はじめまして。楕円関数論に興味を持って勉強しております。
ガウスが発見した算術幾何平均の展開式、

\frac{1}{M(1+x,1-x)} = 1 + frac{1}{2}^2 x^2 + frac{3}{8}^2 x^4 + ...

の導出法をご存知の方教えてください。または、載っている本を教えて下さい。
よろしくお願い致します。

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A 回答 (3件)

siegmund です.



前の回答は \frac の \ が抜けたり,\pi のはずが \pai になっていたり,
大分書き損なっていました.
最初はπと書いていたので,つい日本語変換に引きずられて \pai に
なってしまいました.
まあ,実害はありませんでしたが......

さて,
(1)  M(1+x,1-x) = \frac{1}{1+t^2} M(1+t^2,1-t^2)
(2)  x = \frac{2t}{1+t^2}
から出発するのでしたら(string さんのkの代わりにxと書いています),
(3)  \frac{1}{M(1+x,1-x)} = 1 + a_2 x^2 + a_4 x^4 + a_6 x^6 + ...
と書いておきます.
(1)の右辺の逆数にこれを適用して
(4)  \frac{1+t^2}{M(1+t^2,1-t^2)}
    = (1+t^2) (1 + a_2 t^2 + a_4 t^4 + a_6 t^6 + ...)
    = 1 + t^2 + a_2 t^4 + a_2 t^6 + ...
が得られます.
一方,(3)に(2)の展開形
(5)  x^2 = \frac{4t^2}{(1+t^2)^2}
      = 4t^2 - 8t^4 + 12t^6 - 16t^8 + ...
      = 4t^2 \sum_{j=1}^\infty (-1)^j j t^{2(j-1)}
を代入整理して
(6)  \frac{1}{M(1+x,1-x)}
    = 1 + 4a_2 t^2 + (-8a_2 + 16a_4)t^4 + (12a_2 - 64a_4 + 64a_6) t^6 + ...
になります.
(1)によって,(4)と(6)は等しいのですから,t^n の係数を等しいと置いて
(7)  4a_2 = 1
(8)  -8a_2 + 16a_4 = a_2
(9)  12a_2 - 64a_4 + 64a_6 = a_2
から,順次
(10)  a_2 = 1/4 = (1/2)^2
(11)  a_4 = 9/64 = (\frac{1・3}{2・4})^2
(12)  a_6 = 25/256 = (\frac{1・3・5}{2・4・6})^2
が得られます.
すなわち,
(13)  \frac{1}{M(1+x,1-x)}
     = 1 + (\frac{1}{2})^2 x^2 + (\frac{1・3}{2・4})^2 x^4
      + (\frac{1・3・5}{2・4・6})^2 x^6 + ...
(5)は展開の形が素直ですから,少し頑張れば(13)の一般項も出せそうです.

「知っていることを先に使って」いますが,
(13)はちょうど Gauss の超幾何関数
(14)  F(α,β,γ;z)
    = 1 + \frac{αβ}{1・γ}z
     + \frac{α(α+1)β(β+1)}{1・2γ(γ+1)}z^2
     + \frac{α(α+1)(α+2)β(β+1)(β+2)}{1・2・3γ(γ+1)(γ+2)}z^3 + ...
の,z = x^2 の場合になっています.
第1種完全楕円積分 K(k) は
(15)  K(k) = (π/2)F(1/2,1/2,1;k) ですから,ここらへんは前の私の回答と
つながっています.

ここからあとは,「こうなりそう」です.
確かめていませんので,間違っていたら(うまく行かなかったら)ご容赦を.
(1)(2)は関数方程式になっていますから,
微分して 1/M(1+x,1-x) に対する微分方程式が導けそうです.
全部tで書いておくと,前の因子が 1+t^2 ですから,
tの2階微分で微分方程式が作れそうです.
1/M(1+x,1-x) = Q(x^2) = Q(z) とでも置くと(z=x^2),
上の方で書いたこととのつながりから,
Q(z) の微分方程式は Gauss の超幾何微分方程式
(16)  z(1-z)Q''(z) + {γ-(α+β+1)z}Q'(z) - αβz = 0
のα=β=1/2,γ=1 になるはずと思います.
(16)の解を級数展開で求めたものが(14)です.
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siegmund です.


またミスプリしちゃいました.
下記のように訂正します.

