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量子力学が相変わらず難しすぎて、どこがわからないのかわからないという状況なのですが、
少し糸口になりそうな部分がわかったような気がするので質問させて頂きます。

複素共役を考えると、ブラケットでは、例えば
 (1) (<ψ|A|φ>)^* = <φ|A^†|ψ>
となり、同じものを波動関数の式では
 (2) {∫ψ^*Aφdx}^* = ∫φ^*Aψdx (全空間で積分ということでdxとしています)
のように書かれると思うのですが、エルミート共役はどのようになるのでしょうか?
 (3) (<ψ|A|φ>)^† = ?
 (4) {∫ψ^*Aφdx}^† = ?
という意味です。
私が今思っていることとしては、「内積をとった(ブラケットが閉じた)もの全体に対するエルミート共役」
という概念を考えること自体がおかしいのではないか、などと考えているのですが…。また逆に、
 (5) {A|ψ>}^† = <ψ|A^†
 (6) {A|ψ>}^* = ?
という疑問や、更にこれを波動関数の式((2)みたいな式のことです。何と呼ぶのかわからない…。)で書くとどうなるのか、
などなど、もう何も分かってない気がしてきます(^^;;

とりあえず質問は上記の通りなのですが、(2)のような表記の意味がどうにもよくわからっていないというのが正直なトコロです。。
ブラケットなどの行列力学のような書き方は比較的しっくり来るのですが…。
波動関数というもの自体が、「関数だからベクトルじゃないの??」とか、
「順序とか関係なく、[ψ,φ]=0でいいの??」とか…。もうなんだか混乱しすぎ…orz
という感じなので、どうかお救い下さい。

恐らく質問文が既にいろいろ間違ってたりするのでしょうが、何とか汲み取ってご教授くだされば幸いです。
いろいろ質問が多くなってしまいましたが、よろしくお願い致します。

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A 回答 (8件)

Akira_Oji の No.3 補足質問にたいして、


もう、Dirac の本を読み始めておられるので、だいじょうぶだと思いますが、念のため。

離散状態(例えば、束縛状態のエネルギー、E_i、|i>)の場合

Σ|i><i|=1

となるのに対して運動量pや座標x(それに自由粒子のエネルギー)のような連続状態の場合は、

∫|p>dp<p|=1
のようになります。dpを真ん中に挟んだのは、簡便的ですが、両側にブラやケットが掛けられるのを前提にしていますので、じゃまにならないようにそこにあります。

さて、これを利用すると次のようなことが簡単になります。(以前のあなたの疑問点がより明確になる。)

二つの波動関数、g(x)とh(x)がブラとケットで次のように与えられる:
g(x)=<x|g>
h(x)=<x|h>
これより
{g(x)}^*=<g|x>
(これの意味するところは置いておいて)

以前のあなたが問題にしていた波動関数による積分は
∫{g(x)}^*・h(x)dx
=∫<g|x><x|h>dx
=∫<g|x>dx<x|h>

ここで∫|x>dx<x|=1を使って取り去れば、上式は

=<g|h>

となります。すなわち、

<g|h>=∫{g(x)}^*・h(x)dx

これでブラ・ケット方式と波動関数の積分方式がつじつまがあっているわけです。<g|h>と書いているうちは座標で考えているか、運動量で考えているかによりませんので

<g|h>=∫{g(p)}^*・h(p)dp

ともなります。(ただし、関数形がちがいますが。)

{g(x)}^*=<g|x>
これの意味するところは、もうお分かりと思いますが、x(g)ではありません。しいて言うならば、ひとつの状態gを表すのに、二つのヴェクトル空間(双対空間)があり、ひとつはケット|g>もうひとつはブラ<g|で表されるが、xの関数として表したときにはひとつはg(x)になりもうひとつは複素共役{g(x)}^*になります。
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この回答へのお礼

またまたご回答ありがとうございます。
丁寧に説明して頂き、波動関数の表現も大分理解できてきました!
さて、
 ∫|p>dp<p| = ∫|p><p|dp
で良いということでしょうか。
 ∫f(x) dx g(x) ≠ ∫f(x)g(x) dx = ∫dx f(x)g(x)
だと思うのですが、今回はただ便宜上の表現ということなのでしょうか?

