２次曲線：楕円・双曲線・・・

焦点が（ｃ，０）、（－ｃ，０）、長軸の長さ２ａ、短軸の長さ２ｂの楕円の方程式は、 [ x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1 ]　ただし、b=√(a^2-c^2)

焦点が（ｃ，０）、（－ｃ，０）、主軸の長さ２ａの双曲線の方程式は、
[ x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1 ]　ただし、b=√(c^2-a^2)

とあるのですが、この両公式の「ただし、」の部分がいまいち理解できません。グラフを書いていたりすると、あぁそうかな？ってかんじであいまいなのです。利用はできても意味がわからない。これではいけないとおもい、質問しました。


また、この式はどのように覚える、りかいするのでしょうか？

No.1 ベストアンサー 回答者： stomachman 回答日時： 2003/02/24 05:28

「焦点が（ｃ，０）、（－ｃ，０）、長軸の長さ２ａ、短軸の長さ２ｂの楕円」と仰っても、a,b,cを全部好きなように選ぶわけには行かないんです。

楕円の場合、楕円上のどの点でもよいから一つ選んでpとします。pから二つの焦点までの距離をそれぞれs,tとすると、s+tがpの選び方によらず一定である。そういう性質があるのはご存じでしょうか。

焦点が(c,0), (-c,0)、長軸の長さ2aの楕円において、楕円の長軸と楕円とが交わる点をpとすれば、pの座標は(a,0)または(-a,0)ってことになります。すると上記のs,tは、a+c, a-cとなり、ゆえにs+t=2aであることが分かります。
次に、楕円の短軸と楕円とが交わる点をpとすれば、短軸の長さを2bとすると、（図を描けばわかるように）
s^2=t^2=b^2+c^2
です。しかも
s+t=2a
なんだから、
s=t=a
である。ゆえに
a^2=b^2+c^2
という関係にある。
かくて、cとaを決めたければbは
b=√(a^2-c^2)
に決まってしまうし、aとbを決めたければ
c=√(a^2-b^2)
に決まってしまうし、bとcを決めたければ
a=√(b^2+c^2)
に決まってしまう。a,b,cを全部好きなように選ぶわけには行かず、２つを決めたら残りのひとつは決まってしまうのです。

さて双曲線の場合は、双曲線上のどの点でもよいから一つ選んでpとします。pから二つの焦点までの距離をそれぞれs,tとすると、|s-t|がpの選び方によらず一定である。あとの理屈は楕円の場合と同じです。

ま、頻繁に使うのでなければ憶えるほどのもんじゃないと思うな。