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よろしくお願いいたします。
対数関数での真数条件、底の条件を考えてみました。
真数は指数関数はすべてY軸よりプラスだからだな
底が1だと指数関数にならないから定義しないのだな
までフムフムと思っていたのですが
底の条件の底が0以上とところで、、-の底はなかったっけ?
と考えてしまいました。
数列などでは-の底の指数関数を目にします。なぜ、この場合-の底を定義しないと
なるのでしょうか?
ご教授ください

A 回答 (3件)

底がa、真数がxの対数をlog[a](x)と書くと、


  y = log[a](x)

  a^y = x
と同値。

言い換えれば、
  y = log[a](x)
を計算することは、
  a^y = x
となるyを探すことと同じ。

ここでa^yという関数を考えると、この関数はa>0ならば-∞<y<∞で実数の値を取る。
もっと言えば-∞<y<∞で連続な1対1関数で、値域は(0,∞)となる。
だからx>0なるxを具体的に一つ指定すれば、a^yの連続性からa^y=xとなるようなyがどこかに存在するだろうと云うことが感覚的にもわかる。
そのようなyが存在することがわかれば、yをlog[a](x)と書くことにして、無事、log[a](x)という関数が定義できる。

底がマイナスの場合を考えるためには、同様の議論をa<0のときについてすることになる。
まずa^yという関数を考えると、この関数はa<0のとき、少なくともyが整数ならば実数の値を取るが、それ以外の場合には実数の値を取るとは限らない。
例えばa=-1,y=1/2のときには
  a^y = (-1)^(1/2) = √(-1)
となってこのような数は実数の範囲では存在しない。
このようにa<0でa^yを考えると、この関数はyの値によって実数だったり実数では存在しなかったりするから、実関数としては連続関数ではない。
もちろんa^yを複素関数と見れば関数を定義することが出来るが、一般にa<0のときa^yは無限に多くの値を取る無限多価関数になる。

さて、結局a<0のときa^yという関数を実数の範囲だけで考えることは難しく、x>0なるxを具体的に与えられても、a^y=xとなるようなyが実数の範囲に存在するとは限らない。
このことはa^yが連続関数ではないことからも感覚的にわかると思う。
言い換えると、a<0のときx>0に対して、a^y=xなるyは普通は複素数だ。
a^y=xなるyをlog[a](x)と書くのだから、a<0のときlog[a](x)は普通は複素数になる。

このような議論から、対数関数log[a](x)を実数の範囲で考えている限り、aもxも正数でなければ話が出来ないと云うことになる。

もちろん実数だけでなくて複素数の範囲まで考えるのなら、z,w,aを複素数として複素対数関数
  w = log[a](z)
を考えることは出来る。
この関数は複素指数関数
  a^w = z
の逆関数として定義できて、そのときaは負の実数であっても構わない。
ただし、先ほども書いたように、そのような複素対数関数log[a](z)は、普通、一つのzに対して無限に多くの値を取る無限多価関数になる。
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この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。
実数でない部分がでる事をいま気づきました
とても助かりました、質問してよかったです。
ありがとうございました

お礼日時:2009/04/19 01:15

対数の定義が可能か、ということから


対数の底aの条件は
a>0 かつ a≠1
ということは高校のどの教科書にも書かれています。

対数の底を[a]で表すと
y=log[a]x … (1)
これをxについて解くと
x=a^y … (2)
ですね。
この式でxとyを入れ替えた
y=a^x … (3)
は(1)の逆関数に当たりますが、
逆関数の条件が成り立っていなければ逆関数といえません。
●実数xの定義領域の全てのxについて(1)および(3)のyが定義されること。
●実数xの定義領域で(1)および(2)が一価関数であること。

この観点からa<0の場合を検証して見るといいでしょう。
(3)についてa=-5としてみると
y=(-5)^x={(-1)^x}(5^x)
(5^x)は実数xに対して定義されますが
(-1)^xは実数の範囲では、xが整数のときのみ定義され「+1または-1」
のいずれかの値をとります。
したがって、y=(-5)^xは実数の範囲で考えると
xが整数でない場合は定義できません。
このことから-5を負の実数a(<0)の時についても
実数の範囲で考える場合はxが整数以外では(3)が定義されないことが
容易に類推できるでしょう。