-------------

(5)  x^2 = \frac{4t^2}{(1+t^2)^2}
      = 4t^2 - 8t^4 + 12t^6 - 16t^8 + ...
      = 4t^2 \sum_{j=1}^\infty (-1)^{j+1} j t^{2(j-1)}

-------------

(13)はちょうど Gauss の超幾何関数
(14)  F(α,β,γ;z)
    = 1 + \frac{αβ}{1・γ}z
     + \frac{α(α+1)β(β+1)}{1・2γ(γ+1)}z^2
     + \frac{α(α+1)(α+2)β(β+1)(β+2)}{1・2・3γ(γ+1)(γ+2)}z^3 + ...
の,α=β=1/2,γ=1 ,z = x^2 の場合になっています.
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この回答へのお礼

siegmundさん、再度ご回答いただき誠にありがとうございます。

展開して係数を決めるというやり方でやればよいのですね。

私は

\frac{1}{M(1+x,1-x)} = (1+t^2) \frac{1}{M(1+t^2,1-t-2)}

を繰り返し適用するというやり方でやろうとしていました。

超幾何関数と対応関係もよくわかりました。
本当にどうもありがとうございました。

お礼日時:2001/03/09 05:44

a,b の算術幾何平均 M(a,b) は


(1)   frac{1}{M(a,b)}
     = \frac{2}{\pai} \int_0^{\pai/2}
      frac{d\theta}{\sqrt{a^2 \cos + b^2 \sin^2\theta}}
で表されます.
(1)の分母でaを外に引っ張り出すなどしますと
(2)   frac{1}{M(a,b)}
     = frac{2 K'(b/a)}{\pai a}
になります.
K'(k) = K(k') = K(\sqrt{1-k^2}) で,K は第一種完全楕円積分
(3)   K(k) = \int_0^{\pai/2} frac{d\theta}{\sqrt{1 - k^2 \sin^2 \theta}}
です.
あとは,a = 1+x,b = 1-x と,K(k) の展開式
(4)   K(k) = \frac{\pai}{2} \sum_{r=0}^\infty
        [ \frac{(2r-1)!!}{(2r)!!} ]^2 k^{2r}
を整理すれば,string さんの式が出てきます.

でも,(1)はどうやるんでしたっけ?
楕円 \vartheta_j 関数(j=0~3)の \vartheta_j(0|2\tau) を
\vartheta_n(0|\tau) で表す公式のどれかが算術平均と幾何平均の形になっていて,
そこがキーポイントになっていたと思います.
ちょっとよく思い出せません(というか,私の知識はそんなもの).

どなたか楕円関数自由自在という方のフォローがあるといいんですが....
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この回答へのお礼

ご回答を頂き、誠にありがとうございます。

算術幾何平均と楕円積分の対応を認めれば、なるほど簡単な議論で導出されるのですね。

ガウスは、算術幾何平均の性質、

M(1+k,1-k) = \frac{1}{1+t^2} M(1+t^2,1-t^2)
ただし、 k = \frac{2t}{1+t^2}

から、展開式を導いたようです。それと、楕円積分を二項展開して積分した式が一致することから、(レムニスケート積分の時に発見した)楕円積分と算術幾何平均との対応を改めて確認していったようです。

算術幾何平均の性質から導出したいと知恵をしぼっております。
また、お助けください。

お礼日時:2001/03/07 23:21

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QJIS規格の一般公差

基本的なことで恐縮です。JIS規格の一般公差で指示を出す場合、必ず「一級で加工すること」とか「三級で加工すること」とかいった指示を出すものなのでしょうか?
単に「一般公差で加工すること」と指示されていたならどうするべきでしょうか?
http://www.nogatadenki.jp/pdf/ndk_kousa.pdf#search=%22jis%20%E4%B8%80%E8%88%AC%E5%85%AC%E5%B7%AE%22

Aベストアンサー

私の勤める会社では必ず指示を出します。
等級の指示されていない「一般公差」は指示抜けです。

Qexp{L[1]x+L[2]x^2/2+L[3]x^3/3+…}=F[1]+F[2]x+F[3]x^2+…

フィボナッチ数列F[n]は、
F[1]=1,F[2]=1,F[n+2]=F[n+1]+F[n]
で定義され、リュカ数列L[n]は、
L[1]=1,L[2]=3,L[n+2]=L[n+1]+L[n]
で定義されます。このとき、

exp{L[1]x+L[2]x^2/2+L[3]x^3/3+…}=F[1]+F[2]x+F[3]x^2+…

が成り立つそうなのですが、どうしてなのですか?

