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こんばんは。大学の数学で分からないところがあるので質問させて頂きます。
平面曲線の特異点についてなのですが、教科書では、
「f(x,y)=0となる点(x,y)の点の集合のなかの点(a,b)での、
(∂f/∂x)=(∂f/∂y)=0
となる点を特異点、そうでない点を通常点と呼ぶ」
とあります。
そして、問題演習で分からなくなってしまったのですが、
f(x,y)=x^3+y^3-3xy=0
について、特異点を求めるときに、解答では
「∂f/∂x=3x^2-3y・・・(1)
∂f/∂y=3y^2-3x・・・(2)
だから特異点は原点(0,0)だけ」
となっていたのですが、点(1,1)を代入しても(1)、(2)式は0になりますよね?(1,1)は特異点にはならないのでしょうか?他の演習問題も同じ理由でつかえています。
どなたかご指導お願い致します。

gooドクター

A 回答 (3件)

定義通りなら(1,1)も当然特異点になりますよね。


おそらく教科書と講義、あるいは教科書と演習書で特異点の定義が違っているのではないでしょうか。

問題集で(0,0)のみ特異点と言っていることから察するに、問題集の方では特異点=あん点のことを指してるのではないでしょうか・・・


参考までにx=f(x.y)の曲面を添付しておきます。
(0,0)があん点、(1,1)が極小になっていますね。
「平面曲線の特異点について」の回答画像1
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「特異点」という言葉は、文字通り「何か特別のことが起こっている点」という程度の意味で、


杓子定規には、「~の性質に関する特異点」と書かなければ、本当は意味が定まりません。
関数の微分可能性に関する特異点のことを、単に「特異点」と呼ぶ慣習が普及していますが、
そのテキストが扱っている話題によっては、別のものを「特異点」と呼びます。

∂f/∂x = ∂f/∂y = 0 となる (x,y) のことを f の「臨界点」、
f(x,y) = 0 となる (x,y) のことを f の「零点」と言うのですが、
臨界点のことを特異点と呼んだり、零点や極のことを特異点と呼んだりする文脈があるのです。
個々の例で、どの意味で「特異点」と言っているのか、確認する必要があります。

# 臨界点の中には、「鞍点」「極小点」「極大点」などがあります。
# 「極」は、1/f(x,y) の零点になる (x,y) のことで、「極小点」「極大点」とは違います。
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特異点の定義をしっかりみましょう.


(1,1)は確かに(∂f/∂x)=(∂f/∂y)=0
ですが,
f(1,1)=1^3+1^3-3x1x1=-1
なので,f(x.y)=0ではありません.
したがって,(0,0)のみが特異点です.

考察対象は
f(x,y)=x^3+y^3-3xy
としたときのf(x,y)=0のことなので
z=f(x,y)のグラフを描いてもあまり意味がないのです.
z=f(x,y)とxy平面の共通部分だけが問題なのです.
ちなみにこれは代数曲線の(孤立)特異点のうち
もっとも簡単なものです(ノードと呼ばれている).

#それにしても・・・何の講義なんだろうか
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