任意の実数x,yについて、g(x+y)+g(x-y)>=2g(x)が成り立つ事について教えて下さい。

塾の先生からも「わからんわぁ」で一蹴されてしまった問題その２です。
「解法を検討しなさい」って時点で、答えがあるかどうかもわかりませんが、判る方、ぜひ教えて下さい。

問題：次の問題の解法を検討しなさい
f(x)=1-sin x に対し、g(x)=∫[x→０] (x-t)f(f)dtとおく。
このとき、任意の実数x,yについて、g(x+y)+g(x-y)>=2g(x)が成り立つ事を示せ。

※数式の書き方に迷ってしまい、上記の様に記載しました
　もっと判りやすい書き方があれば、書き方も教えてください。
　よろしくお願いします。

No.4 ベストアンサー 回答者： info22 回答日時： 2009/02/05 14:00

#3です。

A#3について
>>g(x+y)+g(x-y)>=2g(x)
>も不等号の向きが逆ですから問題の間違いでしょう。
これについては

>> g(x)=∫[x→0] (x-t)f(t)dtとおく。…f(f)はf(t)で置換え済
の積分の範囲の書き方が、常識と逆に書いて見えるなら、
積分の上限と下限を逆にすれば、g(x)の符号が反転しますので
不等式が成立するようにするには
g(x)=∫[0→x] (x-t)f(t)dt
と訂正すればいいでしょう。
(この本来の書き方では、積分の下限が0,積分の上限がxと捕らえるのが常識です。)

No.5 回答者： arrysthmia 回答日時： 2009/02/05 23:42

ワープロで数式を書くのは、難しいですね。

掲示板での数式表記については、慣習があって、
常連者にとっては「こう書かなければ」のような
ものがあるのですが…　数学本来の内容とは別の
話ですから、その点で萎縮する必要はありません。
なるべく分かるように書こうという意思があれば、
伝わる相手には、伝わります。
読む側に、題意を汲もうという気持ちがあれば。

最初に書きましたが、この問題の問題意識は、
きっと、どの解法が一番良いかといった点でなく、
何種類のアプローチを挙げることができるか
にあると思われます。参考書など手繰って、
いくつか考えてみましょう。

No.3 回答者： info22 回答日時： 2009/02/05 13:45

塾の先生が分からん、質問者も全く分からん。

なので、自助努力なしで問題を丸投げすればこのサイトの禁止事項に該当し削除対象になります。質問者さんのやった解答の経過を補足に書いてください。
何もやっていないなら、質問資格なしです。

問題に対するコメント）
問題のミスは訂正してください。
> g(x)=∫[x→０] (x-t)f(f)dtとおく。
この式の中のf(f)は何ですか？
f(x),f(t)それともそれ以外？
訂正してくれないと回答者は的確なアドバイスをできません。

f(x)とした場合
g(x+y)+g(x-y)≧2g(x)
は成立しません。

f(t)とした場合
g(x+y)+g(x-y)≦2g(x)
が成立しますね（等号はy=0の時のみ成立）。
なので
>g(x+y)+g(x-y)>=2g(x)
も不等号の向きが逆ですから問題の間違いでしょう。

No.2 回答者： Tacosan 回答日時： 2009/02/05 12:48

y=g(x) をグラフに描く.

g''(x) が常に正であることが示せると... ちょっとオーバースペック.

No.1 回答者： arrysthmia 回答日時： 2009/02/05 12:19

「解法を検討しなさい」というのは、イロイロな別解を考えてみなさい

…ということでしょう。先生が「一蹴」した理由も、ソレだと思います。
自分で考えるか、調べて見つけないと意味が無いのでしょう。

一番頭を使わない、計算だけの解法として、
G(y) = g(x+y) + g(x-y) の最小値が G(0) であることを示す
…というモノがあります。
G ' (y) を求めて、その符号を調べれば終わりです。
積分記号の中にある x の処理を間違えないよう注意しましょう。

塾の先生の期待に応えて、別の方法も考えてみて下さい。