<g|x>=x(g) については納得しました。

また質問で恐縮ですが、よろしくお願い致します。

お礼日時:2009/04/10 07:20

>同じものを波動関数の式では


 (2) {∫ψ^*Aφdx}^* = ∫φ^*Aψdx (全空間で積分ということでdxとしています)
のように書かれると思うのですが

これは違うと思います。(1)を波動関数で書くと
{∫ψ^*Aφdx}^* = ∫φ^*A^†ψdx
です。(2)の右辺が成立するのはAがエルミート演算子A^†=Aのときだけです。

>「内積をとった(ブラケットが閉じた)もの全体に対するエルミート共役」
という概念を考えること自体がおかしいのではないか

別におかしくありませんよ。エルミート共役をとるということは行列を転置して複素共役をとることですから、
内積をとったもの=複素数=1×1行列とみなせてエルミート共役=複素共役となります。
<ψ|A|φ>も∫ψ^*Aφdxも複素数ですから
(3) (<ψ|A|φ>)^† =(<ψ|A|φ>)^*
(4) {∫ψ^*Aφdx}^† ={∫ψ^*Aφdx}^*
となります。

|φ>を縦ベクトルとみなせば<φ|は|φ>の成分の複素共役を成分に持つ横ベクトルとみなせます。
ベクトルを行列の一種と考えれば上で述べたことは{|φ>}^†=<φ| , {<φ|}^†=|φ>と表わせます。
2個の行列の積のエルミート共役は個々の行列のエルミート共役をとって積の順番を変えればよいので
(5) {A|ψ>}^† = {|ψ>}^†A^† = <ψ|A^†
です。再び(3)を今度は3個の行列の積のエルミート共役と考えて計算してみましょう。
(<ψ|A|φ>)^† = {|φ>}^†A^†{<ψ|}^† = <φ|A^†|ψ>
ここで再右辺の<φ|A^†|ψ>は(1)より(<ψ|A|φ>)^* に等しいのですから結局
(<ψ|A|φ>)^† = (<ψ|A|φ>)^*
となりますが、これは先ほど内積のエルミート共役で得られたものと一致しています。

最後の
 (6) {A|ψ>}^*
はこの形のままでいいのではないでしょうか。無理に変形する必要はないと思います。

No.5さんが<ψ|A|φ>の形を気になさっていますが問題はありません。
例えばAが時間発展演算子の場合を考えてみてください。
状態|φ>が時間の経過とともに状態A|φ>になります。
これが状態|ψ>になっている確率振幅が<ψ|A|φ>ですから、
<ψ|A|φ>という形は明確な意味を持ちます。
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この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。

>{∫ψ^*Aφdx}^* = ∫φ^*A^†ψdx
はい、これは完全に†を忘れてました。失礼しました。
閉じたブラケットはもうベクトルではなく、複素数として扱えるということを考えれば、
そのエルミート共役が複素共役になるというのも素直に納得できますね。

最後の(6)は、わかってしまえば、確かにかなり意味のない問ですね。
 A^*(|ψ>)^*
となるだけですね。

<ψ|A|φ>の回答も、本当にどうもありがとうございました。

お礼日時:2009/04/09 15:37

No5の訂正


最後の1行は、無視して下さい(不正確な記述です)

また「始状態と終状態が違う期待値」はまずい 
というのは、僕が、そう思うだけで、強い根拠はありません。
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No4 の補足


2で、A=Σf(a)|a><a| としたのでは、1の|a><a|とごっちゃになって、
混乱しますね。
すいませんが、
2は、A=Σf(b)|b><b| とでもして、1を追って下さい。

あと、<ψ|A|φ> ということは、「始状態と終状態が違う期待値」
という意味でしょうか?
「弱い測定理論」でも扱うのでない限り、
普通の定式化では、これはまずい です。
何故なら、終状態が違う確率は足しても意味ない からです。
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この回答へのお礼

<ψ|A|φ> へのご指摘ありがとうございます。
実はこの部分は、質問文に堂々と書いておきながら、自分で全く意味がわかっていませんでした。
No7さんのご指摘でこの疑問も氷解できました。
ありがとうございました。

