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昔はできたらしい問題を発見して悩んでいます。
誰か教えてください。

一辺の長さaの正五角形ABCDEを等分する線分FGがある。
線分FGが線分CDと平行な時、線分FGの長さをaで表せ。

「正五角形の等分線の問題」の質問画像
gooドクター

A 回答 (10件)

 外心を通るはずだとの回答による計算結果と異なっていましたので、躊躇していましたが、どうもそうではなさそうですので、私の計算結果を回答したいと思います。



 単純に、三角形や台形の面積から求めましたところ、次のような結果になりました。

  x=a√(1+√5/2)≒1.4553466a

 この解は、質問者さんの求める簡単な形の解と言えますでしょうか。

 ちなみに、考え方は次の通りです。

  △ABE+台形BFGE=台形FCDG
  a^2 sin(2θ)cos(2θ) + {2a cos(2θ)+x}/2 [{2a cos(2θ)-a}-(x-a)]/{2a cos(2θ)-a} a cosθ = (a+x)/2 (x-a)/{2a cos(2θ)-a} a cosθ
  (ただし、θ=18°)

 あとは、この式を整理して、sinθ=t だけで表すと、次の関係が得られます。

  2(x/a)^2= 32t^5+16t^4-24t^3-16t^2+4t+5  ・・・(A)

 ところで、θ=18°のとき、
  cos(2θ)=sin(3θ)
が成り立ちますので、倍角と3倍角の公式から、tに関する次の2次方程式が得られます。

  4t^2+2t-1=0  ・・・・ (B)
 (sin18°=t=(√5-1)/4 はこの方程式の1つの解)

 ここから、式(A)の右辺を式(B)の左辺で割りますと、余りは 4t+3 になりますので、ここから式(A)の右辺は次のようになります。

  2(x/a)^2= 4t+3

 あとは、この式に、t=(√5-1)/4 を代入して整理して、次の式が得られました。

  x=a√(1+√5/2)≒1.4553466a


  
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この回答へのお礼

ぼんやりとした記憶の中ではスマートに解を得られていた(三角関数すら使っていないような…)気がしていたので質問しましたが、二人の方が同じ解にたどりついているということで納得しました。
ありがとうございました。

お礼日時:2009/03/02 13:44

ややこしい式が多いですのですっきりした値になる量を探してみました。


外心をOとします。△OCDの面積をSとします。
5角形の面積は5Sです。
四角形(台形)FCDGの面積は2.5Sです。
Oを通ってCDに平行な線をF'G’とします。台形F'CDG’の面積は(2+1/√5)Sです。
FGは外心よりも上を通ります。
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#8です。


A#8の以下は間違いでした。お騒がせました。
下に正解を書き直しました。

>「正多角形の重心は外接円の中心と一致するので、FGの中点が外心Oとなります」
>が正しいね。
これは間違いでしたのでこの部分は訂正・削除してください。
A#8は重心を通りCDに平行な線分F'OG'の長さになりますので、面積2等分の
線分FGとは一致しませんので無視してください。
したがって、F-O-Gは直線上にありません。

正しいFGは
x=a√{5tan(π/10)*tan(3π/10)+2}/√2=a√{1+(√5)/2}
≒1.45534669 a
となります。
#7さんのA#7の結果と一致しました。

この時のFGとCD間の距離hは
h=a{(√2)*√(5tan(π/10)tan(3π/10)+2)-2}/{4tan(π/10)}
≒0.700706506 a
となります。

いずれにしても、2重根号や三角関数が出てきて、
簡単な単純な式になりません。
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この回答へのお礼

ぼんやりとした記憶の中ではスマートに解を得られていた(三角関数すら使っていないような…)気がしていたので質問しましたが、二人の方が同じ解にたどりついているということで納得しました。
ありがとうございました。

お礼日時:2009/03/02 13:45

#2さんが書かれているように


「正多角形の重心は外接円の中心と一致するので、FGの中点が外心Oとなります」
が正しいね。

FG(=x)の中点Oが重心でFGと「CDの垂直2等分線」との交点と一致します。
xを計算すると
x =a*tan54°/sin72°
=a*tan(3π/10)/sin(2π/5)
≒1.4472136 a
となります。
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#4です。