右辺は、フィボナッチ数列の母関数と似ていてなんとか求められるのですが、左辺をどうして求めていいかわかりません。

なお、式は
http://mathworld.wolfram.com/FibonacciNumber.html
の(68)を参照しました。

Aベストアンサー

↓ここに証明がありますね。
http://maths.dur.ac.uk/~dma0rcj/PED/fib.pdf
(2.7 A surprising sum を見てください。)

参考URL:http://maths.dur.ac.uk/~dma0rcj/PED/fib.pdf

Q質問致します。JIS 8265-2003圧力容器の構造-一般事項で磁粉

質問致します。JIS 8265-2003圧力容器の構造-一般事項で磁粉・浸透探傷試験の判定基準が出ているのですが、この判定基準の数値の根拠はどこから来ているのでしょうか?何故この数値なのでしょうか?
よろしくお願い致します。

Aベストアンサー

No.1です。

確かにJISでは判定基準は与えないのが原則で、判定基準はいわゆる強制法規(電気事業法、消防法、等々)により与えられます。JIS 8265-2003も強制法規ではないので、圧力容器の構造上の要求から磁粉探傷試験の判定基準を設けたのかと思われます。本質問の場合、強制法規である火力の技術基準がJIS 8265-2003を引用しているのでしょう。

判定基準の内容は

(1)表面に割れによる磁粉模様がないこと。
(2)線状の磁粉模様の最大長さが4mm以下であること。
(3)円形状の磁粉模様の最大長径が4mm以下であること。
(4)分散磁粉模様については、面積2500mm2内において磁粉 模様の種類及び大きさに応じ、下表に示す点数の総和が12点以下であること。
磁粉模様最大長さ又は長径が2mm以下のもの最大長さ又は長径が4mm以下のもの
線状磁粉模様    3点         6点
円形状磁粉模様    1点         2点

ということのようですが、これは1980年代のJIS G 0565からきていると思われます。当時は、浸透探傷試験、磁粉探傷試験を含めて、非破壊試験のJISは欠陥の指示(指示模様、磁粉模様)の等級分類までを行い、強制法規において何種何級を合格とする、という規定の仕方でした。この1980年代のJISを引用する場合は、大体1種1級または1種2級を合格とするというように、大きな指示模様は許さない傾向にありました。それを決めるのは、当該強制法規を所管する官庁の諮問委員会です。JIS 8265-2003の規定の根拠はもしその解説に無いとしたら、1980年代のJIS G 0565が参考になると思います。これは規格協会に申し出て入手する方法があると思います。

余談ですが、1990年前後から等級分類はやらないことになり、JIS G 0565-1992では以下のような分類だけをやることになりました。

・割れ
・独立した磁粉模様は線状か円形状に分類する。
・連続した磁粉模様
・分散した磁粉模様

 これを引用する強制法規では各分類に対して判定基準を与えています。
2000年代に入って磁粉探傷試験はJIS G 0565からJIS Z2320に移され、内容が一新しました。これは従来のASMEに代わってISOをベースにしたことによります。判定基準はもちろんありません。

No.1です。

確かにJISでは判定基準は与えないのが原則で、判定基準はいわゆる強制法規(電気事業法、消防法、等々)により与えられます。JIS 8265-2003も強制法規ではないので、圧力容器の構造上の要求から磁粉探傷試験の判定基準を設けたのかと思われます。本質問の場合、強制法規である火力の技術基準がJIS 8265-2003を引用しているのでしょう。

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Q∫【1→2】{(x^2-x+4)/x(x^3+1)}dx

∫【1→2】{(x^2-x+4)/x(x^3+1)}dxという定積分の求め方がわかりません。
私はまず部分分数に分けて、
(x^2-x+4)/x(x^3+1)
=4/x-(4x^2-x+1)/(x^3+1)として、
∫【1→2】{(x^2-x+4)/x(x^3+1)}dx
=(16/3)*log2-(8/3)*log3+【1→2】∫(x-1)/(x^3+1)dx
というところまで求めたのですが、最後の定積分が求められず、ここで手が止ま
ってしまいました。
ちなみに最終的な答えは3*log(4/3)となるそうです。問題集には答えしか書か
れてないので困っています(^_^;)

