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f(x)=tan^(-1)xのマクローリン展開はどうやるんでしょうか?

公式どおり、f(x)=f(0)+f'(0)x+f''(0)x^2/2!+…にあてはめようとするとf'(x)=(-1)/sin^2xなのでxに0を代入できません。また、それ以降も分母にsinxがくるのでxに0を代入できません。

よろしくお願いします m(_ _)m

A 回答 (6件)

tan^(-1) x と書くから、arctan x と誤解されるんです。


cot x と書いたほうが安全です。
f ' (x) = -1/(sin x)^2 となるような f(x) を
考えているんですよね?

cot x は、x = 0 に極を持ちますから、
x = 0 を中心にテーラー展開することはできません。
替わりに、ローラン展開すると良いでしょう。

オイラーの等式 e^ix = cos x + i sin x を使って変形すると、
x cot x = ix + 2ix/(e^2ix - 1) となりますが、右辺に現われる
z/(e^z - 1) は整関数であり、ベルヌイ数の定義式
z/(e^z - 1) = 1 + Σ[n=1→∞] (B_n / n!)z^n が成立します。
z = 2ix を代入して整理すれば、
f(x) = 1/x + (xのベキ級数) という形に展開されます。
ベキ級数部分の係数は、このヒントに従って
自分で計算してみて下さい。
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f(x)=tan^(-1)(x)≡arctan(x)


ですよ。

f'(x)=1/(1+x^2)
x=0を代入できませんか?

f''(x)=-2x/(1+x^2)^2
f'''(x)=2(3x^2-1)/(1*x^2)^3
...
などもx=0を代入できますよ?
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>(y=tanxをy=xについており返せばよいのですぐ書けます。

)X=0で傾きが無限大です。

傾き1だよ.0の近傍でtan(x)はxで近似できるんだから.
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f(x)=tan^(-1)xと言ったらf(x)=arctanx(逆三角関数)を指すかと


そうすれば
f'(x)=1/(1+x^2)
となります

もしf(x)=1/tanxの意味ならそもそもマクローリン展開をする意味がありません
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y=tan^(-1)xのグラフを書いて見てください。

(y=tanxをy=xについており返せばよいのですぐ書けます。)X=0で傾きが無限大です。このようなところではマクローリン展開自体が無意味です。
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tan^{-1}(x) って 1/tan(x) じゃないよ.


記号の定義をよく確認しましょう.
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