お礼日時:2009/04/09 15:31

状態ベクトル|ψ>と、射影演算子、それから導かれる 波動関数ψ(x) とを


体系的に説明してある教科書(例えば 清水明「新版 量子論の基礎」)を
読まれるとよいと思います。
とりあえず、(2)のような表記の意味を説明します。
(説明を簡単にするため、質問のAは、省きます)
1.
天下り的ですが、|a><a|と言う演算子は、一般に、ベクトル|ψ>の|a>への成分を抜き出すことになります。
証明: |a><a|ψ>=|a>f(a)=f(a)|a>
それで、|a><a|と言う演算子を、射影演算子と呼びます。
したがって、|x><x|ψ>=|x>f(x)=f(x)|x> です。
この場合のf(x)が、波動関数ψ(x) ということです。
両辺の|x>は、共通ですから、
<x|ψ>=f(x)=ψ(x) です。
で、射影した結果を全て足せば、元に一致しますから、
|ψ>=Σ|x><x|ψ>=∫dx f(x)|x>    ー 極限で一致
両辺に<ψ|を掛ければ、<ψ|ψ>=1=∫f(x)<ψ|x>
=∫dx f(x) <x|ψ>†=∫dx f(x)f*(x)
=∫dx f(x)*f(x)
これが、(2)のような表記です。
2.
質問の<ψ|A|φ>は、、、
演算子がエルミート演算子であれば、完全系をなすので、
一般に、その固有ベクトル|a>の |a><a| で展開できます。
(清水明「新版 量子論の基礎」p57)
つまり、A=Σf(a)|a><a|
これで、1を順に追っかけて行けば、わかると思います。

で、
 (3) (<ψ|A|φ>)^† = ?
 (4) {∫ψ^*Aφdx}^† = ?
ですが、<ψ|A|φ>は、ただの数値関数つまりスカラーです。
また、 ∫ψ^*Aφdxは、ただの数値つまりスカラーです。
したがって、{スカラー}^ は、ベクトルの意味ですね。
だとしたら、その 転置ベクトル になるだけです。
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この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。

「量子論の基礎」はちょうど友達が読んでいて、
>したがって、|x><x|ψ>=|x>f(x)=f(x)|x> です。
>この場合のf(x)が、波動関数ψ(x) ということです。
の部分は友達にも教えられたのですが、その時は全然意味がわかりませんでした(^^;;
しかし、今読んだら大体イメージがつかめたような気がします。
その本に「状態ベクトルと波動関数は、(基底をひとつ固定したとき)完全に一対一に対応し」とあるので、
どちらも完全に同じ情報を持っているのですね。
実はこれがかなり解せなかったポイントで、何となくなのですが、
スカラーを返す関数は、(成分を3つとか持つ)ベクトルより絶対に情報量が少ないはずだ、
というイメージがあって、どうしても腑に落ちないという感じがしていたのだと思います。

さて、質問なのですが、
>したがって、{スカラー}^ は、ベクトルの意味ですね。
>だとしたら、その 転置ベクトル になるだけです。
という部分がよくわからないのですが。。。
{スカラー}^は†が抜けたのでしょうか。しかし、それがベクトルの意味とはどういうことなのでしょうか?
スカラーのエルミート共役は、結局複素共役と等しく、やはりスカラーである気がするのですが。。

よろしくお願いいたします。

お礼日時:2009/04/09 15:25

回答者No.1 and 2のAkira_Ojiです。

ちょっと、間違ったことを書いてしまったのでDiracやその他の教科書をみて、詳細部を直してもらえればいいのですが、間違っていた部分は以下の通り

間違い「運動量がp’で指定されるような状態|g>の場合は
<p|g>=g(p)=A*Exp{j(p-p')}
のような平面波の形になります。」

訂正「運動量がp’で指定されるような状態|g>の場合の運動量表示での波動関数は
<p|g>=Delta(p-p’)
ですが、
運動量がp’で指定されるような状態|g>の場合の座標表示は、
<x|g>
=Integral <x|p>dp<p|g>
=Integral<x|p>dp Delta(p-p’)
=<x|p’>
=AExp(ip’x/h’)]

ここで〔2行目で)
Integral |p>dp<p|
はUnity=1で<x|と|p>のあいだに挿入できます。また、
<p|g>=Delta(p-p’)
を使いました。また、4行目でDelta関数の性質を使いました。最後の行では証明抜きに書きましたが、運動量がp’で指定されるような状態|g>は座標表示で平面波になる、ということでDiracの本では説明されています。h’はhバアー(Dirac定数)h/2Piのつもりです。ここで興味あるのは、1行目と4行目をみれば、<x|g>=<x|p’>、すなわち状態|g>は状態|p’>と同じで運動量p’で指定される状態になっています。」

