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A-E,A＋Eの正則行列の証明

締切済

  • 質問者：yuusuke600
  • 質問日時：
  • 回答数：1件

A,O,E,はn×nの正方行列
m
Ａ＝Oが成り立つとき（mは一次以上の整数）
（１）A-Eは正則行列である
（２）A＋Eも正則行列である
ことを証明せよ、という問題がわかりません。頭のいい方教えてください

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「計算 逆行列」に関するQ&A： 3×3の逆行列の計算について

A 回答 (1件)

No.1

  • 回答者： PRFRD
  • 回答日時：

　1/(1 - x) = 1 + x + x^2 + ...


という展開を見たことがあるかと思いますが，この行列版です．

(1) B = -(E + A + A^2 + ... + A^{m-1}) が A - E の逆行列です．
実際 (A - E) B を計算すると E になります．

(2) B = -(E - A + A^2 - ... + (-1)^{m-1} A^{m-1}) が A+E の逆行列です．
これも (A + E) B を計算すると E になります．

なお，証明からわかるように，ΣA^m が収束するなら A - E は正則です．
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Qn次正方行列Aが正則であることの定義を述べよ。

n次正方行列Aが正則であることの定義を述べよ。
（逆行列を用いて定義するときは、その定義も述べよ。）
という問題があるのですが回答は

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これで合ってますか?

あと
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この問題が分かりません。

どなたか宜しくお願いします。

Aベストアンサー

正則性の定義は、貴方のものでも良いし、
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ただし、流れから言って
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貴方の定義のほうが、簡潔で書き損じが生じ難いと思う。

＞ これって XA = E は
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(A^2 + E)A = E と書いとけば良い。
あるいは、定義のほうを AX = E だけにしておく手も。

ケイリー・ハミルトンの定理より、
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Q正則行列の証明問題

問題は「Aがm次正則行列、Dがn次正則行列ならばに二のm×n行列Cに対し次の行列X,Y,Zは正則であることを示せ。またX^-1,Y^-1,Z^-1を求めよ。
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｜0 D｜
Y＝
｜A 0｜
｜C D｜
Z＝
｜B A｜
｜D 0｜
」
です。
証明は逆行列を求めて正則行列でないB、Cの逆行列が関与していないことを示すだけでいいですか？
解答がないんで確かめようがなくて困ってます。
よろしくおねがいします。

Aベストアンサー

Ｘについては言ったのでもう繰り返さない

Ｚについて
Ｚ＾－１＝
［ｂ　ａ］
［ｄ　ｃ］
とすると
［Ｂ　Ａ］［ｂ　ａ］
［Ｄ　０］［ｄ　ｃ］
＝
［Ｉ　０］
［０　Ｉ］
よって
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Ｂ・ａ＋Ａ・ｃ＝０
Ｄ・ａ＝Ｉ
（ただしＩはｍ次のものとｎ次のものがあるが煩雑なので同じＩを使った）

これは猿でも解けます
ａ＝Ｄ＾－１
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ｄ＝Ａ＾－１

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Q正則であることを証明する問題です。

以下の問題ができませんでした。
行列　I+Σ[k=1,∞]A^k/k!　が正則であることを示せ。

Aベストアンサー

もうすこし丁寧に説明します。

0!=1に注意すると、与式はΣ[k=0,∞]A^k/k!と書ける。

まず、この無限級数が行列環の中で任意の行列Aに対して絶対収束することを言わないといけない。一つの方法はJordan標準型を使う。(質問者がJordan標準型を知らない場合はこの段落を読み飛ばしてください。Jordan標準型とは対角化の概念の一つの一般化で、行列の冪の計算が簡単になります)
いまJをAのJordan標準型とすると、正則行列Pが存在して
A=P^(-1) J P
と書けている。さて、A^n=P^(-1) J P P^(-1) J P ・・・P^(-1) J P=P^(-1) J^n P
だから、Nまでの部分和は
Σ[k=0,N]A^k/k! =P^(-1) (Σ[k=0,N]J^k/k!) P
J^nは具体的に成分が書き下せるので、スカラーの指数関数の冪級数の収束性に帰着される。
よってまず、Σ[k=0,∞]A^k/k!がある行列に収束することは分かる。

