シュミットの直交化

対称行列は、必ず直交行列により対角化できます。そして、与えられた対称行列の固有値が重解である場合は、シュミットの方法で直交化する必要があると習いました。
しかし、固有値に重解がある対称行列で、たとえばある重解の固有ベクトルが
t^p(1 1 0)+t^q(0 1 0)のような形になったとき、（p,qは０以外の任意の係数）、ここでシュミットの方法を用いず、ただ正規化して並べただけでも、正解にたどりついてしまう場合があります。これは単なる偶然でしょうか？
たとえば、
(1,0,0,1)
(0,1,1,0)
(0,1,1,0)
(1,0,0,1)
という行列では、固有値がλ=2,0(両方とも重解)で、λ=2の固有ベクトルはt^p(1 1 0 1)+t^q(0 1 1 0)で、λ=0の固有ベクトルはt^r(1 0 0 (-1))+t^s(0 1 (-1) 0)です。（p,q,r,sは０以外の任意の係数）
これらを正規化して横に並べた行列は、シュミットの方法を用いた結果と同じになります。

これらのことから考えて、固有値に重解がある対称行列でも、シュミットの方法を用いなくて良いものと、用いなければならないものがあるのでしょうか？

No.3 ベストアンサー 回答者： arrysthmia 回答日時： 2009/03/26 23:14

シュミット直交化を行う手間が省略できるか否かは、

行列によって決まっているのではなく、
固有空間を求めたときに、貴方が置いた基底によって決まります。
質問の例でも、{ (1 0 0 1), (0 1 1 0) } の替わりに、
例えば { (1 0 0 1), (1 1 1 1) } を固有値 2 に対する固有空間の
基底にとることもできたハズですね？ その場合は、直交化の作業が
必要になっていた訳です。

とはいえ、個々の例でいちいち
直交化すべきか否か、悩む必要はありません。
全ての固有空間に対して、シュミット直交化を行えば良いのです。

最初に拾った基底が、たまたま正規直交基底であった場合には、
シュミット法の結果は、最初の基底と同じものになりますから、
行っても何ら邪魔にはなりません。

固有値が重根かどうかすら考える必要はなくて、
一次元固有空間の基底である１個の固有ベクトルに対して
シュミット直交化を行えば、その方向の単位ベクトルが得られる
だけです。

ともかく全ての固有空間に対して、シュミット法は行うもの
と覚えて間違いは無い。

この回答へのお礼

どうもありがとうございました。
シュミットの直交化について分かっていない部分が多かったので、勉強になりました。

お礼日時：2009/03/27 22:14

No.2 回答者： Jyaikosan 回答日時： 2009/03/26 20:51

対称行列では固有値が重解である場合には、求めた固有ベクトルは一次独立ではあっても

直交するとは限りませんが、偶然直交していることもあります。

今の場合がそうで、λ=2の一次独立な2個の固有ベクトルt^(1 0 0 1)とt^(0 1 1 0)は
内積をとるとわかりますが直交しています。
λ=0の一次独立な2個の固有ベクトルt^(1 0 0 (-1))とt^(0 1 (-1) 0)も直交しています。

シュミットの直交化は直交していない一次独立なベクトルから正規直交系をつくる方法ですから、
今のように偶然初めから直交しているベクトルに適用する必要はありませんし、適用しても同じ結果
になることは納得していただけると思います。

この回答へのお礼

どうもありがとうございました。
内積が0だと直交しているっていうことですね。

お礼日時：2009/03/27 22:15

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2009/03/26 16:33

えっと, 「これらを正規化して横に並べた行列」とは何を表しているのでしょうか? そして, 「シュミットの方法を用いた結果と同じにな

ります」とはどういうことでしょうか?

この回答への補足

すみません。今気づいたんですが、λ=2の固有ベクトルはt^p(1 0 0 1)+t^q(0 1 1 0)です。打ち間違えました。

「これらを正規化して横に並べた行列」は
(1/√2....0......1/√2......0)
(1/√2..1/√2.....0.......1/√2)
(0......1/√2.....0.......-1/√2)
(1/√2....0......-1/√2.....0)
です。
シュミットの方法を用いた場合でも、同じ行列が得られます。

補足日時：2009/03/26 18:44