計算してみました。
BF/BC≒0.262
です。0.25だと1/4ですからFはBCの4等分点よりも少し下にあります。

FGとCDの距離は外心とCDの距離の1.02倍です。

すっきりとした表現で求めることは無理なようです。
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辺BCの中点をMとします。



そして、正五角形の各辺を4等分し、4等分した点と外心Oを線で結びます。

こうすると同じ面積の三角形が20個出来ます。すべて「高さがMO、底辺がBMの1/2」になりますから、同一面積なのは自明です。

これを10個づつに分けると、面積を二等分した事になります。

さて、五角形の面積を2分する線分をFGとした時、点FがBMの中点だと仮定した場合、∠BOFと∠FOMの角度が異なるのは自明です。

もし「∠BOFと∠FOMの角度が等しい」とするなら、今度は、三角形BOFと三角形FOMの面積が異なる事になります。

「三角形BOFと三角形FOMの面積が等しいならば、∠BOFと∠FOMの角度が異なる」と言う事です。

ここで「∠BOFと∠FOMの角度が異なるならば、線分FOと辺CDは並行ではない」のも自明です。

線分FOと辺CDが並行である為には、∠CFOが72度である必要があります。

∠CFOが72度であれば、三角形FOMは直角三角形ですから、∠FOMは18度になる筈です。

すると「外心Oから伸びる放射線の線分がなす角度は、すべて18度」と言う事になってしまいます。

∠FOMと同じ角度のが10個、∠BOFと同じ角度のが10個ある訳ですから「∠FOMの18度を10個分、360度から引く」と「残り180度を、10個で等分」になり「∠BOFの角度10個で180度」って事ですから「∠BOFも18度」って事になってしまいます。

つまり「∠BOFと∠FOMの角度が等しい」って事になってしまった訳で、これは「三角形BOFと三角形FOMの面積が等しいならば、∠BOFと∠FOMの角度が異なる」と言う事実に反します。

これは「線分FOと辺CDは並行である」という仮定によって発生した矛盾なので、背理法より「∠BOFと∠FOMの角度が異なるならば、線分FOと辺CDは並行ではない」と言う事になります。

線分FOと辺CDが並行でないのなら、線分FGは外心Oを通りません。

線分FGが外心を通らないのなら「点FがBMの中点だとした仮定」が間違いな訳で「外心Oが直線FG上にある時、線分FGは正五角形の面積を2分しない」と言う結論に達します。

線分FGの長さをaを用いて表わすならば「線分FGの長さは、1.5aにかなり近いが等しくない長さ」と言う事になります。

「aを用いた等式」で表わせるかどうかは、当方には判りません。
「正五角形の等分線の問題」の回答画像5
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FGは外心を通らないと思います。


外心よりも少し上を通ります。

外心をOとします。
BC上にF'、ED上にG'を取ります。BF'=(1/4)BC、EG'=(1/4)EDとします。
7角形OF'BAEG’の面積は5角形ABCDEの面積の半分です。
もしF'OG'が一直線上にあればFはF'にGはG'に一致します。

BCの中点をM、DEの中点をNとします。MOEは一直線上にあります。
F'は△OBMの辺BMの中点です。直角三角形OBMにおいてBF'=F'Mですから ∠OBF'<∠OMF'です。
F'OG'が一直線上にあれば∠OBF'=∠OMF'になるはずですからF'OG'は一直線上にはないということになります。
したがってFGは外心を通ることはないということになります。

∠AOF'≒88°<90°になりますからですからFGは外心の少し上を通る事になります。
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外心をOとすると


OC=1/2*CD*1/cos54°

OF=1/2*OD*1/cos54°

なので、これによりaを用いてあらわせます

cos54°は
cos54°= sin36°
で、θ=18°とした時の倍角、3倍角の公式を用いれば解けます
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正多角形の重心は外接円の中心と一致するので、FGの中点が外心Oとなります



あとは、計算するだけです(適当に三角形に分けたりして)

この回答への補足

そのあたりはわかるのですがaで表したときの形がスマートになるやり方がないかと思いまして質問しました。

補足日時:2009/02/26 19:41
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等分、どこを?

この回答への補足

正五角形ABCDEを等分する線分FG

正五角形ABCDEの面積を等分する線分FG
です。

補足日時:2009/02/26 19:37
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