以上
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この回答へのお礼

追加で御説明ありがとうございます。

ディラックの本を少し読んだことでかなり理解が進みました。
ブラケットが閉じると、それはもうただの複素数であるということが最大のポイントで、わかってないところでした。
さて、あとは波動関数の表現の方ですね。。

さらに質問になってしまうのですが、
No2で、
 {f(x)}^* = {<x|f>}^* = <f|x> = x(f)
となると思うのですが、このx(f)ってなんなんでしょうか?
考えなくとも良いという気がすごくしますが、なんだか気になってしまって…。
また、上の式の両端をみると、関数の複素共役をとったら、関数と引数が逆転するということになってますが、
これはどう解釈すればいいのでしょうか…?

あとNo3で、
 ∫|p>dp<p| = 1
がありますが、これがどうしてもわかりません。直交完全系をなす|a>を用いて
 Σ|a><a| = 1
という式の積分形なのかと思いましたが、運動量pだけじゃ1にならないし、
それにdpがケットとブラの間にあるし…???

どうも勉強不足で申し訳ありませんが、回答頂ければ嬉しいです。

お礼日時:2009/04/09 15:10

No.1回答者者のAkira_Ojiです。



基本的には、前のアドバイス以上ではないのですが。
<x|f>=f(x)
に対して
{f(x)}^*={<x|f>}^*=<f|x>
となります。だから、ブラとケットはどちらも基本的に同じです。

また、ケット|f>が ”状態”を表しているのに対して関数f(x)は状態|f>の x-座標表示を表します。だから、状態|f>の運動量(p)表示を表したいとき、
<p|f>
となります。

<x|f>が例えば x=x’に局在す粒子を表すとすると、
<x|f>=f(x)=Delta(x-x')
のような関数になるのにくらべて、運動量がp’で指定されるような状態|g>の場合は
<p|g>=g(p)=A*Exp{j(p-p')}
のような平面波の形になります。

Diracの本、頑張ってください。

この回答への補足

皆様ご回答ありがとうございます!!
気づいたら回答がいっぱい付いていてビビりしました(^^;;
そして申し訳ないのですが、今かなり忙しくて
ゆっくり読んで検証する時間が、多分木曜くらいまで取れないので、返答が遅くなります。
申し訳ありませんがご了承ください。

あ、今日ディラックの量子力学図書館で借りてきました。漢字が矢鱈難しい(笑

補足日時:2009/04/07 03:54
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私にとっても、量子力学は難しいものですが、数学的な部分はまだましで、概念的な部分のほうがむしろ不可解でしょう。


もしも、あなたがDiracのブラ・ケット記法がしっくり来るのであれば、ブラ・ケットと波動関数との関係が分かれば理解が進むかと思われます。あなたの場合波動関数とブラ・ケット表示を別々に導入されているので対応が付きにくいのではないでしょうか。例えば、座標xによる波動関数とブラ・ケット表記のあいだには
<x|f>=f(x)
のような関係があります。
最初は読みにくいかも知れませんが、Diracの「量子力学」には非常に論理的にブラ・ケットの導入と波動関数との関係が記述されています。最初の3章を頑張れば、あなたの疑問は明らかに解けると思います。結局、それが一番の近道だと思います。
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この回答へのお礼

嗚呼量子力学ってなんでこんなに難しいんでしょうね~(^^;;
>あなたの場合波動関数とブラ・ケット表示を別々に導入されているので対応が付きにくいのではないでしょうか。
私が読んだ本では、かなり初めの辺りでブラケットを導入して、それからずっとブラケットで書かれていたので、
波動関数にはほとんど慣れていないという感じですね。。。
波動関数はなんだか抽象的すぎて…。数学の解析学が苦手なのでどうにも扱いづらいです。
> <x|f> = f(x)
う~ん、どこかで見たことあるような、ないような…。
この式を見ると、ブラとケットには、双対関係以上にもっと厳然たる違いがあるような気がします。(実際あるのかな…)
ケットが状態ベクトルで重要で、ブラはそのおまけみたいな…。うーん。。。

