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2平面の交線と、それを含む平面の方程式について質問です。

よろしくお願いします。

「2平面の交線と原点を含む平面の方程式」の質問画像
gooドクター

A 回答 (2件)

交線を通る平面の式:


h(2x-y+√2z-4a)+k(-2x+y+2√7z-6a)=0
(h,kは同時に0とならない任意定数)
この平面が原点を通るので(x,y)=(0,0,0)を代入してkを求めれば良い。
-4ah-6ak=0
a(2h+3k)=0
a=0 or 3k=-2h(≠0)

a=0の場合
2つの方程式は共に原点(0,0,0)を通るので交線も原点を通る。
h,kを同時にゼロにならない任意の定数とすると
平面:h(2x-y+√2z)+k(-2x+y+2√7z)=0
が条件を満たす。

a≠0の場合
3k=-2h(≠0)
3h(2x-y+√2z-4a)-2h(-2x+y+2√7z-6a)=0
hで割り簡単にして
平面:10x-5y+(3√2-4√7)z=0
が条件を満たす。

合っていると思いますが、自分で検証してみて下さい。
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P1,P2の平面の方程式を足し合わせて


(√2+2√7)z=10a
z=(10a)/(√2+2√7)
これをP1の方程式に代入して
y=2x+(-4+(10√2)/(√2+2√7))a
なので、交線の方程式は2つの方程式で表され
y=2x+(-4+(10√2)/(√2+2√7))a
z=(10a)/(√2+2√7)
となります
求める方程式は原点を通るので、(0,0,0)を代入したときに等号が成り立つ必要があります。よって
bx+cy+dz=0
の形になります
この方程式のzに上で求めたzの値を代入するとy=2x+(-4+(10√2)/(√2+2√7))aと等しい式になるはずなので、
c=-1
b=2
(10ad)/(√2+2√7)=(-4+(10√2)/(√2+2√7))a
が得られます
3つ目の式から
10d=-4(√2+2√7)+10√2
d=(-2(√2+2√7))/5+√2
d=(3√2-4√7)/5
よって求める方程式は
2x-y+((3√2-4√7)/5)z=0
となります
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