正五角形の等分線の問題

昔はできたらしい問題を発見して悩んでいます。
誰か教えてください。

一辺の長さaの正五角形ABCDEを等分する線分FGがある。
線分FGが線分CDと平行な時、線分FGの長さをaで表せ。

No.7 ベストアンサー 回答者： Mr_Holland 回答日時： 2009/02/28 01:13

　外心を通るはずだとの回答による計算結果と異なっていましたので、躊躇していましたが、どうもそうではなさそうですので、私の計算結果を回答したいと思います。

　単純に、三角形や台形の面積から求めましたところ、次のような結果になりました。

　　ｘ＝ａ√（１＋√５／２）≒1.4553466ａ

　この解は、質問者さんの求める簡単な形の解と言えますでしょうか。

　ちなみに、考え方は次の通りです。

　　△ＡＢＥ＋台形ＢＦＧＥ＝台形ＦＣＤＧ
　　a^2 sin(2θ)cos(2θ)　＋　{2a cos(2θ)+x}/2 [{2a cos(2θ)-a}-(x-a)]/{2a cos(2θ)-a} a cosθ　＝　(a+x)/2 (x-a)/{2a cos(2θ)-a} a cosθ
　　（ただし、θ＝１８°）

　あとは、この式を整理して、sinθ＝ｔ　だけで表すと、次の関係が得られます。

　　2(x/a)^2＝　32t^5+16t^4-24t^3-16t^2+4t+5　　・・・（Ａ）

　ところで、θ＝１８°のとき、
　　cos(2θ)＝sin(3θ)
が成り立ちますので、倍角と３倍角の公式から、ｔに関する次の２次方程式が得られます。

　　4t^2+2t-1＝０　　・・・・　（Ｂ）
　（sin18°＝ｔ＝(√5-1)/4　はこの方程式の１つの解）

　ここから、式（Ａ）の右辺を式（Ｂ）の左辺で割りますと、余りは　４ｔ＋３　になりますので、ここから式（Ａ）の右辺は次のようになります。

　　2(x/a)^2＝　4t+3

　あとは、この式に、ｔ＝(√5-1)/4　を代入して整理して、次の式が得られました。

　　ｘ＝ａ√（１＋√５／２）≒1.4553466ａ


　　

この回答へのお礼

ぼんやりとした記憶の中ではスマートに解を得られていた（三角関数すら使っていないような…）気がしていたので質問しましたが、二人の方が同じ解にたどりついているということで納得しました。
ありがとうございました。

お礼日時：2009/03/02 13:44

No.10 回答者： htms42 回答日時： 2009/03/02 08:06

ややこしい式が多いですのですっきりした値になる量を探してみました。

外心をＯとします。△ＯＣＤの面積をＳとします。
５角形の面積は５Ｓです。
四角形（台形）ＦＣＤＧの面積は２．５Ｓです。
Ｏを通ってＣＤに平行な線をＦ'Ｇ’とします。台形Ｆ'ＣＤＧ’の面積は(２＋１／√５)Ｓです。
ＦＧは外心よりも上を通ります。

No.9 回答者： info22 回答日時： 2009/03/01 14:07

#8です。

A#8の以下は間違いでした。お騒がせました。
下に正解を書き直しました。

>「正多角形の重心は外接円の中心と一致するので、ＦＧの中点が外心Ｏとなります」
>が正しいね。
これは間違いでしたのでこの部分は訂正・削除してください。
A#8は重心を通りCDに平行な線分F'OG'の長さになりますので、面積2等分の
線分FGとは一致しませんので無視してください。
したがって、F-O-Gは直線上にありません。

正しいFGは
x=a√{5tan(π/10)*tan(3π/10)+2}/√2=a√{1+(√5)/2}
≒1.45534669 a
となります。
#7さんのA#7の結果と一致しました。

この時のFGとCD間の距離hは
h=a{(√2)*√(5tan(π/10)tan(3π/10)+2)-2}/{4tan(π/10)}
≒0.700706506 a
となります。

いずれにしても、2重根号や三角関数が出てきて、
簡単な単純な式になりません。

この回答へのお礼

ぼんやりとした記憶の中ではスマートに解を得られていた（三角関数すら使っていないような…）気がしていたので質問しましたが、二人の方が同じ解にたどりついているということで納得しました。
ありがとうございました。

お礼日時：2009/03/02 13:45

No.8 回答者： info22 回答日時： 2009/03/01 04:07

#2さんが書かれているように

「正多角形の重心は外接円の中心と一致するので、ＦＧの中点が外心Ｏとなります」
が正しいね。

FG(=x)の中点Oが重心でFGと「CDの垂直2等分線」との交点と一致します。
xを計算すると
x =a*tan54°/sin72°
=a*tan(3π/10)/sin(2π/5)
≒1.4472136 a
となります。