このことから
(1)を(3)の逆関数と仮定した場合、a<0に対して、xの定義域が実数領域で
まともに定義できません。(1)でyが整数の場合以外は定義できませんので
x=a^y (yは整数のみ)
a<0では(1)がx=a^n(nは整数)の時のみしかyが存在せず、その他の実数xでは(1)のyが定義できません。

こういうことから
y=log[a]x
はa<0の場合は実数x(>0)に対して
a>0(a≠0)の場合のように連続関数として定義できません。
したがって(1)の底の条件として
a<0の範囲を除外している
のでしょうね。
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この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます
実数の範囲を超えることをお蔭様で
今気づきました。
とても助かりました

お礼日時:2009/04/19 01:14
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この回答へのお礼

ご回答ありがとうございました。
すでにあったんですね

お礼日時:2009/04/19 01:13

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宜しくお願いします。

Aベストアンサー

あります.複素関数論では頻繁に取り扱います.

底が e である指数関数 e^x は,e を x 回かけるという
直感的な定義とは全く別の方法で定義できます.
(たとえば e^x = lim_{n→∞} (1 + x/n)^n など)

そう定義した e^x を用いて,一般の複素数 a に対して
 a^x = e^{x log a}
と定義します.ただし log は上で定義した e^x の逆関数です.
こうすると,a が正の数の場合は,普通の a^x と一致し,a が一般の場合も
指数関数が持っているべき性質を一通り保存してくれます.
(なぜこうするかは,複素関数論の話です.
 いつか勉強する機会があるかもしれませんね.)

ちなみに,この定義によれば a を正の数としたときに
 (-a)^x = a^x ( cos(πx) + i sin(πx) )
が成立します.

Qdxやdyの本当の意味は?

宜しくお願いします。

昔、高校で
dy/dyの記号を習いました。これは分数ではなくて一塊の記号なのだと習いました。
が、微分方程式ではdyとdxをばらばらにして解を求めたりします。
「両辺をdy倍して…」等々、、、
また、積分の置換積分では約分したりもしますよね。

結局、dy/dxは一塊ではないんですか??やはり分数なのですか?
(何だか高校の数学では騙されてたような気がしてきました)
一塊の記号でないのなら分数っぽい記号ではなくもっと気の利いた記号にすればいい
のにとも思ったりします。

実際の所、
dxの定義は何なんですか?
dyの定義は何なのですか?
本当はdxとdyはばらばらにできるのですか?

どなたかご教示いただけましたら幸いでございます。

Aベストアンサー

数的に定義するというのが、いわゆる微分形式というもののことで、完全に代数的にこれらを定義することができます。ただ、定義しただけでは普通の微分とどう関係があるのか分かりにくく、その辺りは大学の2回生程度の数学になります。

dxというのは微分形式の立場からいうと、xという(座標)関数の全微分のこと、つまりd(x)のことです。dという記号はここでは全微分を表す記号だと思ってください。別の座標yを取ったとき、yの全微分をd(y)と書きます。現実には、座標といったときは曲がった座標を取るよりは、普通のまっすぐなユークリッドの座標xを基準に取ることがほとんどです。そういうわけで、微分形式(特に1次の微分形式)はdxを基準に取ることが普通です。もちろんdyも1次の微分形式と呼ばれます。なにやら難しそうだけれども、dxや、dyといったものは、座標関数の全微分を表すものなんだ、ということで、単独で定義できるものだということは理解しておいて欲しいと思います。

