円と接する二次曲線の間の面積：大学入試問題

放物線y=(5/8)x^2と点A(0,2)を中心とする円が異なる2点で接するとき、この円と放物線で囲まれる部分の面積を求めよ。

という大学入試の問題です。
先生の書いた板書と私の出した解答が違っていて、困っています。
解答冊子はもらえませんでした。

解いていくと、円の半径は8/5、接点は(±4√3/5,6/5)と出てきます。
ここまではOK、あとは面積積分だけなのですが、何度やっても先生の書いた解答と合いません。

ご指導よろしくお願いします。

No.2 ベストアンサー 回答者： mister_moonlight 回答日時： 2009/02/09 21:23

Ａ（0、2）、Ｏ（0、0）、Ｐ（4√3/5、6/5）、Ｑ（4√3/5、0）とすると、余弦定理より、∠ＰＡＯ＝60°。

対称性より、y軸の右半分を考えて、結果はそれを2倍すると良い。

台形ＡＯＱＯ－（1/6）*（円Ａの面積）-（5/8）∫[0、4√3/5]{x＾2}dx＝（24/25）*√3-（32/75）*π

つまり、求める面積は、（48/25）*√3-（64/75）*π

この回答へのお礼

ありがとうございました!
ちょっと早く他の方にお答えいただけましたが、ご親切に感謝します。
わかりやすかったです。

お礼日時：2009/02/09 21:37

No.1 回答者： inara1 回答日時： 2009/02/09 20:25

＞解いていくと、円の半径は8/5、接点は(±4√3/5, 6/5) と出てきます

これは合っています。

円の下側の方程式は
　　y = 2 - (1/5)*√( 64 - 25*x^2 )
で、これは放物線より上側にあるので、これと放物線で囲まれた領域の面積 S は
　　　S = ∫ [ x = -( 4/5 )*√3 ～ ( 4/5 )*√3 ] { 2 - (1/5)*√( 64 - 25*x^2 ) - ( 5/8 )*x^2 } dx
　　　　 = ( 48/25 )√3 - ( 64/75 )*π
になると思います。先生の書いた解答は何でしょうか。

この回答へのお礼

ありがとうございました!すっきりしました。

先生は( 38/25 )√3 - ( 64/75 )*πと板書したようにノートに書いてあるんですが、写し間違いかもしれません…。
何度計算しても書いていただいたのと同じ答えが出ていました。

お礼日時：2009/02/09 21:34