Aベストアンサー

x^3+1=(x+1)(x^2-x+1)
でさらに部分分数分解を行ってください

Qjis一般公差表 を図面に表記したい

cad初心者です(auto cadLT2000しか持ち合わせがありません)

大手企業の機械加工図には 一般公差(精級・中級・粗級)の表を
図中に表記しておられますが、
そのテンプレート(?)をダウンロード出来るサイトなど
ご存知の方がおられましたら 
宜しくお願い致します。

Aベストアンサー

企業の図面などは著作権の対象になるのでその一部たりとも無断利用は不可です。しかし、自分で作成してテンプレートとして貼り付けることはOKです。
下記URLをご参考に。(削り加工)
この体裁をそのまま作成してもよいでしょう。一般には中級を利用。
高度な精密加工品には精級を利用。(一般にはほとんど利用しない)
他に、プレス加工、鋳物など必要に応じて作成。図書館などでJISを調査されてください。

Q∫∫【D】2x|y|dxdy, D={x^2+y^2≦1,x^2+y^2≦2x}

∫∫【D】2x|y|dxdy, D={x^2+y^2≦1,x^2+y^2≦2x}
という重積分について質問です。∫∫【D】2x|y|dxdyと∫∫【D】2xydxdyってどう違いますか?

この場合では、領域がx軸に関して対称だから、前者の場合も後者の場合もたまたま答えが同じになるけれど、理屈としては、y座標が負になっている部分をx軸に関して折り曲げた結果として、図形がx軸に関して対称だったために、y座標が正の部分を2倍することになったと考えればよいのでしょうか?
言葉が下手で、伝わりにくい文章ですみません。

Aベストアンサー

>この場合では、領域がx軸に関して対称だから、前者の場合も後者の場合もたまたま答えが同じになるけれど

本当にそうなります?
2xyはyについて奇関数、2x|y|はyについて偶関数です。
前者をx軸について対称な領域で積分すると"0"に、後者を同じ領域で積分するとx軸よりも上側の領域での積分の2倍になります。

Q        ☆JIS規格についておしえてください

私はJIS規格とは何の事か分らないので教えて下さい。

JIS企画について3つの質問があるのですが答えて下さい。

   1)会社としてJIS企画を取った方が良いか?メリットを教えてください。

   2)新JIS企画とJIS企画の違い。

   3)JIS企画とはISOの様な物ですか。出来たらその違いも教えて下さい。

Aベストアンサー

単にJIS規格といえば、参考URLのような回答しかできません。また、JIS企画というのは劇団名です。
今回の質問は「JIS規格」の方だと解釈ます。

> 1)会社としてJIS企画を取った方が良いか?メリットを教えてください。

もう少し質問が具体的にならないと、どうしようもありません。
例えば、御社の製品がJISの中の特定の規格に準拠すべきかどうかということであれば、販売戦略等にもよりますので、一般論では何とも言えません。

> 2)新JIS企画とJIS企画の違い。

JISの中の個々の規格は頻繁に改定されていますので、何をもって「新」なのかが分かりません。

> 3)JIS企画とはISOの様な物ですか。出来たらその違いも教えて下さい。

JISは「日本工業規格」ですから日本国内における標準規格であり、ISOは「国際標準化機構」という組織名です。ですから、国内におけるISOに相当するのは「日本規格協会(JSA)」ということになります。
もし、ISO 9000シリーズのような、特定の規格のことを質問されているのであれば、正確な内容を補足してください。

参考URL:http://www.aao.ne.jp/accessibility/jis/whats_jis/index.html

単にJIS規格といえば、参考URLのような回答しかできません。また、JIS企画というのは劇団名です。
今回の質問は「JIS規格」の方だと解釈ます。

> 1)会社としてJIS企画を取った方が良いか?メリットを教えてください。

もう少し質問が具体的にならないと、どうしようもありません。
例えば、御社の製品がJISの中の特定の規格に準拠すべきかどうかということであれば、販売戦略等にもよりますので、一般論では何とも言えません。

> 2)新JIS企画とJIS企画の違い。

JISの中の個々の規格は頻繁に改定さ...続きを読む

QF_n=(a+b+c)^(2n+1)-{a^(2n+1)+b^(2n+1)+c^(2n+1)} の因数分解

F_n=(a+b+c)^(2n+1)-{a^(2n+1)+b^(2n+1)+c^(2n+1)} 
(n=1,2,3,4,5)
を因数分解せよ、という問題なのですが、どすればよいのでしょうか?

