こんばんは

下記の円順列の問題ですが

2人の先生と4人の生徒が手をつないで輪をつくるとき、先生同士が向かい合う並び方は何通りあるか。

そして解答はこれ

先生同士が向かい合う場合 求める並び方は4!=24通り
(先生同士が向かい合うとき、残りの生徒は円順列にならないから)


と書いてあります。
なぜ向かい合うと円順列にならないのか?
向かい合う先生同士の位置が入れ替わる場合は考えなくていいのか?

説明していただけたら助かります。

A 回答 (1件)

>なぜ向かい合うと円順列にならないのか?



6人全員が生徒だとすると、例えば
 A B
F   C
 E D

 F A
E   B
 D C
は位置を一つずらしただけなので同じとみなす。同様にずらしていくと
位置がずれただけのものが5つできるので、6!/6(=5!) とするのが円順列の普通の考え方。

でも、これは「Aの位置を固定して、残り5人の並べ方を求める」とも解釈できる。固定したのだから、ずらす必要はないが、一つ固定したので一つ減って 5!

つまり「一人(ひとつ)を固定して考えると、円順列を普通の順列とみなすことができる。」

さて本題。
これも同様で、「先生が向かい合っているから円順列ではない」というよりは、「先生を固定して考えると普通の順列とみなせる」ということ。だから5!といいたいところだけど、もう一人の先生の位置も一意に定まるので、もう一つ減らして4!

>向かい合う先生同士の位置が入れ替わる場合は考えなくていいのか?

解釈1:固定したのだから入れ替えを考える必要はない。
解釈2:
 生徒EFの代わりに先生甲乙を入れるとすると、
 A B
甲   乙
 D C
の位置を入れ替えた
 A B
乙   甲
 D C
は、4!の中にある
 C D
甲   乙
 B A
で表現ずみ。

いずれの解釈にせよ、入れ替えを考える必要はない。
    • good
    • 3
この回答へのお礼

なるほど。 4!の中にすでに入れ替えた場合の組み合わせがあるのですね。わかりやすかったです。
ありがとうございました。

お礼日時:2009/05/12 13:50

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Q「KOUKADAIの8文字から作られる順列を考える。同じ文字が隣り合わない順列は何通りあるか。」

「KOUKADAIの8文字から作られる順列を考える。同じ文字が隣り合わない順列は何通りあるか。」

という問題で、まず先にOUDIを並べて(4!通り)、文字と文字のスキマ5つから2つAを入れる場所をとって(C(5,2)通り)、最後に文字のスキマ7個からKを入れるための場所を考え(C(7,2)通り)、4!×C(5,2)×C(7,2)=5040としたのですが、答えが合いません。どこがおかしいのか理解できないので教えてください。

Aベストアンサー

数え落としなく、全ての場合を数え上げるって、けっこう難しいのですよね。私もよく間違えます。
泥臭く数えるしかないのでしょうね。

 この場合には、ます、8文字から作られる全ての順列は 8! 通り。

 そのうち、「K が隣り合う」もの「7! × 2」通り(「KK」を1つの文字とみなした7文字の並べ方で、Kの並べ方が2通りで2倍)、「A が隣り合う」もの「7! × 2」通り(同様)を差し引く。
 ところが厄介なのは、これだと「K が隣り合うもの」と「A が隣り合うもの」の両方を含む場合をダブルカウントしていることになります。
 ということで、「KK」を1つの文字、「AA」を1つの文字とみなした6文字の並べ方「6! × 2 × 2」は、2回差引いたことになるので、1回分を戻しましょう。

 結果、
  8! - 7! × 4 + 6! × 4 = 23040
かな?


 質問者さんのやり方では
・「Aを入れる場所」は、「Kが2つ並んでいないKOUDIK」の順列の両端とスキマもある
・「Aを入れる場所」は、「KとKの間」もある(そうすればKどうしは並ばない)
が抜けています。

数え落としなく、全ての場合を数え上げるって、けっこう難しいのですよね。私もよく間違えます。
泥臭く数えるしかないのでしょうね。

 この場合には、ます、8文字から作られる全ての順列は 8! 通り。

 そのうち、「K が隣り合う」もの「7! × 2」通り(「KK」を1つの文字とみなした7文字の並べ方で、Kの並べ方が2通りで2倍)、「A が隣り合う」もの「7! × 2」通り(同様)を差し引く。
 ところが厄介なのは、これだと「K が隣り合うもの」と「A が隣り合うもの」の両方を含む場合をダブルカウントしているこ...続きを読む

Q円順列の並び方

ちょっと分からない所があります。
(問)
大人二人と子供4人が円卓を囲む時(円になるとき)
(1)大人二人が向いあうような並び方は何通りあるか?