なるほど、確かにディラックがブラケットを導入した経緯を見れば少しは理解が進みそうですね。
ディラックの量子力学見てみます。

ご回答ありがとうございました。

お礼日時:2009/04/06 00:39

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===
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大雑把に言えばミラー指数は法線ベクトルのようなものです。特に立方晶であれば法線ベクトルと全く同じになります。すなわち立方晶の(111)面の法線ベクトルは(1,1,1)ですし、(100)面の法線ベクトルは(1,0,0)です。法線ベクトルなら「ミラー指数」よりずっと親しみがあり解けそうな気分になると思います。

さて(hkl)面に相当する平面の方程式を一つ考えてみましょう。一番簡単なものとして
hx + ky + lz=0  (1)
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これに平行な、隣の平面の式はどうでしょうか。
hx + ky + lz = a  (2a)
hx + ky + lz = -a  (2b)
のいずれかです。これがすぐ隣の平面である理由(そのまた間に他の平面が存在しない理由)は脚注*2に補足しておきました。
点と直線の距離の公式を使えば、題意の面間隔dは原点(0,0,0)と平面(2a)の間隔としてすぐに
d=a/√(h^2+k^2+l^2)  (3)
と求められます。

点と直線の距離の公式を使わなくとも、次のようにすれば求められます。
原点Oから法線ベクトル(h,k,l)の方向に進み、平面(2a)とぶつかった点をA(p,q,r)とします。
OAは法線ベクトルに平行ですから、新たなパラメータtを用いて
p=ht, q=kt, r=lt  (4)
の関係があります。
Aは平面(2a)上の点でもありますから、(4)を(2a)に代入すると
t(h^2+k^2+l^2)=a
t=a/(h^2+k^2+l^2)  (5)
を得ます。
ここにOAの長さは√(p^2+q^2+r^2)=|t|√(h^2+k^2+l^2)なので、これを(5)に代入して
|a|/√(h^2+k^2+l^2)  (6)
を得ます。OAの長さは面間隔dにほかならないので、(3)式が得られたことになります。

bokoboko777さん、これでいかがでしょうか。

*1 (h, k, l)の組が共通因数を持つ場合には、共通因数で割り互いに素になるようにします。例えば(111)面とは言いますが(222)面なる表現は使いません。
*2 左辺はhx+ky+lzでよいとして、なぜ右辺がaまたは-aと決まるのか(0.37aや5aにならないのは何故か)は以下のように説明されます。
平面をhx+ky+lz = C (Cはある定数)と置きます。この平面は少なくとも一つの格子点を通過する必要があります。その点を(x0,y0,z0)とします。
h,k,lはミラー指数の定義から整数です。またx0,y0,z0はいずれもaの整数倍である必要があります(∵格子点だから)。すると右辺のCも少なくともaの整数倍でなければなりません。
次に右辺の最小値ですが、最小の正整数は1ですから平面hx + ky + lz = aが格子点を通るかどうかを調べ、これが通るなら隣の平面はhx + ky + lz = aであると言えます。このことは次の命題と等価です。
<命題>p,qが互いに素な整数である場合、pm+qn=1を満たす整数の組(m,n)が少なくとも一つ存在する
<証明>p,qは正かつp>qと仮定して一般性を失わない。
p, 2p, 3p,...,(q-1)pをqで順に割った際の余りを考えてみる。
pをqで割った際の余りをr[1](整数)とする。同様に2pで割った際の余りをr[2]・・・とする。
これらの余りの集合{r[n]}(1≦n≦(q-1))からは、どの二つを選んで差をとってもそれはqの倍数とは成り得ない(もし倍数となるのならpとqが互いに素である条件に反する)。よって{r[n]}の要素はすべて異なる数である。ところで{r[n]}は互いに異なる(q-1)個の要素から成りかつ要素は(q-1)以下の正整数という条件があるので、その中に必ず1が含まれる。よって命題は成り立つ。

これから隣の平面はhx + ky + lz = aであると証明できます。ただここまで詳しく説明する必要はないでしょう。証明抜きで単に「隣の平面はhx + ky + lz = aである」と書くだけでよいと思います。

参考ページ:
ミラー指数を図なしで説明してしまいましたが、図が必要でしたら例えば
http://133.1.207.21/education/materdesign/
をどうぞ。「講義資料」から「テキスト 第3章」をダウンロードして読んでみてください。(pdfファイルです)

