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最大公約数が4になる2つの数の組を、5から20の中で全て求めなさい。

この問題の回答・解説を小学校6年生くらいが理解できる説明の仕方で教えてください。

A 回答 (4件)

こんばんは。



【1】(同じ数同士)
まず、同じ数同士のペアは、その数が最大公約数になるので、ダメでです。
ただし、4と4のペアだけは大丈夫です。


【2】(違う数同士)
最大公約数が4なので、2つの数は、どちらも4という約数がなくてはいけません。
ですから、5~20 の中で候補になるのは、
4、8、12、16、20 の5個です。

4 = 4×1
8 = 4×2
12 = 4×3
16 = 4×4 = 4×2×2
20 = 4×5

ここで、8と16には、4×2(=8)があるので、
8と16の最大公約数は8になってしまいます。
しかし、このほかには最大公約数が4でなくなってしまう組み合わせはありません。



【1】と【2】を踏まえ、

4,4 (←OK)
4,8
4,12
4,16
4,20
8,8 ← ダメ(同じもの同士、最大公約数は8)
8,12
8,16 ← ダメ(最大公約数は8)
8,20
12,12 ←ダメ(同じもの同士、最大公約数は12)
12,16
・・・・・


こんな説明でよいですか?
ご参考になりましたら。
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No.2の回答者です。


すみません。ミスしました。
5~20 なので、4はダメですね。

以下、訂正版です。

----------------------------------------------
【1】(同じ数同士)
まず、同じ数同士のペアは、その数が最大公約数になるので、ダメでです。

【2】(違う数同士)
最大公約数が4なので、2つの数は、どちらも4という約数がなくてはいけません。
ですから、5~20 の中で候補になるのは、
8、12、16、20 の5個です。

8 = 4×2
12 = 4×3
16 = 4×4 = 4×2×2
20 = 4×5

ここで、8と16には、4×2(=8)があるので、
8と16の最大公約数は8になってしまいます。
しかし、このほかには最大公約数が4でなくなってしまう組み合わせはありません。



【1】と【2】を踏まえ、

8,8 ← ダメ(同じもの同士、最大公約数は8)
8,12
8,16 ← ダメ(最大公約数は8)
8,20
12,12 ←ダメ(同じもの同士、最大公約数は12)
12,16
12,20
16,16 ←ダメ(同じもの同士、最大公約数は16)
16,20
20,20 ←ダメ(同じもの同士、最大公約数は20)
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約数に4をもつということは、その数字は4で割り切れる、つまり4の倍数ですね?


5~20の中で、4の倍数は「8,12,16,20」です。

次いで、これらの数字が4以外のどの数字を約数に持つか調べるために4で割ると、順に「2,3,4,5」になります。

この数字の中で互いに1を除く共通の約数を持たないものは
「2と3or5」、「3と5」、「4と3or5」
になります。

なので、求める組は上記の組の数字を元に戻して「8,12」,「8,20」「12,20」「16,12」「16,20」となります。
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その「2つの数」は、どちらも4を約数に持つのだから、


5~20の範囲の4の倍数 { 8, 12, 16, 20 } の中から選べばよい。
4個の中から2個組を選ぶ組み合わせは6通りで、
全ての組について最大公約数を求めてみても、大した手間ではない。
{ 8, 12, 16, 20 } の各数を素因数分解すれば、より整然としている。
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