出産前後の痔にはご注意!

先日学校で掃き出し法をならったんですがやり方がいまいちわかりません。

x+2y+3z=4   例えばこの連立方程式を掃き出し法で解くなら
2x+3y-z=-2    どうすればいいでしょうか?
3x+4y-2z=-5  どなたか分かりやすく教えてください。よろしくお願いします。

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A 回答 (1件)

[例えばこの連立方程式を掃き出し法で解くなら


どうすればいいでしょうか?]
ですか。参考程度に

x+2y+3z=4 ←これ基準にxを消す。  
2x+3y-z=-2    
3x+4y-2z=-5 

x+2y+3z=4 ←xの係数1は変えないように 
0+y+7z=10 ←これ基準にyを消す。 
0+2y+11z=17

x+0-11z=-16 ←xの係数1は変えないように 
0+y+7z=10  
0+0-3z=3  ←これ基準に直す。

x+0-11z=-16 ←yの係数1は変えないように
0+y+7z=10  ←yの係数1は変えないように
0+0+z=-1   ←これ基準にzを消す。

x+0+0=-27
0+y+0=17
0+0+z=-1

ということですか。参考になるかどうか。
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Q行列の消去法のコツなど教えてください。

只今、学校にて行列を習っているわけですが、最近行列を使った消去法を習い始めました。

たとえば

3  1 -7  0
4 -1 -1  5
1 -1  2  2

このような行列があったとします。
習った方法は、
(1)一つの行に0でない数をかける。
(2)一つの行にある数をかけたものを他の行に加える。
(3)二つの行を交換する。

1  0  0  3
0  1  0  5
0  0  1  2
このような式に変形してx=3,y=5,z=2みたいな感じにするということでしたが、

今回教えていただきたいことは、
→1度に前述の3つの式を何回も使っていいのか。
→うまく変形するコツ。

の二つです。

やり方自体はなんとなくわかるのですが、単位行列に持っていくまでの手順がイマイチ難しくわからないので、よろしければご教授願います。

2月頭辺りからテストなのでズバリを突いて欲しいと思います。

よろしくお願いします。

Aベストアンサー

→1度に前述の3つの式を何回も使っていいのか。
何回でも使っていいです。1+1=2と1+1+1-1+1-1+1-1=2が等価なのと同じことと思ってください。

→うまく変形するコツ。
”うまく”はないですけど、初心者向けの解法のコツみたいなものとして、参考までに。
(1)n列目のn行を1にする。
(2)「n列の他の行の数」を、(1)で作った1に-(「n列の他の行の数」)をかけてたして0にする。
(3)単位行列になるまで(1)~(2)を繰り返す。
※nは1~行列の次数(2次正方とか3次正方とかの2,3)です。

Q行列 掃き出し法

掃き出し法について質問させて頂きます。

掃き出し法を行う場合に、基本的には行基本変形を行なって、
階段行列ないし単位行列を求めますが、列基本変形を行なっても
同じになるのはなぜでしょうか?


また、行基本変形を行って、その後、列基本変形を行うというような
基本変形を行と列でちゃんぽんして計算しても良いのでしょうか?

以上、ご回答よろしくお願い致します。

Aベストアンサー

う~ん。
行列の階数を定義するのに、基本変形を用いた
階段化を経由するテキストは意外に多い。
演習問題との絡みで、具体的な行列の階数を
計算するためには、そのタイプの定義が解りよい
っちゃ解りよいのだけれど…
線型写像を表現するものとしての行列の性質を
理解するためには、像空間の次元だとか、
非零小行列式の次数だとかによるほうがスジがよい
ように思えてならない。
階段行列を使っても、厳密さに支障は無いけれども。

一次方程式を解く際に、行基本変形だけ使って
完了できることは、ガウスの消去法にも見えるとおり。
列基本変形を併用する上での注意点は、前述の如く、
列変形を行うと、もとの各未知数が行番号に対応
しなくなるから、最後に列変形を逆にたどって
未知数の値を復元しなければならなくなるってこと。
そこを間違えなければ、列変形を使っても構わない。

Q積分で1/x^2 はどうなるのでしょうか?