次に、正則性。

f(A)=Σ[k=0,∞]A^k/k!とおく。
このとき、AB=BAとなるA,Bに対して、kからjとる組み合わせの数をkCjとして
(A+B)^k=Σ[j=0,k]kCj A^j B^(k-j)

が成り立つ。(A,Bが可換でないと、(A+B)^2=A^2+AB+BA+B^2のようになってしまうので、(A+B)^2=A^2+2AB+B^2のようになるには可換性が重要)
よって、

f(A+B)=Σ[k=0,∞](A+B)^k/k!
=Σ[k=0,∞]Σ[j=0,k]kCj A^j B^(k-j)/k! …(※)

さて、kCj=k!/j!/(k-j)!だったのでkCj/k!=1/j!/(k-j)!
したがって、
(※)=Σ[k=0,∞]Σ[j=0,k](A^j)/j! (B^(k-j))/(k-j)!
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=f(A)×f(B)

つまり、AB=BA ⇒ f(A+B)=f(A)f(B)
が言えた。とくに-AはAと可換だから、f(O)=f(A)f(-A)
いま、f(O)=Σ[k=0,∞]O^k/k!=I (k≧1の項は全てOになるので)
よりf(A)f(-A)=I

よってf(A)は可逆で逆元はf(-A)で与えられる。

もうすこし丁寧に説明します。

0!=1に注意すると、与式はΣ[k=0,∞]A^k/k!と書ける。

まず、この無限級数が行列環の中で任意の行列Aに対して絶対収束することを言わないといけない。一つの方法はJordan標準型を使う。(質問者がJordan標準型を知らない場合はこの段落を読み飛ばしてください。Jordan標準型とは対角化の概念の一つの一般化で、行列の冪の計算が簡単になります)
いまJをAのJordan標準型とすると、正則行列Pが存在して
A=P^(-1) J P
と書けている。さて、A^n=P^(-1) J P P^(-1) J P ・・・P^(-1) J P=P...続きを読む

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人間の三大欲望は
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ａ＝（１，３）　，　ｂ＝（４，２）のとき、次のベクトルを、　ａ，ｂの線形結合として表せ。

Ａのほうはできたのですが、下のＢは全く分かりません。

分かるといえば、　ａ＝｛ａ(x) i + ｂ(y) j｝と表せるくらいなんです。

Ｂ
（１）ｃ＝（１４，１２）
（２）ｄ＝（－３，１）
（３）ｅ＝（１，１）

Aベストアンサー

こんにちは！
難しく考えないで、
＞分かるといえば、　ａ＝｛ａ(x) i + ｂ(y) j｝と表せるくらいなんです。
　　　　　　　　　　　　　　↑
このカタチにあらわしてみたらいいと思いますよ！
まず
＞（１）ｃ＝（１４，１２）

ｃ＝ia+jbとあらわしてみましょう。
(14,12)=i(1,3)+j(4,2)ということですから、それぞれの
ｘ成分、ｙ成分どうしを比べます。
14=i+4j
12=3i+2j
というi,jについての連立方程式を解くと
i=3,j=2とでてきます。このことは、
c=3a+2b　　　というかたちであらわせる、ということになります。

＞（２）ｄ＝（－３，１）

これも同様にしましょう。
d=ia+jbとおきましょう。すると、ベクトルの成分であらわすと
(-3,1)=i(1,3)+j(4,2)
となるので、それぞれ
-3=i+4j
1=3i+2j
となります。これらを解いて
i=1,j=-1
したがって、ベクトルｄは
d=a-b とかけることになります。

＞（３）ｅ＝（１，１）

これも同様に
e=ia+jb　とおきます。
(1,1)=i(1,3)+j(4,2)
1=i+4j
1=3i+2j
これを解いて
i=1/5,j=1/5
したがって、ベクトルeは
e=1/5*a+1/5*b とかけることになります。

こんにちは！
難しく考えないで、
＞分かるといえば、　ａ＝｛ａ(x) i + ｂ(y) j｝と表せるくらいなんです。
　　　　　　　　　　　　　　↑
このカタチにあらわしてみたらいいと思いますよ！
まず
＞（１）ｃ＝（１４，１２）

