数の底でe^(-x^2)=exp{-x^2}

Aベストアンサー

ガウス分布に使いますね。
やりかたですね。一般的なものを参考程度までに、

xy座標の第一象限で原点を通る一辺aの正方形
と正方形に接する半径aの(1/4)円とr半径√2aを考えるんですね。
正方形の領域□でe^-x^2 をx方向に積分すると、
∫[0→a]e^-x^2dx
正方形の領域だからe^-y^2 をy方向に積分しても
同じ値になりますね。だから
∫[0→a]e^-x^2dx=∫[0→a]e^-y^2dy
ということは、x,yは独立に考えられるので、
∫[0→a]e^-(x^2+y^2)dxdy
={∫[0→a]e^-x^2dx}^2
という関係が出ますね。
だから、e^-(x^2)を積分する代わりにe^-(x^2+y^2)を積分してその√を取れば解が得られるという論法を利用するんですね。
四角形の領域で
I=∫[x,y:0→a]e^-(x^2+y^2)dxdy
を積分するにはちょっとなんで、四角形に接する大小の円で挟み撃ちを考えるんですね。
半径aの(1/4)円では、
極座標変換して、(x^2+y^2)=r^2, dxdy=rdrdθ
=∫[0→a]e^-(r^2)dr∫[0→π/2]dθ
=(1/2)(1-e^-a^2)(π/2)=(π/4)(1-e^-a^2)
同様に、半径√2aの(1/4)円では、
=(π/4){1-e^-(2a^2)}
だから、
x:0→a
√{(π/4)(1-e^-a^2)}<∫[0→a]e^-(x^2)dx
<√{(π/4){1-e^-(2a^2)}}
が回答ですね。これ以上は数値表を参照ですね。
a→∞ であれば、
∫[0→∞]e^-(x^2)dx=(√π)/2
が回答になりますね。
広域積分でも検索すれば参考になるかも。

ガウス分布に使いますね。
やりかたですね。一般的なものを参考程度までに、

xy座標の第一象限で原点を通る一辺aの正方形
と正方形に接する半径aの(1/4)円とr半径√2aを考えるんですね。
正方形の領域□でe^-x^2 をx方向に積分すると、
∫[0→a]e^-x^2dx
正方形の領域だからe^-y^2 をy方向に積分しても
同じ値になりますね。だから
∫[0→a]e^-x^2dx=∫[0→a]e^-y^2dy
ということは、x,yは独立に考えられるので、
∫[0→a]e^-(x^2+y^2)dxdy
={∫[0→a]e^-x^2dx}^2
という関係が出ますね。
...続きを読む

Qexp(ikx)の積分

exp(ikx)のマイナス無限大から無限大までの
積分の公式または方法はありますか?
iは虚数でkは定数です。

Aベストアンサー

それはδ関数になります。普通に積分しても答は出ません。

たとえば、

∫[-a→a] exp(ikx) dx = 2a [sin ka]/[ka] = 2a sinc(ka)

2a sinc(ka)は-∞から+無限大までkで積分すると
aによらず面積が2πになる関数で、a→+∞の極限をとったものを
2πδ(x)と書きます。これがδ関数です。なので、

∫[-∞→∞] exp(ikx) dx = 2πδ(x)


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