流体力学、2次元流れ、速度ポテンシャル、流線の問題

速度ポテンシャル

φ=A・x/r^2 ; r^2=x^2+y^2 (A:定数)

　をもつ2次元流れがあるときの流線を示せ。という問題なんですが、

　　u=-A(x^2-y^2)/r^4 , v=-A・2xy/r^4　　までは出せました。

ここからあとの解き方が、調べてもわかりません。

ちなみに解は x^2+(y-a)^2=a^2 になるみたいです。

dx/u=dy/v をどう使うのでしょうか？

お願いします。

No.3 ベストアンサー 回答者： lycaon 回答日時： 2009/04/09 03:16

こんにちは。

lycaonです。
まず回答を。

Φ＝ A・x/r^2、 r^2 ＝ x^2 + y^2 ...(1)
u ＝ -∂Φ/∂x ...(2)
＝ -A/r^2 - Ax(∂r/∂x)・∂/∂r(1/r^2)
　＝ -A/r^2 + 2A・x^2/r^4 ＝ A・(x^2-y^2)/r^4
v ＝ -∂Φ/∂y ...(3)
＝ -Ax・(∂r/∂y)・∂/∂r(1/r^2) ＝ 2A・xy/r^4

dx/u ＝ dy/v ...(4)

u,vを代入し整理、2xy・dx＝(x^2-y^2)・dy
y ＝ px と置くと dy ＝ pdx + xdp
2xy・dx＝2p・x^2・dx
(x^2-y^2)・dy＝(1-p^2)x^2・(pdx + xdp)
代入整理 {(1-p^2)/p/(1+p^2)}・dp ＝ dx/x ...(5) ←変数分離形

(1-p^2)/p/(1+p^2)＝ D/p + (Ep+F)/(1+p^2) と置き右辺を通分
分子＝D(1+p^2) + p(Ep+F) ＝ (D+E)p^2 + Fp + D
D+E＝-1、F＝0、D＝1→E＝-2
結局(5)→ {1/p - 2p/(1+p^2)}・dp ＝ dx/x ...(5')

∫(1/p)dp＝ln(p) + C1,　
-∫2p/(1+p^2)dp ＝-ln(1+p^2)+C2 ←∫f'(x)/f(x)dx＝ln(f(x))の形。
∫(1/x)dx＝ln(x) + C3

(5')に代入し整理 ln{p/(1+p^2)}dp＝ln(Cx)、C1～C3をCにまとめた。
p/(1+p^2)＝Cx → y＝px で戻し (x^2+y^2) ＝ y/C、
1/(2C)＝a と置き、x^2 + (y-a)^2 ＝ a^2...(6)

回答終わり。

No.4 回答者： lycaon 回答日時： 2009/04/09 03:31

lycaonです。

解説します。

(1)のΦは「速度ポテンシャル」。
渦なしが必要条件。

ポテンシャルエネの代表は位置エネ。
地面(x=0)の上、高さｈから質量ｍの物体を放り投げるとき、真上・真下・斜めに投げても、x=0までに失う位置エネはｍｇｈで「途中の経路によらない」←ポテンシャルの特徴。
速度ポテンシャルは山の等高線に対応し、2本のΦの間が狭いほど傾斜が急→流速大。

理想流体（ポテンシャル流れ）はΦと直交する方向に流れる。
速度ベクトルｖ＝-grad(Φ) →(2)(3)式。...(8)
ΔΦ＝∂^2Φ/∂x^2+∂^2Φ/∂y^2＝0（ラプラス式）...(9)

(6)の2aをΨと書き換えると Ψ＝(x^2+y^2)/y...(7)
Ψは「流れ関数」。
実用上渦なしの、2次元流れ、のみに存在。ポテンシャル流れでない粘性流体にも存在。

Ψ＝一定の曲線は流線を表わし、2本の流線間(流管)が狭いほど流速大。
u ＝ -∂Ψ/∂y ...(10)
v ＝ -∂Ψ/∂x ...(11)
ΔΨ＝∂^2Ψ/∂x^2+∂^2Ψ/∂y^2＝0（ラプラス式)...(12)

(1)も(7)も (x,y)を変えれば曲面を描く。
Φ=constとΨ=const の線はどの点でも直交。
A=1、-5≦x≦5、-5≦y≦5 で x,y共0.25ピッチでΦとΨを近似計算したのが下図。
Excelの図で原点付近は不正確。
3D等高線図では山の頂上 (x,y)＝(0.25,0)で湧き出た流れが谷底 (-0.25,0) に吸い込まれる。

ところが本題で本当は(1)式より、x軸上でΦ＝A/x。
原点を挟んで山谷が密着し標高は各々±∞。
山谷密着ゆえΨのすべての円群が原点でx軸に接することが可能になっている。
（流体では現実にはありえない流れ。数学的に簡単ゆえ出された問題と思われるが、てこずりました。）

私は電気は門外漢ですが、山谷が少し離れた電気双極子の電気力線～等電位面は、電気の本などでよく見かけます。↓
なお正負電荷の距離を限りなく0に近づけた電気双極子（本題と同形）を、点双極子というようです。

参考URL：http://www-antenna.ee.titech.ac.jp/~hira/hobby/e …

この回答へのお礼

図までつけていただき、どうもありがとうございました。

回答も詳しく説明していただきありがとうございました。

もう一度、自分でやってみます。

お礼日時：2009/04/09 21:24

No.2 回答者： endlessriver 回答日時： 2009/04/05 20:08

あと特異解、w=y/x=0すなわちy=0がありました。

No.1 回答者： endlessriver 回答日時： 2009/04/05 16:38

dx/u=dy/v だからdy/dx=v/uの微分方程式を解くだけです。

w=y/xとかおいて解けば。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。

解いてみます。

お礼日時：2009/04/05 18:30