なお、答えは、

F_1=3(b+c)(c+a)(a+b)
F_2=5(b+c)(c+a)(a+b)(Σa^2+Σab)
F_3=7(b+c)(c+a)(a+b)(Σa^4+2Σa^3 b+3Σa^2 b^2+5Σa^2 bc)
F_4=3(b+c)(c+a)(a+b)(3Σa^6+9Σa^5 b+19Σa^4 b^2+35Σa^4 bc+23Σa^3 b^3+63Σa^3 b^2 c)
F_5=11(b+c)(c+a)(a+b)(Σa^8+4Σa^7 b+11Σa^6 b^2+21Σa^6 bc+9Σa^5 b^3+54Σa^5 b^2 c+23Σa^4 b^4+84Σa^4 b^3 c+123Σa^4 b^2 c^2+159Σa^3 b^3 c^2)

のようなのですが、(b+c)(c+a)(a+b)を因数に持つことは分かりますが、残りの因数はどうやってもとめるのでしょうか?

一文字を変数と見て、地道に割り算するしかないのでしょうか?
効率的な計算方法はありますでしょうか?

F_n=(a+b+c)^(2n+1)-{a^(2n+1)+b^(2n+1)+c^(2n+1)} 
(n=1,2,3,4,5)
を因数分解せよ、という問題なのですが、どすればよいのでしょうか?

なお、答えは、

F_1=3(b+c)(c+a)(a+b)
F_2=5(b+c)(c+a)(a+b)(Σa^2+Σab)
F_3=7(b+c)(c+a)(a+b)(Σa^4+2Σa^3 b+3Σa^2 b^2+5Σa^2 bc)
F_4=3(b+c)(c+a)(a+b)(3Σa^6+9Σa^5 b+19Σa^4 b^2+35Σa^4 bc+23Σa^3 b^3+63Σa^3 b^2 c)
F_5=11(b+c)(c+a)(a+b)(Σa^8+4Σa^7 b+11Σa^6 b^2+21Σa^6 bc+9Σa^5 b^3+54Σa^5 b^2 c+23Σa^4 b^4+84Σa^4 b^3 c+123Σa^4 b^2 c^2+159Σa^3 b^3 c^...続きを読む

Aベストアンサー

最後までは計算していませんが、次の方法でできそうです。
F_n = (b+c)(c+a)(a+b)(Σ[ABC] k_ABC a^A b^B c^C) とおきます。
(ここで、A+B+C = 2n+1 です。)
展開すると、F_n = (a^2 b + 略 + 2abc)(Σ[ABC] k_ABC a^A b^B c^C) です。
そして、F_n を例えば、a で A+2 回偏微分、a で B+1 回偏微分、
a で C 回偏微分、した後、a,b,c に 0 を代入します。
F_n=(a+b+c)^(2n+1)-{a^(2n+1)+b^(2n+1)+c^(2n+1)} に対しても同じようにします。
このようにすると、例えば C > 0 であれば、
k_ABC (A+2)!(B+1)!(C)! = (2n+1)! となり、係数が得られます。

QJIS

JIS規格についてお尋ねしたいことがあります。
日常生活の中にJIS規格に沿っている製品って必ずどこかに存在していますよね?たとえば鉛筆とか……。
このJISマークが入っている商品には必ずJIS番号なんていうものが存在しているのでしょうか?存在しているのであれば、JISマークの入っていない製品の中にJIS番号取得済みなんていう製品はあるんでしょうか?
ご存知の方教えてください(質問内容のみで結構です)。

Aベストアンサー

ところで「JIS番号なんていうもの」とは,Zz_zZの言われるような「規格の番号」(文字コードならJIS X 0208とか)のことでしょうか? それとも,ある製品がJIS規格に合致していることが認定されたときにもらえる「登録番号のようなもの」でしょうか?
一応,両方の可能性を考慮しながら回答することにします。

確かに,辞典を引くとZz_zZさんの転載されたような記述が出てきます。しかし,合格した商品全てにJISマークが付けられるわけではありません。
(barbee2さんは,JISC(日本工業標準調査会)のホームページは読みつくされたということですので,ご存じの内容もあろうかとも思いますが,ご了承ください。)