大人二人を固定して考えると残りの4つの位置に子供4人が並ぶ順列で
4p4=24となっています。

がどうして大人二人の並び方を一つに固定化しているのでしょう?
6つ席があるんだから大人二人が向かい合うケースは3通り。
それぞれにつき二人の中で並び方が2p2あるので
3×2p2=6
でそれぞれに子供が4p4なので6×24=144になるのでは?と
思います。
大人の並び方を何故ひと組で固定していいのか?
数え残しはないのか?不安になります
よろしくお願いします

Aベストアンサー

円順列は回転して同じものは一種類と考えます。
つまりABCDEFとBCDEFAは同じです。
なので最初に大人が向かい合う場所を1と4の席と決めてしまって考えてよいことになります。

Q組み合わせが何通りあるか

昔学んだ順列組み合わせの知識をふりしぼっても解けないのでよろしくお教えください。

赤玉2個、白玉2個、緑玉2個がある。
x、y、zの3人でこの玉を2個ずつ分けるとき、その組み合わせは何通りあるか。

どのように考えたらよいでしょうか。

Aベストアンサー

#1です。訂正再回答します。
(ア)3人全員に同色の玉を2個ずつ分ける分け方:3!=6通り。
(イ)1人に同色の玉、他の2人には異なる色の玉を1個ずつ
分ける分け方:3*3=9通り。
(ウ)3人全員に異なる色の玉を1個ずつ分ける分け方:3!=6通り。
以上合計21通り。・・・答

Q同じものを含む円順列と数珠順列

「赤玉2個、青玉2個、黄色玉2個を円形に並べる並べ方は?」

という問題は、理解できました。

「赤1個を固定して、残り5個の順列を考えると、30通り。

そのうち、

固定した赤玉と同じ赤玉がもう1個あるあから、回すと自分自身と一致するもの(円の中心に関して対象なもの)を考えて…2通り。

残りの28個は、回すと同じになるペアがあるから、28÷2=14個。

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ここまで理解するのにいっぱいいっぱいで…><


考えながら生まれた疑問…

もし、この円形の問題を、さらに輪にした場合はどうなりますか?

誰か教えてください。。。

よろしくお願いします。

Aベストアンサー

数珠順列の場合は、左右対称になるものを探します。

赤青青赤黄黄のパターンが3通り
赤青黄赤黄青のパターンが3通り
計6通りが左右対称になり、残り10通りは左右対称にならないので裏返すと同じになるペアがあるから2で割って、
6+10/2=11通りが答えとなります。

Q何通り?

今日数学のテストで何通りか求める問題がよく分かりませんでした。

問題は
「上段に1,2,3の番号、中段に4,5,6の番号、下段に7,8,9の
番号がついている9人分のロッカーがある。3人がこのロッカーを
1つずつ使用する。その方法は全部で何通りあるか。」

この問題で僕は9C3かなと思ったのですが、
クラスの秀才くんは9P3だと言っていて、どちらかよく分かりません。

9P3だとロッカーを使う3人が区別できないから3!で割るのでは
ないかと思ってるのですがそれも間違いでしょうか。

解き方が分かる方、教えてください。
*Pは順列、Cは組み合わせのことです。

Aベストアンサー

こんばんは。

No.1のお方がおっしゃるとおり、人間は1人1人区別するのが普通です。

しかし、それ以前に、
「ロッカーを1つずつ使う」というのは、常識的には
「どのロッカーをどの人が使うか?」ということを示します。

屁理屈をこねれば、
9つのロッカーのうちの6つをふさいで、
朝早く来た順番に、早い者勝ちで、3つのうちのどのロッカーを使うかが決められる、
という状況もあるでしょう。
そうであれば、ふさがれないロッカー3つの選び方は、
9C3 ( = 9P3÷3! )
です。

しかし、それは常識的ではないので、
3つのロッカーそれぞれを使う人が決まる 9P3 が正解となります。


以上、ご参考になりましたら。

Q数学Aの問題(順列&円順列&組み合わせ&二項定理)

問題数がとても多いですが、宜しくお願い致します。

****************************************************************
【I】 次の問いに答えよ.
(1) 540の正の約数(1および540を含める)の個数はいくつあるか.
(2) 千円札,二千円札,五千円札を用いて一万二千円を支払う.
支払う紙幣の枚数の違いによる支払い方法は何通りあるか.
  ただし、各紙幣は、使わない札があってもよく、また、何枚使ってもよいものとする.