参考URL:http://133.1.207.21/education/materdesign/

「格子定数」「ミラー指数」などと出てくると構えてしまいますが、この問題の本質は3次元空間での簡単な幾何であり、高校生の数学の範囲で解くことができます。

固体物理の本では大抵、ミラー指数を「ある面が結晶のx軸、y軸、z軸を切る点の座標を(a/h, b/k, c/l)とし、(h, k, l)の組をミラー指数という(*1)」といった具合に説明しています。なぜわざわざ逆数にするの?という辺りから話がこんがらがることがしばしばです。
大雑把に言えばミラー指数は法線ベクトルのようなものです。特に立方晶であれば法線ベ...続きを読む

Qスピンとパリティについて・・・

一人で物理の勉強をしていたらスピンとパリティという言葉が出てきたのですが、改めて何か?と、問われたら分からなくなりました。スピンについては電子や陽子などがもつ1/2の回転という事しか分からず、角運動量との関係が全然分かりません。ついでにパリティについては言葉しか聞いた事が無いので(例をつけて)簡単に教えて下さい。
こんな事質問してすみませんが宜しくお願いします!!

Aベストアンサー

量子力学では角運動量が量子化されていて,その単位が h/2π になっています.
プランク定数はよく[エネルギー・時間]の次元を持っていると言われますが,
ちょうどこれは角運動量の次元[長さ・運動量]になっています.
普通の運動(たとえば,円運動のようなもの)では角運動量は h/2π の整数倍に限られています.
ところが,電子などには空間運動の自由度の他にそれ自身がもつ内部自由度があって,
それに角運動量が付随しています.この自由度をスピンと呼んでいます.
スピンに付随する角運動量は普通の運動と違って h/2π 単位の量子化になっています.
したがって,スピン 1/2 は (1/2)(h/2π)の角運動量を持っているということです.
なお,スピンというといかにも電子が自転しているような感じを受けますが,
現在ではそういうイメージは正しくないとされています
(はじめの頃は本当に自転と思われていたようですが).

パリティとは「偶奇性」ということです.
いろいろな意味に使われますが,例を挙げましょう.
電子2個を考えましょう.
片方の電子の波動関数をψ,もう片方をφとします.
一番目の電子が状態ψにいることをψ(1)などと表すことにします.
ψ(1)φ(2)+φ(1)ψ(2) を作ってみると,1←→2の交換をしても全体の式は不変です.
これを「偶である」(even parity)といいます.
一方,ψ(1)φ(2)-φ(1)ψ(2) ですと,
1←→2の交換をすると全体の符号が変わってしまいます.
これを「奇である」(odd parity)といいます.
同種粒子が2個以上ある場合の波動関数についてはパウリ原理という制限があり,
電子では任意の2個を交換したときにパリティが奇のもののみ許される,
ということになっています.
したがって,電子2個の波動関数はψ(1)φ(2)+φ(1)ψ(2)タイプは許されず,
ψ(1)φ(2)-φ(1)ψ(2) タイプに限られる,ということになります.

量子力学では角運動量が量子化されていて,その単位が h/2π になっています.
プランク定数はよく[エネルギー・時間]の次元を持っていると言われますが,
ちょうどこれは角運動量の次元[長さ・運動量]になっています.
普通の運動(たとえば,円運動のようなもの)では角運動量は h/2π の整数倍に限られています.
ところが,電子などには空間運動の自由度の他にそれ自身がもつ内部自由度があって,
それに角運動量が付随しています.この自由度をスピンと呼んでいます.
スピンに付随する角運動量は普通...続きを読む

Q大学院別のTOEICの合格点を教えてください。

大学院入試でTOEICの点数を英語の点数として換算している大学院が多くあると知ったのですが大学院別にどのぐらいが合格点なのでしょうか?
東大の院生の平均点が730というデータはネットでみたのですが他のいろいろな大学院について教授からや友達からの情報でもいいので参考にさせてください。

Aベストアンサー

このサイトに、大学院入試でTOEIC(R)Testを活用する52の大学院が、
国公立、私立別で掲載されており、
ある一定のスコアで、英語の独自試験免除など、詳しい情報が見れます!

