直交截線族に関する問題で、以下の2問がうまく解けませんでした。コーシー・リーマンの関係式を使ってもう一方を求めてから変数を消去してできた問題もあるのですが、この2問はうまくいきませんでした。解き方が間違っているのでしょうか?

問題1
関数 w(z)=u(x,y)+iv(x,y) が正則ならば、u(x,y) = a ,v(x,y) (a,b は実媒介変数)で表されるz平面状の2組の曲線族は互いに直交する。この性質を用いて、次の曲線族の直交截線族を求めよ。
(3) x^2 + y^2 = 2ax
(4) sin(x^2 + y^2) = ae^(2xy)

ちなみに、略解はそれぞれ、
x^2 + y^2 = 2by、y - 2 = b(x - 1)
です。

次に複素数積分の問題なのですが、8問中、下の2問だけ、留数定理をつかっても、うまく計算できませんでした。他の解き方で解かなければならないのでしょうか?

2.次の関数をそれぞれ示された閉曲線にそって積分せよ。
(7) (e^(1/z))/ z^2
(8) (e^z) / sin z

以上です。よろしくお願いします。

A 回答 (1件)

補足要求です。



>問題1
>関数 w(z)=u(x,y)+iv(x,y) が正則ならば、u(x,y) = a ,v(x,y) (a,b は実媒介変数)で表され…
v(x,y)=b ので良いのでしょうか。多分そうだと思いますが。

>問題2.次の関数をそれぞれ示された閉曲線にそって積分せよ
積分したい閉曲線が書いてありません。どちらも各関数の特異点を囲む閉曲線だと思いますが。

この回答への補足

>問題1
v(x,y)=b で良いです。

>問題2
それぞれ閉曲線は、単位円 |z|= 1 です。

抜けてしまいました。すみませんでした。

補足日時:2001/03/12 16:54
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QIllustratorで線がクレヨン風のイラストを作りたいのですが…

お世話になります。
Illustratorにてイラストを描くのですが、
パスの綺麗なラインではなく、ちょっとガタガタっとした
味のある線にしたいと思ってます。
イメージとしては画用紙にマジックで描いたようなちょっと
滲んだ線です。

イメージとしましては、下記urlのようなイラストです。
http://www.orangepage.net/ad/orangepage_cafe/index.html

自分が試したやり方としましては、パスでイラストを描いて、
線をブラシライブラリに登録してある「アーティステック」等で
いろいろ試しましたが、イメージと合いません。
ブラシの設定だとやり過ぎで、もっとurlのような素朴な感じにしたいのです。

そこで、画用紙に下書き→スキャン→ライブトレースをしたのですが、
やはり線があまり綺麗ではありませんでした。

urlイラストを描いた方は、ライブトレースなのかな?とは
思っているのですが、こういうイラストを描くにはどうしたら
良いのでしょうか?

Aベストアンサー

2番の方の言われるように、
完成イラストとしてはイラストレータEPS形式で保存されていても、
輪郭線は手書きをスキャニングされたように見えます。

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気負わず、簡単な方法で仕上げるのが素朴感を演出するこつでは?

Qx1=(1,1,1),x2=(1,1,-1),x3=(1,-1,-1)をC^3の基底,{y1,y2,y3}がその双対基底でx=(0,1,0)の時,y1(x),y

[問] ベクトルx1=(1,1,1),x2=(1,1,-1),x3=(1,-1,-1)をC^3の基底とする。
{y1,y2,y3}がその双対基底でx=(0,1,0)の時、
y1(x),y2(x),y3(x)を求めよ。

という問題の解き方をお教え下さい。

双対基底とは
{f;fはF線形空間VからFへの線形写像}
という集合(これをV*と置く)において、
V(dimV=nとする)の一組基底を{v1,v2,…,vn}とすると
fi(vj)=δij(:クロネッカーのデルタ)で定めるV*の部分集合
{f1,f2,…,fn}はV*の基底となる。これを{v1,v2,…,vn}の双対基底と呼ぶ。

まず、
C^3の次元は6(C^3の基底は(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1),(i,0,0),(0,i,0),(0,0,i))
だと思うので上記のx1,x2,x3は基底として不足してると思うのです(もう3ベクトル必要?)。

うーん、どのようにしたらいいのでしょうか?