ｃ＝ia+jbとあらわしてみましょう。
(14,12)=i(1,3)+j(4,2)ということですから、それぞれの
ｘ成分、ｙ成分どうしを比べます。
14=i+4j
12=3i+2j
というi,jについての連立方程式を解くと
i=3,j=2とでてきます。このことは、
c=3a+2b　　　というかたちであらわせる、...続きを読む

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Q行列式の因数分解がとけません。

どうしてもわからないので最後の答えだけ（途中計算は答えのページに載ってないので。）を参照にしてやってみたのですが。
|a b c|
|a2 b2 c2|
|a3 b3 c3|
を因数分解せよという問題で、私は１列－２列、２列－３列、３列－１列をして、
abc|0 0 0 |
|a-b b-c c-a |
|a2-b2,b2-c2,c2-a2|



＝abc(a-b)(b-c)(c-a)｜0 0 0 |
|1 1 1 |
|a＋b b＋c c＋a |


として最後に残った行列式をサラスの法則で解けばできる！と思ってサラスをやってみたんですけど０になってしまいました。どうすればとけますか？ただ因数を作っていけばいい、と思ってやっただけじゃダメなんでしょうか？

Aベストアンサー

答えはabc(a-b)(b-c)(c-a)になると思います。

ちょっと自信なしですが、なにがマズイかというと、おそらく「私は１列－２列、２列－３列、３列－１列をして」を「同時に」行ったことが問題かと思われます。
極端な話、２次正方行列の行列式を求める際に、「1列－2列、2列－1列」を「同時に」行うと、すべての２次正方行列の行列式が0となってしまいます。

|{(a b c),(a^2 b^2 c^2),(a^3 b^3 c^3)}|
=abc*|{(1 1 1),(a b c),(a^2 b^2 c^2)}|
=abc*|{(1 0 0),(a b-a c-a),(a^2 b^2-a^2 c^2-a^2)}|
=abc*|{(b-a c-a),(b^2-a^2 c^2-a^2)}|
=abc(b-a)(c-a)*|{(1 1),(b+a c+a)}|
=abc(b-a)(c-a)*{(c+a)-(b+a)}

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Aベストアンサー

A^(n+1)=0としたとき逆行列はE+A+・・・＋A^nで与えられます。実際多項式の計算と同じです。

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Q行列の消去法のコツなど教えてください。

只今、学校にて行列を習っているわけですが、最近行列を使った消去法を習い始めました。

たとえば

３　　１　－７　　０
４　－１　－１　　５
１　－１　　２　　２

このような行列があったとします。
習った方法は、
(1)一つの行に０でない数をかける。
(2)一つの行にある数をかけたものを他の行に加える。
(3)二つの行を交換する。

１　　０　　０　　３
０　　１　　０　　５
０　　０　　１　　２
このような式に変形してx=3,y=5,z=2みたいな感じにするということでしたが、

今回教えていただきたいことは、
→1度に前述の3つの式を何回も使っていいのか。
→うまく変形するコツ。

の二つです。

やり方自体はなんとなくわかるのですが、単位行列に持っていくまでの手順がイマイチ難しくわからないので、よろしければご教授願います。

2月頭辺りからテストなのでズバリを突いて欲しいと思います。

よろしくお願いします。

Aベストアンサー

→1度に前述の3つの式を何回も使っていいのか。
何回でも使っていいです。１＋１＝２と１＋１＋１－１＋１－１＋１－１＝２が等価なのと同じことと思ってください。

→うまく変形するコツ。
”うまく”はないですけど、初心者向けの解法のコツみたいなものとして、参考までに。
(1)ｎ列目のｎ行を１にする。
(2)「ｎ列の他の行の数」を、(1)で作った１に－(「ｎ列の他の行の数」)をかけてたして０にする。
(3)単位行列になるまで(1)～(2)を繰り返す。
※ｎは１～行列の次数（2次正方とか3次正方とかの2，3）です。

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それについて詳しく書いてある本を教えてください。お願いします。

Aベストアンサー

　本じゃないですが、
http://www.junko-k.com/collo/collo185.htm
...は一つの手がかりになるかも知れません（参考文献を含む）。

　対角化不可能な場合に関しては、ちょっと考えが浮かばないですね。
　数学的には興味深い問題だと思います。

　ホンの露払いまで。

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