【II】 赤球1個,白球3個,青球5個,合計9個の球がある.
(1) 9個すべてをテーブル上で円形に並べる並べ方は全部で何通りか.
(2) 白球どうしが隣り合わないよう9個すべてをテーブル上で円形に並べる並べ方は全部で何通りあるか.
(3) 9個のうち7個を選んでテーブル上に円形に並べる並べ方は全部で何通りあるか.

【III】 0と書かれたカードが3枚,1と書かれたカードが2枚,2と書かれたカードが1枚,3と書かれたカードが1枚,計7枚のカードがある.
  それらを並べて整数をつくる.ただし、1度使ったカードは再び使わないものとする.
(1) 7桁の整数は全部で何通りあるか.
(2) 7桁の整数で偶数であるものは全部で何通りあるか.

【IV】 a+b+c+d=8を満たす自然数(a,b,c,d)の組の総数は全部で何通りあるか.
****************************************************************

I、IIの(3)、III、IVはどの様にして考えて解いたらよいのかがわかりません。
IIの(1)と(2)は途中までは考えられたのでココに記載しておきます。

まず(1)ですが、そもそも同種類のものが何個もあるので、
それぞれの種類の球を円に並べた時の“通り”をかけて考えれば良いのでしょうか?
この様にして解くと…
赤玉は1個なので1通り
白玉 (3-1)!通り
青球 (5-1)!通り
となり、よって、1×6×24となるため、答えは144通り。
…しかし、実際の答えは3桁ではなく2桁です。
この考えが間違っているのでしょうか?

次に(2)です。
白球が隣り合わないようにということなので、
まず赤球と青球を先にテーブル上に並べてしまう。
そして、白玉を入れられるところは、赤玉と青球の間となるので、
6ヶ所になる。
よって、6C3となり、答えは20通り。
一応、この様に解けましたが、合っているか心配だったので記載しました。

長々となってしまいましたが、
参考書などを参考にしても解らなかったので、詳しく解説をしていただけると嬉しいです。

(※解くコツのみでも良いのでお願いします。)

問題数がとても多いですが、宜しくお願い致します。

****************************************************************
【I】 次の問いに答えよ.
(1) 540の正の約数(1および540を含める)の個数はいくつあるか.
(2) 千円札,二千円札,五千円札を用いて一万二千円を支払う.
支払う紙幣の枚数の違いによる支払い方法は何通りあるか.
  ただし、各紙幣は、使わない札があってもよく、また、何枚使ってもよいものとする.

【II】 赤球1個,白球3個,青球5個,合計9個の球がある.
(1) 9個すべて...続きを読む

Aベストアンサー

【I】-(1)
540を素因数分解すると、
540=2^2×3^3×5^1
2が2個、3が3個、5が1個の中から任意に選んで掛け合わせた数が約数になります。選ばない場合もあるから、
3×4×2=24

【I】-(2)
この問題は、総当りで調べるしかないでしょうね。
12,0,0
10,1,0
8,2,0
7,0,1
6,3,0
5,1,1
4,4,0
3,2,1
2,5,0
2,0,2
1,3,1
0,6,0
0,1,2
の13通り

【II】-(1)
赤球が1個しかないのだから、赤球の位置を決めてしまえば、白球3個,青球5個の並べ方の数と同じです。
8C3=56

【II】-(2)
書かれている考え方で合ってますが、始めの赤球と青球を並べる並べ方が1通りしかないことも書いておく必要があります。
6C3=20

【II】-(3)
始めに7個の組合せを考えます。
赤球1個,白球3個,青球3個
赤球1個,白球2個,青球4個
赤球1個,白球1個,青球5個
赤球0個,白球3個,青球4個
赤球0個,白球2個,青球5個
の5通り。
始めの3つの並べ方は(1)と同じ考え方で、
6C3=20
6C2=15
6C1=6
4番目の並べ方は、白球3個が隣り合う場合、白球2個だけが隣り合う場合、白球が隣り合わない場合、に分けて考えます。
白球3個が隣り合う場合は、1通り
白球2個だけが隣り合う場合は、隣り合わない1個の位置を決めれば、5C1=5
白球が隣り合わない場合は、1通り
5番目の並べ方は、白球2個の位置関係を見れば、隣り合っているか、1つ離れているか、2つ離れているかの3通り
以上から、
20+15+6+7+3=51

