ウォーターサーバーとコーヒーマシンが一体化した画期的マシン >>

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%A9%E3%83%B3% …
のなかで、x^x=z(zは定数)の解は、ランベルトのW関数を使って、
x=ln(z)/W(ln(z))
あるいは
x=exp(W(ln(z)))
となると書いてあるのですが、どうしてこんな式になるのですか?
そこには途中式や説明が一切書いておらず、自分でもいろいろ試してみたんですが、どうしてもx=…の形に辿りつけませんでした。

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A 回答 (2件)

第一回答者の方は頭脳明晰すぎて凡人の私には分りづらい。

同じことかも知れませんが。

z=x^x
lnz=x(lnx)=(lnx)x   ---(1)

ここでx=e^(lnx)として
lnz=(lnx){e^(lnx)}  ---(2)

これは定義と見比べて
lnx=W(lnz)   ---(3)

よって、xについて解けば、一方の表現
x=e^W(lnz)   ---(4)


他方の表現は(3)で(1)を使って
lnx=lnz/x   ---(1’)

lnz/x=W(lnz)   ---(5)

(5)をxについて解けば、他方の表現が得られます。
x=(lnz)/W(lnz)   ---(6)
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この回答へのお礼

判りやすい回答ありがとうございます。
質問するまで解けそうで解けなかったので、これで解決しました。

お礼日時:2009/04/10 19:10

定義に従って計算すれば出てきます。



ヒント)
z=x^xから
ln(z)=x*ln(x)={ln(x)}e^ln(x)…(1)
y=W(y)e^W(y)から
ln(z)=W(ln(z))e^W(ln(z))…(2)

(1)と(2)から簡単に
x=ln(z)/W(ln(z))とx=exp(W(ln(z)))
が導出できます。

後は質問者さんのやる気次第です。
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この回答へのお礼

あ、やっと判りました。
そこまでは思いつきませんでした…
ありがとうございます。

お礼日時:2009/04/10 19:03

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