JISの規格自体は現在約9000件ありますが,そのうちJISマーク表示制度の対象になっているのは約700件です。
このマークを表示するためにはしかるべき審査を受ける必要があります。
審査に合格すると,いわば「○○会社の○○工場で作られるこれこれの製品は,JIS A 0000という規格を満たしており,またそのような製品を継続的に安定して生産しつづけることが可能であると認められる」というお墨付きが得られたことになります。
(漠然と「この工場はJIS規格を満たしている」というのではなく,「どの製品が,どのJIS規格を満たす」という形で認定されます。)
その結果,官報や「標準化ジャーナル」(日本規格協会の月刊誌)に,会社名や製品の種類,該当する規格番号などと共に「認定番号」(これがさきほど書いた「登録番号のようなもの」です)がついて掲載されます。
参考URLは,日本規格協会のページにあるもので,最近JISマーク表示工場として認定された工場の一覧です。左端にあるのが認定番号,右端にあるのが該当するJIS規格の番号です。(トップページはhttp://www.jsa.or.jp/)

また,ISO 9000,14000などは,製品ではなくシステム自体が規格に合致しているかどうかを見ます。これらについても,同様に官報や標準化ジャーナルに掲載され,JSA Q 1234のような登録番号(こちらは「登録」という)が与えられます。
(9000シリーズはQ, 14000はEです。それぞれquality, environmentの頭文字。)

JISマーク表示資格の取得は(一般には)義務ではありませんので,JIS規格を満たしている製品を作っていても,あえて審査を受けないという場合もあるでしょう。
(ただ,9000/14000シリーズは,取得していない事業者には入札参加を認めない自治体もあったりするので,あえて審査を受けない事業所は減ってくると思います)

また,JISマーク表示制度の対象外の約8300件については,たとえ規格を満たしていてもマークの表示はなされません。従って,「JISマークの入っていない製品の中に,JIS規格を満たしている製品はあるか」というご質問であれば,「たくさんある」という回答になります。

参考URL:http://www.jsa.or.jp/auth/list.htm

ところで「JIS番号なんていうもの」とは,Zz_zZの言われるような「規格の番号」(文字コードならJIS X 0208とか)のことでしょうか? それとも,ある製品がJIS規格に合致していることが認定されたときにもらえる「登録番号のようなもの」でしょうか?
一応,両方の可能性を考慮しながら回答することにします。

確かに,辞典を引くとZz_zZさんの転載されたような記述が出てきます。しかし,合格した商品全てにJISマークが付けられるわけではありません。
(barbee2さんは,JISC(日本工業標準調査会)のホー...続きを読む

Q「(5x+3)^10でx^pとx^(p+1)の係数比が21:20になる時のpの値」と「x+y=1を満たす全x,yに対してax^2+2bxy+by^2

こんにちは。識者の皆様、宜しくお願い致します。

[問1] (5x+3)^10の展開式でx^pとx^(p+1)の係数比が21:20になる時のpの値を求めよ。
[問2]x+y=1を満たす全てのx,yに対して
ax^2+2bxy+by^2+cx+y+2=0が成立するように定数a,b,cの値を定めよ。

[1の解]
(5x+3)^10=10Σk=0[(10-k)Ck 5x^(10-k)3^k]なので
p=10-kの時(k=10-pの時)
p+1=10-kの時(k=9-pの時)より
a:b=pC(10-p) 5^p 3^(10-p):(1+p)C(9-p) 5^(1+p) 3^(9-p)
で 1/(10-p):(1+p)/(2p-8)/(2p-9)=7:4 から
23p^3-199p+218=0
となったのですがこれを解いてもp=6(予想される解)が出ません。
やり方が違うのでしょうか?

[2の解]
与式をx+yという対称式で表せばならないと思います(多分)。
どうすれば対称式で表せるのでしょうか?

Aベストアンサー

 (1)Cをばらして比を簡略化するところで計算間違いがありそうな気がします。その経過をもう少し詳しく書いてもらえませんか?
 (2)a,b,cを求めるにはまず、x+y=1 を満たすすべての(x,y)で成り立つのですから、x+y=1を満たす(x,y)をまず代入してみてはどうでしょうか。候補としては、(1,0)(0,1)(2,-1)など。
 それから計算されたa,b,c でx+y=1を満たすすべてのx,yで成り立つかどうかを確認するという手順でどうでしょうか?