「14枚のカードが重なり合っています。今下から一度に6枚とり、そのままの状態で上に重ねます。これを繰り返し行うと最初に一番下にあったカードが次に一番下にくるのは何回目に重ねたときですか。」
という問題なのですが、わかる方教えて下さい。

A 回答 (5件)

14と6の最小公倍数は42です。


ですので、42÷6=7で、7回目
じゃないでしょうか。
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この回答へのお礼

迅速な回答ありがとうございました。この場を借りて皆さんにもお礼を申し上げます。ポイントは先着順で付与させていただきました。

お礼日時:2001/03/08 17:57

答えは「不可能」です。



カードに上,から1~14の数をふりあてる。
(1)題意の操作は上の8つの数と下の6つの数を次々と
  入れ替えていく作業である。
(2)上の8つを順に2個づつ組み合わせて4ブロックとし,
 下の6つも同様に3ブロックとする(stomachmanさんの言っていること)。

 上 (1,2),(3,4),・・・・,(13,14),(15,16) 下

 すると(1)の作業は,この4ブロックと3ブロックを次々に
入れ替えていく作業と考えることができる。

(3)ブロックはブロックごと動く。
 したがって,各ブロックの下にある数は,絶対に一番上にはなれない。
  ~(15,16)というブロックはこのまま動いていきます。

―――――――――――――――――――
【拡張】
 n個の数(カード)を並べて,下のm個を上に重ねる操作を繰り返す,
という問題に拡張します。

 上に書いたことと同様に,もしmとn-mが互いに素でない場合,
 この作業によって,一番下の数が一番上になることはありません。
 (公約数個の元をもつブロックをつくればよい)。
 したがって,mとn-mを互いに素とします。

 この操作は,最初の数に次々とn-mを加えていって,それをnで割った
 あまりを操作の結果とすることと同等です。
 例えばn=5,m=2であれば,物理的操作によって

 1,2,3,4,5 → 4,5,1,2,3

 となりますが,これは最初の各数字に5-2=3を加えて,5で割った余り
 を割り当てたと見なすことができます(但し余り0の場合は,5として
 いる)。
 これによって,問題を言い換えると
 (一番上の)1にn-mを次々と加えていって,それが最初にnの倍数(余り0)に
 なるときの回数を求めよ,ということになります。
 すなわち,

  1+(n-m)α=nk (α,Kは自然数)
 
 となるような最小のkを満たすαが求める解となります。
 (n-mとnも互いに素なので,このようなα,kは必ず存在します)。
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すでに回答が出てますから、蛇足です。



初め上から14枚目にあったカードは、何度操作しても常に偶数枚目にあります。(これは14と6の最大公約数が2であるからですね。)だから引き続く2枚づつを糊付けしちゃって
「7枚のカードが重なり合っています。今下から一度に3枚とり、そのままの状態で上に重ねます。これを繰り返し行うと...」
という問題に変えても答は変わらない。
 注目しているカードが何枚目に来るかというと(てっぺんを0枚目と数えることにすると)6->2->5->1->4->0->3->6 。一回の操作はつまり、7を法として3を加えることに他なりません。最大公約数枚のカードを糊付けしちゃったので7と3が互いに素であることは必然であり、従って0~6の数字を1回づつ数えたら幾つ?という問題に帰着します。(なぜなら、もし0~6までの数字のうち2回出てくる奴があれば、それは既にサイクルを一周以上してしまっているからですし、逆に1回も出てこない数字があるのなら、公約数が存在しているということになります。)

まとめると、
 カード全部の枚数÷(全部の枚数と動かす枚数の最大公約数)=14÷2=7
が答です。
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14毎のカードを6毎ずつ上に載せ直して行くわけですので


すべてのカードは6の倍数分ずつ動くわけです。
そして、一番下に逢ったカードが一番最はじめに
一番下に戻ってくるという事は、そのカードは
つまり14の倍数分動いた事になります。

そのため、この問題は14と6の最小公倍数を求めるところから始めます。
最小公倍数の求め方により、

14=7x2
6=3x2

と因数分解され、それぞれの因数である「7,3,2」の積算が
最小公倍数となりますので

7x3x2=42

となります。
これを6で割り、

42/6=7

という解が得られます。
よってこの質問の回答は7回です。
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初期状態から6枚ずつずれる操作を行なって,


初期状態に戻るのに何回かかるかということですね.
わかりやすくするために,一番上のカードを基準にとって,
最初に一番上にあったカードが各操作の後に,
上から何番目にあるかを考えます.(一番上を0とします)
そうすると,6つずつ下に移動することになるので,
0→6→12→18(4)→10→16(2)→8→14(0)
(14以上になるときは14を引きます)
となり,7回になります.
計算で求めるには6と14の最小公倍数42を6で割るとでてきます.

難しく考えると,14の剰余類とか置換群の話とかになるのでしょうが,
その辺は専門家にお任せします.
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