Sは積分の前につけるものです
S dx =x
S x dx=1/2x^2
S 1/x dx=loglxl
まではわかったのですが
S 1/x^2 dx
は一体どうなるのでしょうか??

Aベストアンサー

まず、全部 積分定数Cが抜けています。また、積分の前につけるものは “インテグラル”と呼び、そう書いて変換すれば出ます ∫

積分の定義というか微分の定義というかに戻って欲しいんですが
∫f(x)dx=F(x)の時、
(d/dx)F(x)=f(x)です。

また、微分で
(d/dx)x^a=a*x^(a-1)になります …高校数学の数3で習うかと
よって、
∫x^(a-1)dx=(1/a)*x^a+C
→∫x^adx={1/(a+1)}*x^(a+1)+C
となります。

つまり、
∫1/x^2 dx=∫x^(-2)dx
={1/(-2+1)}*x^(-2+1)+C
=-x^(-1)+C
=-1/x+C

です。

Qn次導関数の求め方

x^3・sinxのn次導関数を求めたいんですけどやり方がよくわかりません。これはライプニッツの公式をつかうらしいんですけど…帰納法じゃできないんですか?あとよろしければライプニッツを使った解法もおしえてもらえればうれしいです。よろしくお願いします。

Aベストアンサー

合成関数の微分の公式
D(fg)=D(f)g+fD(g)
から何回か微分を行い,結果なり関係式なりを適当に推測して,それを帰納法を使って証明する方法でも別に問題ありません.

ライプニッツの公式は,2項定理
(a+b)^n=Σ[k=0,n]C[n,k]a^k*b^(n-k) (C[n,k]はnCkのこと・・・掲示板では見にくいので)
の「微分バージョン」みたいなもので
D^(n)(fg)=Σ[k=0,n]C[n,k]D^(k)f*D(n-k)g (D^(k)はk階微分のこと)---(*1)
というように合成関数の微分公式をn階微分まで拡張したものです.この公式を使えば推測して帰納法で証明しなくても一気に結果を求めることができます.

とはいうものの,実際この公式を適用するためには(*1)の右辺を見ればわかるように,個々の関数fとgについての1~n階微分までの情報はあらかじめ知っている必要があります.
この問題では個々の関数の微分は下のように
x^3 → 3x^2 → 6x→ 6 →0(以降すべて0)
sin(x) → cos(x) → -sin(x) → -cos(x) → …(以降繰り返し)---(*2)
簡単に求められます.しかもx^3の方は4次以上の微分は0なので,f=x^3, g=sin(x)とおくと(*1)の右辺でk=4以降の項は出てきません.すなわち,
D^(n)(x^3*sin(x))=x^3*D^(n)(sin(x))+C[n,1]*3x^2*D^(n-1)(sin(x))+C[n,2]*6x*D^(n-2)(sin(x))+C[n,3]*6*D^(n-3)(sin(x))
となります.sin(x)の微分は(*2)よりまとめて
D^(n)(sin(x))=sin(x-nπ/2)
とかけますので,
D^(n-1)(sin(x))=sin(x-nπ/2+π/2)=cos(x-nπ/2)
D^(n-2)(sin(x))=cos(x-nπ/2+π/2)=-sin(x-nπ/2)
・・・
のように変形しておけば,最終的に
D^(n)(x^3*sin(x))=x^3*sin(x-nπ/2)+3nx^2*cos(x-nπ/2)-3n(n-1)x*sin(x-nπ/2)-n(n-1)(n-2)*cos(x-nπ/2)
となることがわかります.

合成関数の微分の公式
D(fg)=D(f)g+fD(g)
から何回か微分を行い,結果なり関係式なりを適当に推測して,それを帰納法を使って証明する方法でも別に問題ありません.

