大学レベルでの解き方

abcd = 1 が成り立つ時，
a^2 + b^2 + c^2 + d^2 + ab + ac + ad + bc + bd + cd
の値が 10 以上であることを証明せよ．

※ a^2はaの2乗を表します．

の問題に対して、次のようなコメントがありました
『高校範囲の解き方(大学受験で許される解き方)でいけば，5 分くらい．
大学範囲の解き方(分類的には代数学かな…)でいけば，早くて 3 秒くらいかなと思う． 』

大学範囲の解き方ってのが何を使ったら良いのか教えてください。

No.7 ベストアンサー 回答者： kobold 回答日時： 2009/02/12 14:12

みなさんおっしゃっておられますが、a,b,c,d>0を仮定します

式の値は明らかに正なので、最小値を持ちます
対称式なので最小となる候補はa=b=c=d=1のとき
これを代入して10です

もう少し厳密に言うと、ラグランジュの係数未定法から
f=a^2 + b^2 + c^2 + d^2 + ab + ac + ad + bc + bd + cd
g=abcd-1
h=f+ug
とおいて
hをa,b,c,d,uで偏微分して0になるところが最大最小の候補なのですが、
式の形から明らかにa=b=c=dっぽいですよね
その人は以下の計算を明らかとして省略したのではないでしょうか

abcd=1と各変数で偏微分した式から
2a+b+c+d+ubcd=0 → 2a^2+(b+c+d)a+u=0
2b^2+(a+c+d)b+u=0
これから2a^2+(c+d)a=2b^2+(c+d)b=0
(a-b)(2a+2b+c+d)=0
よって、a=b
つまり候補はa=b=c=dのときです

ただ、これは分類的には解析学に入ると思います

No.6 回答者： mister_moonlight 回答日時： 2009/02/12 12:03

＞a>0,b>,c>0,d>0の条件が抜けていませんか？

a＝c＝b＝d＝-1の時は、どうなるの？

No.5 回答者： info22 回答日時： 2009/02/12 01:43

#4です。

A#4中、つまらない誤植がありましたので訂正します。
>となますので、証明不可能です。
の部分で「り」が抜けました。
「となりますので、証明不可能です。」と置き換えて下さい。

No.4 回答者： info22 回答日時： 2009/02/12 01:39

>abcd = 1 が成り立つ時，

これだけの条件だったら
a=c=-1,b=d=1の時
> a^2 + b^2 + c^2 + d^2 + ab + ac + ad + bc + bd + cd
= 2 ＜10
となますので、証明不可能です。

a>0,b>,c>0,d>0の条件が抜けていませんか？

No.3 回答者： owata-www 回答日時： 2009/02/12 01:25

#1ですが、よくよく考えれば10項間でやればいいのでした (苦笑

a^2 + b^2 + c^2 + d^2 + ab + ac + ad + bc + bd + cd ≧10*√（a^2 * b^2 * c^2 * d^2 * ab * ac * ad * bc * bd * cd ）
等号は
a^2 = b^2 = c^2 = d^2 = ab = ac = ad = bc = bd = cd
の時成り立ちます

No.2 回答者： arrysthmia 回答日時： 2009/02/12 01:12

大学入試で答案に書くことが許されるか否かはともかく、

知識としては高校数学の範囲で、「相加相乗平均の関係」を使う。
ただし、１０項目間の相加相乗平均の関係。

大学の「代数学」では、こんなのはやらないのでは？

No.1 回答者： owata-www 回答日時： 2009/02/12 01:11

一応高校レベルでも出来ますけど

相加相乗平均の定理より
(a^2 + b^2 + c^2 + d^2)/4≧（a^2*b^2*c^2*d^2）^(1/4)
より
a^2 + b^2 + c^2 + d^2≧４　（ただし等号はa=b=c=dの時成立）

同様に
ab+cd≧2
ac+bd≧2
ad+bc≧2
でa=b=c=dの時等号が成り立ちます

ってやれば
a^2 + b^2 + c^2 + d^2 + ab + ac + ad + bc + bd + cd ≧10
が出ます

まあ、３秒かどうかはしりませんが