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A-E,A＋Eの正則行列の証明

締切済

  • 質問者：yuusuke600
  • 質問日時：
  • 回答数：1件

A,O,E,はn×nの正方行列
m
Ａ＝Oが成り立つとき（mは一次以上の整数）
（１）A-Eは正則行列である
（２）A＋Eも正則行列である
ことを証明せよ、という問題がわかりません。頭のいい方教えてください

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「計算 逆行列」に関するQ&A： 3×3の逆行列の計算について

A 回答 (1件)

No.1

  • 回答者： PRFRD
  • 回答日時：

　1/(1 - x) = 1 + x + x^2 + ...


という展開を見たことがあるかと思いますが，この行列版です．

(1) B = -(E + A + A^2 + ... + A^{m-1}) が A - E の逆行列です．
実際 (A - E) B を計算すると E になります．

(2) B = -(E - A + A^2 - ... + (-1)^{m-1} A^{m-1}) が A+E の逆行列です．
これも (A + E) B を計算すると E になります．

なお，証明からわかるように，ΣA^m が収束するなら A - E は正則です．
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Aベストアンサー

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Aベストアンサー

Ｘについては言ったのでもう繰り返さない

Ｚについて
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［Ｂ　Ａ］［ｂ　ａ］
［Ｄ　０］［ｄ　ｃ］
＝
［Ｉ　０］
［０　Ｉ］
よって
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Q正則であることを証明する問題です。

以下の問題ができませんでした。
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Aベストアンサー

もうすこし丁寧に説明します。

0!=1に注意すると、与式はΣ[k=0,∞]A^k/k!と書ける。

まず、この無限級数が行列環の中で任意の行列Aに対して絶対収束することを言わないといけない。一つの方法はJordan標準型を使う。(質問者がJordan標準型を知らない場合はこの段落を読み飛ばしてください。Jordan標準型とは対角化の概念の一つの一般化で、行列の冪の計算が簡単になります)
いまJをAのJordan標準型とすると、正則行列Pが存在して
A=P^(-1) J P
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だから、Nまでの部分和は
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次に、正則性。

f(A)=Σ[k=0,∞]A^k/k!とおく。
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f(A+B)=Σ[k=0,∞](A+B)^k/k!
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=(Σ[j=0,∞](A^j)/j!)×(Σ[h=0,∞](B^h)/h!)
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つまり、AB=BA ⇒ f(A+B)=f(A)f(B)
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いま、f(O)=Σ[k=0,∞]O^k/k!=I (k≧1の項は全てOになるので)
よりf(A)f(-A)=I

よってf(A)は可逆で逆元はf(-A)で与えられる。

もうすこし丁寧に説明します。

0!=1に注意すると、与式はΣ[k=0,∞]A^k/k!と書ける。

まず、この無限級数が行列環の中で任意の行列Aに対して絶対収束することを言わないといけない。一つの方法はJordan標準型を使う。(質問者がJordan標準型を知らない場合はこの段落を読み飛ばしてください。Jordan標準型とは対角化の概念の一つの一般化で、行列の冪の計算が簡単になります)
いまJをAのJordan標準型とすると、正則行列Pが存在して
A=P^(-1) J P
と書けている。さて、A^n=P^(-1) J P P^(-1) J P ・・・P^(-1) J P=P...続きを読む

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ａ＝（１，３）　，　ｂ＝（４，２）のとき、次のベクトルを、　ａ，ｂの線形結合として表せ。

Ａのほうはできたのですが、下のＢは全く分かりません。

分かるといえば、　ａ＝｛ａ(x) i + ｂ(y) j｝と表せるくらいなんです。

Ｂ
（１）ｃ＝（１４，１２）
（２）ｄ＝（－３，１）
（３）ｅ＝（１，１）

Aベストアンサー

こんにちは！
難しく考えないで、
＞分かるといえば、　ａ＝｛ａ(x) i + ｂ(y) j｝と表せるくらいなんです。
　　　　　　　　　　　　　　↑
このカタチにあらわしてみたらいいと思いますよ！
まず
＞（１）ｃ＝（１４，１２）

ｃ＝ia+jbとあらわしてみましょう。
(14,12)=i(1,3)+j(4,2)ということですから、それぞれの
ｘ成分、ｙ成分どうしを比べます。
14=i+4j
12=3i+2j
というi,jについての連立方程式を解くと
i=3,j=2とでてきます。このことは、
c=3a+2b　　　というかたちであらわせる、ということになります。