参考URL:http://www.toeicclub.net/graduateschool.html

Q格子定数の求め方教えてください!!

こんにちは。
僕は、結晶学を勉強している大学生です。
現在、斜方晶構造の格子定数を算出しようと勉強しているのですが格子定数a, b, cを求める式を作ることができません。ご存知の方教えて教えて下さい。
斜方晶の関係式は以下のようになります。
1/d^2 = h^2/a^2 + k^2/b^2 + l^2/c^2
d, h, k, lの値は既知でa=,b=,c=の式を教えていただきたいです。
また、格子定数を簡単に求められるソフトなどをお知りであれば教えて下さい。
どうかよろしくお願いいたします。

Aベストアンサー

> 格子定数a, b, cを求める式を作ることができません。

これは初等数学の教えるとおり,線形独立な(=異なる面方位の)3つ以上の関係がない限り,どうやっても求まりません。線形独立な式が3つあるなら,三元一次連立方程式を解けばよいだけです。

> 斜方晶の関係式は以下のようになります。

斜方晶だけでなく,正方晶でも立方晶でも成り立ちます。

> 格子定数を簡単に求められるソフト

XRD などのブラッグの回折パターンから格子定数を精密に求めるには,通常,リートベルト解析という計算を行います。RIETAN というソフトが有名です。ただ,大雑把で良くて,点群が分かっていて面指数まで分かっているなら,電卓で十分計算できると思います。

Qブリュアンゾーンの物理的な意味

 ブリュアンゾーンは、逆格子空間のウィグナーサイツセルとして定義されますが、物理的にはどんな意味があるのでしょうか。いまいち具体的なイメージがわきません。キッテルを使って勉強しているのですが、回りくどくてよくわかりません。
 さらに、フォノンの波数ベクトルが-π<Ka<-πに限定されると、なぜそこがブリュアンゾーンに対応しているのでしょうか。
 数式はキッテルに載っているので、できるだけ物理的な意味やイメージをお教えいただければと思います。よろしくお願いします。

Aベストアンサー

○ブリユアンゾーンがなぜ波数なのか?

#1で述べた通り、そもそも逆格子空間とは、波数空間なのです。ですから、その一部であるブリユアンゾーンも当然波数ですよね。

○なぜウィグナーサイツセルがブリルアンゾーンになるのか?

例えば、いきなり三次元で考えると難しいので、二次元(x-y平面)の正方格子で考えます。基本格子ベクトルa1,a2から実際に基本逆格子ベクトルb1,b2を計算してみてください。y軸方向のベクトルと、x軸方向のベクトルになったと思います。
基本逆格子ベクトルb1とb2を線形結合をとることにより、一般の逆格子ベクトルGが得られますが、ゼロベクトルを別とすれば、逆格子ベクトルGの中で大きさが最も小さいのは、b1,b2含めて全部で4つですよね。この4つのベクトルを原点から書いてみて下さい。
で、結論から言いますと、これらのベクトルの垂直二等分線で囲まれた領域(四角形)がブリユアンゾーンとなるわけですが、それは何故かを考えます。
いま、
(1)このような四角形を逆格子ベクトルだけ移動させて張り合わせていくと、全平面を埋め尽くすことができますよね。また、
(2)四角形の内側の点から逆格子ベクトルだけ離れた点はすべて四角形の外側にあることになります。(つまり、ブロッホ波の波数kの周期的な任意性による重複がこの四角形の中にないってこと。)
ブロッホ波の波数kの任意性の周期は基本逆格子ベクトルですから・・・・もうこの四角形の内部の点だけを考慮すればいいことになりますよね!だから、こうやって定義された四角形はブリユアンゾーンとなるわけです。

この考え方が他の構造にも適用できます。

○ブリユアンゾーンがなぜ波数なのか?

#1で述べた通り、そもそも逆格子空間とは、波数空間なのです。ですから、その一部であるブリユアンゾーンも当然波数ですよね。

○なぜウィグナーサイツセルがブリルアンゾーンになるのか?

例えば、いきなり三次元で考えると難しいので、二次元(x-y平面)の正方格子で考えます。基本格子ベクトルa1,a2から実際に基本逆格子ベクトルb1,b2を計算してみてください。y軸方向のベクトルと、x軸方向のベクトルになったと思います。
基本逆格子ベクトルb1とb2を線形...続きを読む


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