No.6 回答者： htms42 回答日時： 2009/02/27 20:51

＃４です。

計算してみました。
ＢＦ／ＢＣ≒０．２６２
です。０．２５だと１／４ですからＦはＢＣの４等分点よりも少し下にあります。

ＦＧとＣＤの距離は外心とＣＤの距離の１．０２倍です。

すっきりとした表現で求めることは無理なようです。

No.5 回答者： chie65535 回答日時： 2009/02/27 16:38

辺ＢＣの中点をＭとします。

そして、正五角形の各辺を４等分し、４等分した点と外心Ｏを線で結びます。

こうすると同じ面積の三角形が２０個出来ます。すべて「高さがＭＯ、底辺がＢＭの１／２」になりますから、同一面積なのは自明です。

これを１０個づつに分けると、面積を二等分した事になります。

さて、五角形の面積を２分する線分をＦＧとした時、点ＦがＢＭの中点だと仮定した場合、∠ＢＯＦと∠ＦＯＭの角度が異なるのは自明です。

もし「∠ＢＯＦと∠ＦＯＭの角度が等しい」とするなら、今度は、三角形ＢＯＦと三角形ＦＯＭの面積が異なる事になります。

「三角形ＢＯＦと三角形ＦＯＭの面積が等しいならば、∠ＢＯＦと∠ＦＯＭの角度が異なる」と言う事です。

ここで「∠ＢＯＦと∠ＦＯＭの角度が異なるならば、線分ＦＯと辺ＣＤは並行ではない」のも自明です。

線分ＦＯと辺ＣＤが並行である為には、∠ＣＦＯが７２度である必要があります。

∠ＣＦＯが７２度であれば、三角形ＦＯＭは直角三角形ですから、∠ＦＯＭは１８度になる筈です。

すると「外心Ｏから伸びる放射線の線分がなす角度は、すべて１８度」と言う事になってしまいます。

∠ＦＯＭと同じ角度のが１０個、∠ＢＯＦと同じ角度のが１０個ある訳ですから「∠ＦＯＭの１８度を１０個分、３６０度から引く」と「残り１８０度を、１０個で等分」になり「∠ＢＯＦの角度１０個で１８０度」って事ですから「∠ＢＯＦも１８度」って事になってしまいます。

つまり「∠ＢＯＦと∠ＦＯＭの角度が等しい」って事になってしまった訳で、これは「三角形ＢＯＦと三角形ＦＯＭの面積が等しいならば、∠ＢＯＦと∠ＦＯＭの角度が異なる」と言う事実に反します。

これは「線分ＦＯと辺ＣＤは並行である」という仮定によって発生した矛盾なので、背理法より「∠ＢＯＦと∠ＦＯＭの角度が異なるならば、線分ＦＯと辺ＣＤは並行ではない」と言う事になります。

線分ＦＯと辺ＣＤが並行でないのなら、線分ＦＧは外心Ｏを通りません。

線分ＦＧが外心を通らないのなら「点ＦがＢＭの中点だとした仮定」が間違いな訳で「外心Ｏが直線ＦＧ上にある時、線分ＦＧは正五角形の面積を２分しない」と言う結論に達します。

線分ＦＧの長さをａを用いて表わすならば「線分ＦＧの長さは、1.5ａにかなり近いが等しくない長さ」と言う事になります。

「ａを用いた等式」で表わせるかどうかは、当方には判りません。

No.4 回答者： htms42 回答日時： 2009/02/27 12:16

ＦＧは外心を通らないと思います。

外心よりも少し上を通ります。

外心をＯとします。
ＢＣ上にＦ'、ＥＤ上にＧ'を取ります。ＢＦ'＝(1/4)ＢＣ、ＥＧ'＝(1/4)ＥＤとします。
７角形ＯＦ'ＢＡＥＧ’の面積は５角形ＡＢＣＤＥの面積の半分です。
もしＦ'ＯＧ'が一直線上にあればＦはＦ'にＧはＧ'に一致します。

ＢＣの中点をＭ、ＤＥの中点をＮとします。ＭＯＥは一直線上にあります。
Ｆ'は△ＯＢＭの辺ＢＭの中点です。直角三角形ＯＢＭにおいてＢＦ'＝Ｆ'Ｍですから　∠ＯＢＦ'＜∠ＯＭＦ'です。
Ｆ'ＯＧ'が一直線上にあれば∠ＯＢＦ'＝∠ＯＭＦ'になるはずですからＦ'ＯＧ'は一直線上にはないということになります。
したがってＦＧは外心を通ることはないということになります。

∠ＡＯＦ'≒８８°＜９０°になりますからですからＦＧは外心の少し上を通る事になります。

No.3 回答者： owata-www 回答日時： 2009/02/26 20:05

外心をＯとすると

ＯＣ＝1/2*CD*1/cos54°

ＯＦ＝1/2*OD*1/cos54°

なので、これによりaを用いてあらわせます

cos54°は
cos54°= sin36°
で、θ=18°とした時の倍角、３倍角の公式を用いれば解けます

No.2 回答者： owata-www 回答日時： 2009/02/26 19:28

正多角形の重心は外接円の中心と一致するので、ＦＧの中点が外心Ｏとなります

あとは、計算するだけです（適当に三角形に分けたりして）

この回答への補足

そのあたりはわかるのですがaで表したときの形がスマートになるやり方がないかと思いまして質問しました。

補足日時：2009/02/26 19:41

No.1 回答者： sotom 回答日時： 2009/02/26 19:23

等分、どこを？

この回答への補足

正五角形ABCDEを等分する線分FG
↓
正五角形ABCDEの面積を等分する線分FG
です。

補足日時：2009/02/26 19:37