Aベストアンサー

>C^3の次元は6(

これが間違え.
「x1=(1,1,1),x2=(1,1,-1),x3=(1,-1,-1)をC^3の基底」
といってるんだから,係数体はRではなく,C.

あとは定義にしたがって,
dualな基底を書き下せばいいだけ.
y1(x1)=1,y1(x2)=y1(x3)=0であって
v=ax1+bx2+cx2と表わせるわけだし,
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たびたびすみません。好きな色を指定できて、なおかつ楽な方法を思い出しましたのでご報告差し上げます。

--ステップ1------------------------------------------
スキャンした画像を読み込んだあと、

イメージ→色調補正→
明るさ・コントラスト→(適度に調整してください)

--ステップ2------------------------------------------
次にスキャンした画像の上に、調整レイヤーを作ります。

レイヤー→新規調整レイヤー→「グラデーションマップ」を選択後、そのままOKボタンを押してください。

--ステップ3------------------------------------------
「グレースケールマッピングに使用されるグラデーション」という、グラデーションの帯の表示が出てきます。
これをワンクリックしてみてください。
次に、グラデーションエディタというウィンドウが出てきます。このウィンドウの上部にあります、
「プリセット」の中から、白と黒が最もハッキリしたグラデーションを選択してください(Photoshop7.0では
左上から三番目にあるのですが、おそらく6.0でも同じかと思われます)。

これを選択すると、このグラデーションエディタウィンドウ下部にあります、グラデーションの帯の表示が
コントラストの強い、白と黒の帯に変わります。
この帯の上下左右に配置されている、四角いマーカーのような
オブジェクトのうち、左下のものを、ワンクリックしてみてください。

グラデーションエディタウィンドウ最下部にあります、「カラー:」の右にある小さな窓が真っ黒になったと思います。
この小さな窓を、ワンクリックしてみてください。

カラーピッカーウィンドウが表示されると思います。あとは、この中から好きな色を選ぶとよいでしょう。
※気に入った色は、色見本に追加するか、16進表記をメモしておくことをおすすめします。
(例えばオレンジであれば FF9600 などという数字です)

描線を好きな色にできたら、必要な場合表示レイヤーを結合してください。



描線を白にしたい場合は、まず、上記ステップ2までの手順を踏んでください。
「グレースケールマッピングに使用されるグラデーション」のグラデーションの帯の表示が出てきます。
この表示の下にあります、「逆方向」という項目にチェックを入れます。
白と黒が反転したと思います。さらに、グラデーションの帯の表示をワンクリックしてみてください。
「プリセット」の中から、白と黒が最もハッキリしたグラデーションを選択してください。
OKボタンを押してこのウィンドウを閉じます。残ったグラデーションのウィンドウも、OKを押して閉じてください。

次に、表示レイヤーを結合。そのままでは背景になっていると思いますので、この背景を
レイヤー→レイヤー複製で複製してください。
そして、レイヤーウィンドウのレイヤー効果メニュー(『通常』と表示されているところです)から
「スクリーン」を選択します。

下にある背景レイヤーをCtrl+Aですべて選択。その後、ブラシなどで白より暗い適当な色で塗ってみてください。
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どうでしょうか。ご参考になれば幸いです。

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Q≪問題≫実数x,y,zは関係式,x+y=2…(1),x^3+y^3+z^3

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もしくは、
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Qx*y=log(e^x+e^y)と定義すると、(x*y)+z=(x+z)*(y+z)

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x*y=log(e^x+e^y)
と定義すると、
(x*y)+z=(x+z)*(y+z)
が成り立ちます。
分配法則の*と+を逆にしたような感じですが、この*から何かしらの代数的な事実が従うのでしょうか?
この*の意味は何なのでしょうか?

x*x=aのとき、x=√aと定めと、
√(a*b)≧(a+b)/2
といった相加相乗平均の関係の類似は成り立つようですが。

Aベストアンサー

e^x=X, e^y=Y, e^z=Z と置いて考えましょう。
e^(x*y)=e^x+e^y → Z=X+Y
e^(x+y)=e^x*e^y → Z=X*Y
つまり、正の数の加算と乗算になります。

>分配法則の*と+を逆にしたような感じですが

まさにその通りです。入れ替えて見てください。

>√(a*b)≧(a+b)/2

通常の相加相乗平均とは逆ですね。


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