ライプニッツの公式は,2項定理
(a+b)^n=Σ[k=0,n]C[n,k]a^k*b^(n-k) (C[n,k]はnCkのこと・・・掲示板では見にくいので)
の「微分バージョン」みたいなもので
D^(n)(fg)=Σ[k=0,n]C[n,k]D^(k)f*D(n-k)g (D^(k)はk階微分のこと)---(*1)
というように合成関数の微分公式をn階微分まで拡張したものです.この公式を使えば推測して帰納法...続きを読む

Q線形代数の余因子行列の求め方。

見づらくて申し訳ないのですが、
下の3行3列の行列の余因子行列の求め方を教えてください。

  | 3 -2 1 |
|A|= | 1 4 7 |
| 5 3 6 |


(数字の両端の棒は、1行目から3行目まで絶対値です・・・)
表示がうまくいかないので、
1行目が1列目から3 -2 1 で、
2行目が1 4 7 で、
3行目が 5 3 6 の数字です・・・。
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

もとの行列をA=[a(i,j)]とすると
Aの余因子行列とは
(i,j)成分がa~(j,i)となる行列で
A~で表します

ようはAの各成分の余因子を全部求めて
転置行列みたいな感じで並べればいいだけです

まずa~(1,1)とa~(2,1)を求めて見ると
a~(1,1)=(-1)^(1+1)*3=3
a~(2,1)=(-1)^(2+1)*(-15)=15
よって
求めるA~の
(1,1)成分が3
(1,2)成分が15
となります
あと7回同じ作業を繰り返せば終わりです
余因子の求め方がわからなければURLを参考

参考URL:http://aglaia.c.u-tokyo.ac.jp/~yamamoto/Math/system/node8.html

Q逆三角関数の方程式

たとえば、Arccos1/√5=ArcTanxといった問題の場合、
y=Arccos1/√5などと置き、cosyやtanyを表しますよね。

今困っている問題は、
Arccosx=Arcsin1/3+Arcsin17/9といったような
加法が用いられた場合に、
何をどのように置き換えたらいいのかがわかりません。
どなたか教えてください。

Aベストアンサー

y=sinθ----(1)の逆関数がθ=Arcsin y ----(2)です。yの値は-1から1になります。
ですので、Arcsin17/9というのはあり得ません。
ここからはタイプミスだったとして話を進めます。
(2)式よりArcsin1/3は角度を指定している式ということがわかりますよね。
Arcsin1/3=θ1----(3)
Arcsin17/9?=θ2----(4)とする。
θ3=θ1+θ2----(5)とすると
Arccosx=θ3
x=cosθ3

θ3の値が具体的に必要な場合は式(3)から(5)から求めてください。

Q行列と行列式の違いは?

行列は高校でする勉強で、行列式は大学の線形代数で出てくる式だと思います。括弧の形が違います。
また行列は単なる数の配列、行列式は値を計算できると言う解釈らしいですがよくわかりません。詳しく教えていただけませんか?

Aベストアンサー

詳しくないけど。

>また行列は単なる数の配列
おおむねオッケー。

>行列式は値を計算できると言う解釈
こっちは違う。行列式は行列の「附属物」です。

行列式は高校でも出てくるはずですが、2x2行列で言えば、「行列」というのは実数が 2x2 = 4コ あつまった物です。

3x + 4y = 7
2x - 5y = 3

のように、たくさんの数を扱うよりも、3, 4, 2, -5 を「まとめて」行列 A とするとで、

Av = u

と「ひとつにする」と色々便利。要するに v = A^(-1)u という風に「逆数」をとれば良い。


行列式とは行列の性質を表わす、一種の「指標」です。最も最初に習うのが、逆行列の有無で
上記の連立方程式を Au = v という風に「ひとつにした」はいいけれども、A はただの数とは違うので、逆数がとれる条件が単純に A ≠ 0 ではなく、行列式を用いて det(A) ≠ 0 と表現されます。

