もともと,物理のバネマス系の他粒子の振動における,基準振動の固有角振動数を求める際にでてきた式です.

w^2*a_n = k(2*a_n - a_n-1 -a_n+1)

つまり,
a_n+1 + (w^2/k - 2)*a_n + a_n-1 = 0

という3項間漸化式の一般項a_nの導出方法がわかりません.
どなたかわかる方,よろしくお願いします.

A 回答 (1件)

(w^2/k - 2)=pとおくと元の式は


a_n+1 + p*a_n + a_n-1=0
一般に2階の漸化式
c*a_n+2 + d*a_n+1 +e*a_n=0
の一般項は
2次方程式cx^2+dx+e=0
の根α、βを用いて
a_n=g*α^n+h*β^n
で与えられる。
定数h,gは初期条件としてのa_1、a_2の値から決まる。
QED
α=(-p-(p^2-4)^.5)/2, β==(-p+(p^2-4)^.5)/2

この回答への補足

なるほど.そのような求め方があるのですね.
ありがとうございます.

しかし,僕の質問が言葉足らでしたので,少し補足させていただきます.

今回,0からN+1項までの数列を考え
a_0 = 0
a_N+1 = 0
という条件があります.

教科書で,
「 a_n = a*sin(nα+φ)
  w^2 = 2k(1-cosα)
が,w^2*a_n = k(2*a_n - a_n-1 -a_n+1)を満たすことは代入して確かめられる.」
と記述してあります.
このa_nおよびw^2はどうやって求めたらいいのかわからなかったのですが・・・
どうしたら導出できるのか,わかりますか?
ささいなことでも,何かわかることがあったら,教えていただけると大変嬉しいです.

補足日時:2009/05/12 13:06
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