＞（２）ｄ＝（－３，１）

これも同様にしましょう。
d=ia+jbとおきましょう。すると、ベクトルの成分であらわすと
(-3,1)=i(1,3)+j(4,2)
となるので、それぞれ
-3=i+4j
1=3i+2j
となります。これらを解いて
i=1,j=-1
したがって、ベクトルｄは
d=a-b とかけることになります。

＞（３）ｅ＝（１，１）

これも同様に
e=ia+jb　とおきます。
(1,1)=i(1,3)+j(4,2)
1=i+4j
1=3i+2j
これを解いて
i=1/5,j=1/5
したがって、ベクトルeは
e=1/5*a+1/5*b とかけることになります。

こんにちは！
難しく考えないで、
＞分かるといえば、　ａ＝｛ａ(x) i + ｂ(y) j｝と表せるくらいなんです。
　　　　　　　　　　　　　　↑
このカタチにあらわしてみたらいいと思いますよ！
まず
＞（１）ｃ＝（１４，１２）

ｃ＝ia+jbとあらわしてみましょう。
(14,12)=i(1,3)+j(4,2)ということですから、それぞれの
ｘ成分、ｙ成分どうしを比べます。
14=i+4j
12=3i+2j
というi,jについての連立方程式を解くと
i=3,j=2とでてきます。このことは、
c=3a+2b　　　というかたちであらわせる、...続きを読む

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Q行列式の因数分解がとけません。

どうしてもわからないので最後の答えだけ（途中計算は答えのページに載ってないので。）を参照にしてやってみたのですが。
|a b c|
|a2 b2 c2|
|a3 b3 c3|
を因数分解せよという問題で、私は１列－２列、２列－３列、３列－１列をして、
abc|0 0 0 |
|a-b b-c c-a |
|a2-b2,b2-c2,c2-a2|



＝abc(a-b)(b-c)(c-a)｜0 0 0 |
|1 1 1 |
|a＋b b＋c c＋a |


として最後に残った行列式をサラスの法則で解けばできる！と思ってサラスをやってみたんですけど０になってしまいました。どうすればとけますか？ただ因数を作っていけばいい、と思ってやっただけじゃダメなんでしょうか？

Aベストアンサー

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極端な話、２次正方行列の行列式を求める際に、「1列－2列、2列－1列」を「同時に」行うと、すべての２次正方行列の行列式が0となってしまいます。

|{(a b c),(a^2 b^2 c^2),(a^3 b^3 c^3)}|
=abc*|{(1 1 1),(a b c),(a^2 b^2 c^2)}|
=abc*|{(1 0 0),(a b-a c-a),(a^2 b^2-a^2 c^2-a^2)}|
=abc*|{(b-a c-a),(b^2-a^2 c^2-a^2)}|
=abc(b-a)(c-a)*|{(1 1),(b+a c+a)}|
=abc(b-a)(c-a)*{(c+a)-(b+a)}

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只今、学校にて行列を習っているわけですが、最近行列を使った消去法を習い始めました。

たとえば

３　　１　－７　　０
４　－１　－１　　５
１　－１　　２　　２

このような行列があったとします。
習った方法は、
(1)一つの行に０でない数をかける。
(2)一つの行にある数をかけたものを他の行に加える。
(3)二つの行を交換する。

１　　０　　０　　３
０　　１　　０　　５
０　　０　　１　　２
このような式に変形してx=3,y=5,z=2みたいな感じにするということでしたが、

今回教えていただきたいことは、
→1度に前述の3つの式を何回も使っていいのか。
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2月頭辺りからテストなのでズバリを突いて欲しいと思います。

よろしくお願いします。

Aベストアンサー

→1度に前述の3つの式を何回も使っていいのか。
何回でも使っていいです。１＋１＝２と１＋１＋１－１＋１－１＋１－１＝２が等価なのと同じことと思ってください。

→うまく変形するコツ。
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(1)ｎ列目のｎ行を１にする。
(2)「ｎ列の他の行の数」を、(1)で作った１に－(「ｎ列の他の行の数」)をかけてたして０にする。
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Aベストアンサー

　本じゃないですが、
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...は一つの手がかりになるかも知れません（参考文献を含む）。

　対角化不可能な場合に関しては、ちょっと考えが浮かばないですね。
　数学的には興味深い問題だと思います。

　ホンの露払いまで。

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