det(A) は実数なので、行列に比べて格段に扱いやすく、しかも色々お徳。

詳しくないけど。

>また行列は単なる数の配列
おおむねオッケー。

>行列式は値を計算できると言う解釈
こっちは違う。行列式は行列の「附属物」です。

行列式は高校でも出てくるはずですが、2x2行列で言えば、「行列」というのは実数が 2x2 = 4コ あつまった物です。

3x + 4y = 7
2x - 5y = 3

のように、たくさんの数を扱うよりも、3, 4, 2, -5 を「まとめて」行列 A とするとで、

Av = u

と「ひとつにする」と色々便利。要するに v = A^(-1)u という風に「逆数」をとれば良い。


行...続きを読む

Q行列の階数の求め方

| 3 4-1|
| 2 1 1|
|-2-3 1|

の行列の階数を求めよ。という問題なのですが、授業や教科書を見ても行列の階数の求め方がまったく分かりません。できるだけわかりやすく教えていただきたいです。解説が分かりやすいサイトだけでもいいので教えてください。お願いします!!

Aベストアンサー

基本的にどこかの行・列の成分を0にすることを考えます。
3列目に1が並んでいるのに着目して、
1行目を2行目に足す、1行目を3行目に足す
という操作を行うと、
3 4 -1
5 5 0
1 1 0
となります。
すると、2行目と3行目が比例関係にあることが見えるので、
2行目の-1/5倍を3行目に足すと、
3 4 -1
5 5 0
0 0 0
となって、3行目がすべて0となります。
従って、この行列式は0であり、階数は3にはなり得ず、
3 4
5 5
の行列式は0ではないので、階数は2となります。
もっと変形を進めて、
1 0 0
0 1 0
0 0 0
まで変形することができますが、ここまでやらなくても階数はわかる
でしょう。
また、当然、変形の仕方は一意的ではありません。なので、本の解答
が絶対唯一のものではありません。

最初に、この行列の行列式を計算すると0になるので、最初から
階数は2以下であると見当をつけて、どこかの行・列をすべて0に
するようにします。
また、行列式が0でなければ、階数は3となります。
3次行列くらいなら行列式を計算するのは簡単なので、最初に行列式
を計算し、階数の見当をつけておくのが良いでしょう。

基本的にどこかの行・列の成分を0にすることを考えます。
3列目に1が並んでいるのに着目して、
1行目を2行目に足す、1行目を3行目に足す
という操作を行うと、
3 4 -1
5 5 0
1 1 0
となります。
すると、2行目と3行目が比例関係にあることが見えるので、
2行目の-1/5倍を3行目に足すと、
3 4 -1
5 5 0
0 0 0
となって、3行目がすべて0となります。
従って、この行列式は0であり、階数は3にはなり得ず、
3 4
5 5
の行列式は0ではない...続きを読む

Qsec, cosec, cotan

sec, cosec, cotanとはそれぞれどんな関数なのですか?
読み方(セカント?,…)、分かれば日本語名称(sinなら正弦)も教えてください。

Aベストアンサー

sec(x)はセカント
cosec(x)はコセカント
cotan(x)はコタンジェント

です。関数としては、

sec(x)=1/cos(x)
cosec(x)=1/sin(x)
cotan(x)=1/tan(x)

になります。
残念ながら、日本語名称はわかりません。

Qタンジェントとアークタンジェントの違い

タンジェントとアークタンジェント、サインとアークサイン、コサインとアークコサインの違いをすごく簡単に教えてください。

Aベストアンサー

タンジェントやサイン、コサインは、角度に対する関数です。
例えば
 tan60°=√3
のような感じで、角度を入力すると、値が出てきます。

逆に、アークタンジェントなどは、数値に対する関数です。
 arctan√3=60°
などのように、数値を入力すると角度が出てきます。

そして、タンジェントとアークタンジェントの関係は、
springsideさんも書いてありますが、逆関数という関係です。
逆関数というのは、原因と結果が逆になるような関数です。
例えば、
  45°→タンジェント→1
  1  →アークタンジェント→45°
のように、「1」と「45°」が逆の位置にありますよね?
こういう関係を、「逆関数」というんです。

どうでしょう、わかりましたか?


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