一辺の長さが2センチの立方体があります。(サイコロを机に置いた様子を考えてください)手前左上の頂点をAとし、反時計まわりに頂点をB,C,Dとします。Aの下の頂点をEとし、反時計まわりに頂点をF,G,Hとします。CDの中点をMとし、3点A,F,Mを通る平面でこの立方体を切るときの切り口の面積を求めたいのですが、数学の得意な方教えていただけないでしょうか。お願いいたします。

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A 回答 (5件)

断面はAFMと、もう一つCG上の点を通る四角形ですね。


まずはAFMを通る平面の方程式を求めます。
Eを原点とし、A(0,0,2) F(2,0,0) M(1,2,2)とします。

ベクトルを→で表すと、→AF=(2,0,-2)  →AM=(1,2,0)
外積は→AF×→AM=(4、-2、4)//(2,-1,2)
これが平面の法線で、これがA(FでもMでもいいんだけど)を通るので、平面の方程式は  2x-y+2(z-2)=0 ・・・*

辺CGはx=2、y=2なのでこれを*に代入すると
 2・2-2+2(z-2)=0  ∴z=1
つまり求める平面はCGの中点(2,2,1)を通ることが分かります(これをNとします)。

あとは、三平方の定理でAF、FM,MA,NF,NMの長さを求めて、ヘロンの公式などを使って△AFMと△MFNの面積を求めて、両者を加えるだけです。「だけ」と言う割には面倒なので省略。
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この回答へのお礼

断面は四角形になるのですね!目から鱗です。AMFの三角形の面積を計算しようとして挫折していました。三辺は2√2、√5、3センチになり三角形の高さの計算で混乱していました。台形でやり直してみます。ありがとうございます。

お礼日時:2009/03/18 13:31

#3です。


失礼しました。A#3を以下のように訂正します。
#4さんが言われるように断面積は三角形ではなく台形AFNMですね。
NはCGの中点です。

なのでA#3で示した方法で計算した
△AFMに△FMNの面積を加えてやる必要があります。

△FMNの面積も同様に出せますね。つまり、
すでにA#3で示したFMの求め方と
2辺FN、MNもそれぞれ直角三角形△FGNと△CMNに三平方の定理を適用してやれば、求まりますから、3辺が分かりますので、ヘロンの公式を使って
面積が求められます。

A#3の△AFMに
△FMNの面積を加えて台形AFNMの面積とするように
修正して下さい。
おさわがせしました。
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この回答へのお礼

断面は下辺2√2センチ、上底√2センチ、高さが3√2/2の等脚台形になるのですね。わかりました。断面積は9/2平方センチとなるようです。

お礼日時:2009/03/18 14:54

質問する場合は自分でやった解答を書いて、行き詰った所について質問するようにして下さい。

そうでないと問題の丸投げといってこのサイトの禁止事項(削除対象)になってしまいます。以降気をつけて下さい。
自分で解答を作るつもりで補足に自力解答を書いて質問をして下さい。

ヒントだけ

切口は三角形になることはお分かりですね。
その三角形は△AFMです。
この三角形の各辺AF,AMは、それぞれ直角三角形
ΔABF,ΔADMに対して
三平方の定理(ピタゴラスの定理)の公式を使って
三角形斜辺として求められますね。
参考)三平方の定理と公式
http://contest.thinkquest.jp/tqj2002/50027/page1 …

また、FMは立方体をAB、CD、EF、GHの各中点を通る平面で合同な2つの直方体に2等分した時の対角線になりますので
FM^2=CM^2+BC^2+BF^2
の公式から求めてやれば良いですね。
(この式は三平方の公式を2度使えば導ける公式であることは言うまでもありません。)
参考)直方体の対角線の求め方
http://contest.thinkquest.jp/tqj2002/50027/page1 …

以上から、△AFMの3辺が求められますので、三角形の三辺が分かっている時にはヘロンの公式で面積を求めてやればいいですね。
参考)ヘロンの公式
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%98%E3%83%AD% …
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この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
質問の仕方が適切でなかったようでご指摘ありがとうございました。

お礼日時:2009/03/18 13:26

あ、斜めになるので明白ではないですね(笑)



