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問題集の問題ですが、下の問題がわからなかったので、どなたかわかる方教えてください。
∫[0→π/4]log(1+tanx)dx
答えは(π/8)*log2になるようです。
学校が春休みで先生に聞くことも出来ません。

それと∫log(cosx)dxや∫log(sinx)dxをとくコツのようなものがあれば教えてほしいです。不定積分では解けないという
話を聞いたことがあるのですが、たとえば0<x<π/4のときはどうすれいいのでしょうか。

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A 回答 (1件)

 log(1+tanx)の積分は、フーリエ展開してから定積分を行ってください。



 また、log(cosx)とlog(sinx)の定積分もフーリエ展開を行ってから定積分を行ってください。
 これらの不定積分は、フーリエ級数展開の形でよければ実行可能です。
 0~π/4の定積分では、積分値にCatalan定数が含まれますので、あまり綺麗な形とは言えないかもしれません。

1)∫[0→π/4]log{1+tan(x)}dx

  log{1+tan(x) =1/2 ln(2) -Σ[n=1→∞] {cos(2nx+nπ/2)+(-1)^(n-1) cos(2nx)}/n

 ∴∫[0→π/4]log{1+tan(x)}dx
 =π/8 ln(2)+Σ[n=1→∞] {sin(nπ/2)-(-1)^(n-1) sin(nπ/2)}/(2n^2)
 =π/8 ln(2)+0
 =π/8 ln(2)

 なぜならば、Σの中身について見ると、
  n=4m+1のとき +1-(+1)×(+1)=0
  n=4m+2のとき  0-(-1)×0 =0
  n=4m+3のとき -1-(+1)×(-1)=0
  n=4m のとき  0-(-1)×0 =0
となるので、Σの中身は正整数nについて常に0となっているからです。


2)∫[0→π/4]log{cos(x)}dx

  log{cos(x)} =Σ[n=1→∞] (-1)^(n-1) cos(2nx)/n -ln(2)

 ∴∫[0→π/4]log{cos(x)}dx
 =1/2 Σ[k=1→∞] (-1)^(k-1)/(2k-1)^2 -π/4 ln(2)
 =1/2 (Catalan)-π/4 ln(2)

 ただし、(Catalan)=0.9159655941772 (Catalanの定数)


3)∫[0→π/4]log{sin(x)}dx

  log{sin(x)} =-Σ[n=1→∞] cos(2nx)/n -ln(2)

 ∴∫[0→π/4]log{sin(x)}dx
 =-1/2 Σ[k=1→∞] (-1)^(k-1)/(2k-1)^2 -π/4 ln(2)
 =-1/2 (Catalan)-π/4 ln(2)

  
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    • 0
この回答へのお礼

ありがとうございました。
丁寧な説明でとても助かりました。

お礼日時:2009/03/10 18:55

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こんにちは。不定積分ではなく定積分でお答え
します。広義積分を習っていることを仮定しますが…
でも、
∫_{x=0~π/2}log (sinx) dx
についてだけです。
まず、上の積分が収束するかという問題があります。
(実際には、絶対収束します。)
この収束を示すことが必要なら補足しますので、
ここでは省きます。
(ヒントは(√x)log(sinx)に対してロピタルの定理を使い、x→+0とします。)

以上のことを頭の隅において積分を計算します。そこで、
I=∫_{x=0~π/2}log (sinx) dx
とおきます。ここで、xをπーxに、又はπ/2-x
と変数変換すると
I=∫_{x=π/2~π}log (sinx) dx
I=∫_{x=0~π/2}log (cosx) dx
となります。これらは、右辺の広義積分が収束して
値がIに等しいことを意味します。一方、
2I=∫_{x=0~π}log (sinx) dx
であり、x=2tとおくと
I=∫_{x=0~π/2}log (sin2t) dt
 =∫_{x=0~π/2}log (2 sint cost) dt
 =∫_{x=0~π/2}log 2 dt+∫_{x=0~π/2}log (sint) dt+∫_{x=0~π/2}log (cost) dt
=π/2*log 2+2I
∴ I=ーπ/2*log 2
となります。ご参考までに。

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正攻法で、
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また、微分で
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よって、
∫x^(a-1)dx=(1/a)*x^a+C
→∫x^adx={1/(a+1)}*x^(a+1)+C
となります。

つまり、
∫1/x^2 dx=∫x^(-2)dx
={1/(-2+1)}*x^(-2+1)+C
=-x^(-1)+C
=-1/x+C

です。

Q3点を通る平面の方程式を行列式で表す

行列式について勉強していたのですが、分からない部分があったので質問させてください。

一直線上にない3点 (a,b,c) (d,e,f) (g,h,i) を通る平面の方程式を求める、という問題です。

まず求める平面の方程式を
   Ax + By + Cz + D = 0 …(1)
と置きます。

この方程式は上の3点を通るので
   Aa + Bb + Cc + D = 0 …(2)
Ad + Be + Cf + D = 0 …(3)
Ag + Bh + Ci + D = 0 …(4)
の3条件を満たします。

上の4つの式について、A~Dは全て0ではない、つまりこれは非自明な解をもちます。

したがって行列式
     |x y z 1|
     |a b c 1|
     |d e f 1|
     |g h i 1|
が0となります。


ここまでは分かったのですが、教科書ではこの(行列式)=0 が求める平面の方程式と述べています。

しかし(行列式)=0 はあくまで(1)~(4)が非自明解を持つ条件なので、そうなる理由が分かりません。
(1)~(4)の連立方程式を解き、その非自明な解(A,B,C,D)を(1)に代入した結果が求める方程式だと思うのですが…


分かる方いましたら回答よろしくお願いします。

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この方程式は上の3点を通るので
   Aa + Bb + Cc + D = 0 …(2)
Ad + Be + Cf + D = 0 …(3)
Ag + Bh + Ci + D = 0 …(4)
の3条件を満たします。

上の4つの式について、A~Dは全て0ではない、つまりこれは非自明な解をもちます。...続きを読む

Aベストアンサー

(1)~(4) が非自明解 A,B,C,D を持つ
⇔ (a,b,c),(d,e,f),(g,h,i,),(x,y,z) の4点を含む平面が存在する

なので、その必要十分条件は、
(a,b,c),(d,e,f),(g,h,i,) と同一平面上にある (x,y,z) の範囲を表します。
それが、求めるべき平面の式です。

その条件を、再度 (1) に代入してしまったら、恒等式 0 = 0 になってしまいます。

Q(x^3/√(x^2+1))の不定積分

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(x^3/√(x^2+1)) の不定積分なのですが
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部分積分などで消えるのかとも試しましたが、うまくいきませんでした・・・

よろしくおねがいします。

Aベストアンサー

置換積分でできると思います。

∫(x^3/√(x^2+1))dx
=∫x√(x^2+1)dx-∫x/√(x^2+1)dx
ここで、x^2+1=tとおくと、2xdx=dtより、xdx=(1/2)dt
=(1/2)∫t^(1/2)dt-(1/2)∫t^(-1/2)dt
=(1/2)×(2/3)t^(3/2)-(1/2)×2t^(1/2)+C
=(1/3)t^(2/3)-t^(1/2)+C
=(1/3)(x^2+1)√(x^2+1)-√(x^2+1)+C
=(1/3)(x^2+1-3)√(x^2+1)+C
=(1/3)(x^2-2)√(x^2+1)+C

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∫1/logx dx この積分ってどうやってやりますか?
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下記URLを参照してください。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AF%BE%E6%95%B0%E7%A9%8D%E5%88%86


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