さて、ふたつの座標x、yには通常ある種の関数関係があることがほとんどです。たとえばy=log xなど。これはグラフのイメージでいうと、普通のグラフを対数グラフにした、というイメージです。あるいは、中学高校でよくやっているのは(もちろん意識してませんが)、x軸かy軸を適当に尺度を変えてやるという変換、y=axというのもよくやります。さて、このときyの全微分をxの全微分で表せないか?ということを考えます。それが次の式です。大学では多変数バージョンを普通やります。

y=f(x)とyがxの関数でかけているとき、yの全微分d(y)はxの全微分d(x)を用いて、
d(y)=f'(x)d(x)
と表される。

これは微積分でやる置換積分の公式(チェイン・ルール)と呼ばれるものそのものです。代数的取り扱いに慣れているのならば、微分形式を抽象的な階数付交代代数と思うことができて、上で表されるチェイン・ルールが成り立つもの、と定義してもよいかと思います。いずれにせよ、微分形式の立場からいうと、d(x)やd(y)は単独に定義できる諸量です。

その意味では、dy/dxという記号は二つの意味に解釈できます。すなわちyというxの関数をxで微分した、という単なる記号だと思う方法(もちろんそれはy=f(x)であるときは、f'(x)を指すわけです)、ただし(d/dx)yと書くほうが望ましい。もうひとつは、微分形式dyとdxの変換則とみる(つまりdyとdxの比だと思う)という方法です。これはdy=f'(x)dxなのだから、dyはdxに比例定数f'(x)で比例している、と思うのだ、というわけです。分数の表記は形式的な意味しか持ちません。ですが、この両方の解釈をよくよく考えてみると、dy/dxは本当に分数のように扱うことが出来ることも意味しています。むしろそうできるように微分形式(dyとかdxとか)の記号を作ったと思うほうがよいでしょう。もう一度かくと、(d/dx)y=dy/dxなのだ、ということです。左が微分記号だと思う立場、右が微分形式の比だと思う立場。いずれも同じ関数f'(x)になっているのです。学習が進めば進むほど、この記号のすごさが理解できると思います。うまく出来すぎていると感嘆するほどです。

微分記号と思うという立場にたったとき、なぜd/dxと書くのか、あるいは積分記号になぜdxがつくのか、ということは高校レベルの数学では理解することはできません。もともとたとえばニュートンなんかが微分を考えたときは、d/dxなどという記号は使わず、単に点(ドット)を関数の上につけて微分を表していたりしました。そういう意味では、現在の微分記号のあり方というのは、単に微分するという記号を超えて、より深遠な意味を持っているとてもすごい記号なのだといえます。

なお蛇足ですが、1次の微分形式は、関数xの微小増加量(の1次近似)とみなすことができて、その意味で、無限小量という解釈も出来ます。物理などでよく使われる考え方です。またこれは大学3年レベルだと思いますが、微分形式を積分したりします。実はそれが高校でも現れる、∫(なんとかかんとか)dxというやつなのです。

数的に定義するというのが、いわゆる微分形式というもののことで、完全に代数的にこれらを定義することができます。ただ、定義しただけでは普通の微分とどう関係があるのか分かりにくく、その辺りは大学の2回生程度の数学になります。

dxというのは微分形式の立場からいうと、xという(座標)関数の全微分のこと、つまりd(x)のことです。dという記号はここでは全微分を表す記号だと思ってください。別の座標yを取ったとき、yの全微分をd(y)と書きます。現実には、座標といったときは曲がった座標を取るよりは、...続きを読む

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e^-2x の積分は、(-1/2)*( e^-2x )と判明します。

Q0の2乗はいくつですか?

お願いします。

Aベストアンサー

0^2 の値は、0 です。
そのことは、1 + 0 を二乗してみれば解ります。

括弧を展開すれば、
(1 + 0)^2 = 1×1 + 1×0 + 0×1 + 0×0 = 1 + 0 + 0 + 0^2.
括弧の中を先に計算すれば、
(1 + 0)^2 = 1^2 = 1.
よって 1 + 0^2 = 1 ですが、
両辺に -1 を加えれば、0^2 = 0 となります。

以上の計算には、
分配法則と、1×a = a×1 = a と、0 + a = a + 0 = a と
を使いました。

Q底の条件

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底の条件ってなんですか?

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Aベストアンサー

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1 を何乗しても 1 なので、高校の時は 底 ≠ 1 です


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