∫[0→1](x^m)*(1-x)^ndx

次の定積分を求めよ。ただし、mとnは0以上の整数とする。
∫[0→1](x^m)*(1-x)^ndx


という問題の答えは、
（m!n!）/｛（n+m）!（n+m+2）｝であっていますかね？自信ないので質問しまし
た。
部分積分を繰り返して、階乗を利用しました。

No.1 ベストアンサー 回答者： jamf0421 回答日時： 2009/04/22 17:34

部分積分でよいですが結果は(m!n!)/(m+n+1)!でないですか？

m=1, n=1とかm=1, n=2とか簡単な数をいれれば正しくできたか検算はできます。

No.8 回答者： Tacosan 回答日時： 2009/04/22 23:26

もう 1つおまけですが, これは「ベータ関数」というやつですね.

No.7 回答者： info22 回答日時： 2009/04/22 20:04

そうですね。

#1さんの結果にまとめられますね。
積分があっているかの検証することに気をとられて
#２さん同様気がつきませんでした。

No.6 回答者： Tacosan 回答日時： 2009/04/22 18:21

ああ, 確かに分母は 1個の階乗にまとめられますね＞#1.

元の表現に引っ張られた....

No.5 回答者： jamf0421 回答日時： 2009/04/22 18:04

No1です。

いわでもがなですがNo2さんとも答えがあってましたので安心しました。(^^ゞ

No.4 回答者： info22 回答日時： 2009/04/22 18:02

#3です。

積分してみると
(m! n!) / [(m+n)! (n+m+1)]
となるので#2の方の積分でよろしいと思います。

No.3 回答者： info22 回答日時： 2009/04/22 17:56

>mとnは0以上の整数とする。

たとえば「m=n=1」の場合どうなるか？
>∫[0→1](x^m)*(1-x)^ndx
と
>（m!n!）/｛（n+m）!（n+m+2）｝
を計算するとそれぞれ
1/6と1/8
となって
積分値と答が合わないですね。
チェックして見てください。

この回答へのお礼

どうもありがとうございます。
ｍとｎに具体的な整数を入れて確認してみれば、自分の過ちに気付けたんですね。

お礼日時：2009/04/23 18:02

No.2 回答者： Tacosan 回答日時： 2009/04/22 17:42

Σ nCr (x^r)(1-x)^n-r t^r = (1-x+xt)^n でこれを x で不定積分すると

(1-x+xt)^(n+1)/(t-1)(n+1). つまり 0→1 の定積分は
[t^(n+1) - 1^(n+1)]/(t-1)(n+1).
この t^r の係数が nCr ∫[0→1](x^r)*(1-x)^(n-r) dx だから自動的に
nCr ∫[0→1](x^r)*(1-x)^(n-r) dx = 1/(n+1). したがって
∫[0→1](x^m)*(1-x)^ndx = (m! n!) / [(m+n)! (n+m+1)]
ではないでしょうか.