AFの真ん中にGとでも置いてみてください。
そこからGとMに線を引いてみましょう。
まぁ高さですけどね。
AFがわかるのでAGはわかりますよね。
AMもわかりますよね。
ってことは三平方の定理でGMもわかりませんか?
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とりあえずヒントだけで


あと、記号を勘違いしてたらごめんなさい。

AFMということは三角形です。三角形の面積は底辺×高さ÷2ですよね。
AFの長さはわかりますか?
ABEFの面を見て(正方形ですよね)、線を引いてみてください。
正方形の対角に線を引くことになると思います。
AFBかAFEかどっちでも良いですが、その三角形から考えればAFの長さがわかりますよね。
とりあえずこのAFを底辺として考えてみますか。
次に高さですね。
MはCDの中点ですよね。
CDはAFから見たら反対の面にある線ですよね。
ということは、高さは明白じゃないですか?

正方形を描いて線を引いていくとわかりやすいですよ。
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『鉄筋コンクリートの全断面積に対する』
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『コンクリートの全断面積に対する』
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Aベストアンサー

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ですよ。
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----

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>まーたぶん大した意味はないと思いますよ
ところが大ありなんですね。
既出の回答とも少し重なりますが,補足を兼ねてお答えしましょう。

現在の指導要領には次のような規定があります(来年の高校1年生から少し変わります)。
(1)「数学II」、「数学III」を履修させる場合は、「数学I」、「数学II」、「数学III」の順に履修させること。
(2)「数学A」については「数学I」と並行あるいは「数学I」に続いて履修させ、「数学B」及び「数学C」については「数学I」を履修した後に履修させること。
文部(科学)省は,「高校で数学を学ぶうえで中心(コア)となるもの」を易しいほうからI→II→IIIと配置し,それ以外をいわばオプションとしてA~Cとしたように思われます。

さらに,I~IIIとA~Cには非常に大きな違いがあります。

たとえば数学Iの内容は,もし学ぶのであればその内容(二次関数・三角比・場合の数・確率)を全部学ばないと,単位がとれません。数学II,数学IIIも同様です。
これに対して,数学Aは,数と式・平面幾何・数列・コンピュータの四単元からなっていますが,指導要領では「履修する生徒の実態に応じて、内容の(1)から(4)までの中から適宜選択させるものとする。」となっており,学校によって扱いはまちまちです。
コンピュータ(BASICのプログラミング)を省いている学校も結構ありますし,また参考書でも飛ばされていたりします。
(ところが入試だとプログラミングがある意味では一番易しいので,それを狙っていこう!という参考書もあったりします)
BやCも同様で,学校により扱いが異なります。

以上より,次のようなことが言えます。
たとえば,ある生徒が「学校で数学IIを習った」といっていれば,数学Iと数学IIの内容は全て授業でやっているはずです。
ところが,「数学Aを習った」というだけでは,実際に何を習っているかは分かりません。
このため,大学入試でも,数学A・B・Cはたいてい,それぞれの単元に対応する問題を並べておいてそのなかから選んで答えさせるようになっています。

No.2のカリキュラムは,1981年度に高校に入学した人までが学んだものです。
当時は,いわゆる受験校(進学校)の場合,おおまかにみて,
入試で数学を使わない人:「数学I→数学IIA」
数学を使う文系の人:「数学I→数学IIB」
理系の人:「数学I→数学IIB→数学III」
というパターンでカリキュラムを組んでいる学校が多かったように思います。
翌年登場したのが,「数学I」「基礎解析」「代数幾何」「確率統計」「微分積分」という科目分けで学んでいます。
その次(92年度入学者以降)に登場したのが現行のI~III,A~Cです。

>まーたぶん大した意味はないと思いますよ
ところが大ありなんですね。
既出の回答とも少し重なりますが,補足を兼ねてお答えしましょう。

現在の指導要領には次のような規定があります(来年の高校1年生から少し変わります)。
(1)「数学II」、「数学III」を履修させる場合は、「数学I」、「数学II」、「数学III」の順に履修させること。
(2)「数学A」については「数学I」と並行あるいは「数学I」に続いて履修させ、「数学B」及び「数学C」については「数学I」を履修した後に履修させること。
文部(科学...続きを読む


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