正則関数において，各値が一定の曲線群が直交することの証明

z=re^(iθ)の正則関数をw(z)=u(r,θ)+iv(r,θ)とする．
このとき，uv平面上の曲線群
　C_1:r=（一定），C_2:θ=(一定）
は交点wで互いに直交することを示せ．
ただし，交点でw'(z)≠0すなわちwは臨界点ではないものとする．

この問題の前の問題として
z=x+iy,w(z)=u(x,y)+iv(x,y),C_1:u=（一定），C_2:v=(一定）,交点z
と設定した問題があったのですが，
コーシーリーマンの条件を用いて
法線方向のベクトルの内積が0となることを示して解きました．
極座標になったとたんにわからなくなってしまいました．

よろしくお願いします．

No.1 ベストアンサー 回答者： rabbit_cat 回答日時： 2009/05/10 12:25

最初なんのことかよく分からなかったけど、

＞uv平面上の曲線群
＞　C_1:r=（一定），C_2:θ=(一定）
ていうのは、
＞uv平面上の曲線群
＞ C_1:w(re^(iθ))　ただし、r=（一定）
＞ C_2:w(re^(iθ))　ただし、θ=(一定）
ていうことでよいですか？

真面目にやってもいいんですが、
Ｃ２：re^(iθ) : r=（一定）
Ｃ３：re^(iθ) : θ=（一定）
ていう２つの曲線が直交するのは明らかなんで、
あとは、正則関数は等角写像ってことを証明する、ていう手もあります。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%AD%89%E8%A7%92% …

この回答への補足

＞最初なんのことかよく分からなかったけど、
＞＞uv平面上の曲線群
＞＞　C_1:r=（一定），C_2:θ=(一定）
ていうのは、
＞＞uv平面上の曲線群
＞＞ C_1:w(re^(iθ))　ただし、r=（一定）
＞＞ C_2:w(re^(iθ))　ただし、θ=(一定）
＞ていうことでよいですか？

わかりにくかったですね，ごめんなさい．
その解釈で正しいです．

補足日時：2009/05/14 14:31

この回答へのお礼

このやり方は思いつきませんでした．
ありがとうございました．

お礼日時：2009/05/14 14:46