【III】-(1)
7枚のカードの並べ方の数は、
7!/(3!2!)=420
そのうち、1番目が0である並べ方の数は、
6!/(2!2!)=180
以上から、
420-180=240

【III】-(2)
(1)と同じ考えかたで、7番目が0の場合と2の場合に分けて考えます。
7番目が0の場合、残り6枚のカードの並べ方の数は、
6!/(2!2!)=180
そのうち、1番目が0である並べ方の数は、
5!/2!=60
7番目が2の場合、残り6枚のカードの並べ方の数は、
6!/(3!2!)=60
そのうち、1番目が0である並べ方の数は、
5!/(2!2!)=30
以上から、
(180-60)+(60-30)=150

【IV】
(a-1)+(b-1)+(c-1)+(d-1)=4
とすれば、4つのものから4つを選ぶ重複組合せです。
4H4=7C4=35

【I】-(1)
540を素因数分解すると、
540=2^2×3^3×5^1
2が2個、3が3個、5が1個の中から任意に選んで掛け合わせた数が約数になります。選ばない場合もあるから、
3×4×2=24

【I】-(2)
この問題は、総当りで調べるしかないでしょうね。
12,0,0
10,1,0
8,2,0
7,0,1
6,3,0
5,1,1
4,4,0
3,2,1
2,5,0
2,0,2
1,3,1
0,6,0
0,1,2
の13通り

【II】-(1)
赤球が1個しかないのだから、赤球の位置を決めてしまえば、白球3個,青球5個の並べ方の数と同じです。
8C3=56

【II】-(2)
書かれてい...続きを読む

Q6bitのうち、3bitが1になるのは何通りあるでしょうか?

6bitのうち、3bitが1になるのは何通りあるでしょうか?
(6bitなので0-63のうち何通りかです)
例として、
000111
111000
101010
が該当すると思います。
(地道に数えたら20通りありました)

プログラムではなく計算式で出したいです。

さらに一般化して、Xbit中Ybitが立つのは何通りあるか。
も出せると非常に助かります。

よろしくお願い致します。

Aベストアンサー

「0」3つと「1」3つ、あわせて6つの数字の並び替えが何通りあるのか考えると
6!になります。
ただこのなかには同じ並び替えが含まれているので(0と0を入れ替えるなど)
そのぶんを割ります。
どのくらいダブっているのかというと
「0」3つの並び替えの3!
「1」3つの並び替えの3!
あわせて3!x3!です。

よって答えは6!/3!x3!、確かに20です。
6!/3!x3!は6x5x4/3x2x1でもあるのでこれは6C3です。
記号C:コンビネーションについて詳しくはリンク先などを参照ください。

>さらに一般化して、xbit中ybitが立つのは何通りあるか。
同じように考えて xCy です。

参考URL:http://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%B5%84%E5%90%88%E3%81%9B_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)

Q10円玉3枚、100円玉7枚、500円玉3枚使って支払うことができる金額は何通りあるか?

10円玉3枚、100円玉7枚、500円玉3枚使って支払うことができる金額は何通りあるか?
という問題で、どうして(3+1)(7+1)(3+1)-1で、答えを出すと、バツなんですか?
ちなみに答えは91です。

やり方を教えてください。

Aベストアンサー

こんばんは。

百円玉5枚 ⇔ 五百円玉1枚
という両替ができる場合は重複しますので、差し引かないといけません。

両替できる場合とは・・・
A 百円玉5~7枚で、かつ、五百円玉0~2枚
B 百円玉0~2枚で、かつ、五百円玉1~3枚
Aを両替すると、百円玉2~7枚、五百円玉1~3枚 つまり、Bになりますから、
重複部分として差し引くのは、AかBのいずれか一方です。

ゼロ円も含めて何通りあるかを計算すると、
(3+1)(7+1)(3+1) - Aの場合
 = 4・8・4 - 4・3・3
 = 128 - 36
 = 92通り

ゼロ円を含めないとすれば、仕上げに1を引いて
92 - 1 = 91通り

ご参考になりましたら幸いです。

Q30個~50個以内の数字から10個ほど選んで、それらが何通りあり、その

30個~50個以内の数字から10個ほど選んで、それらが何通りあり、その何通りかの全ての数字羅列を表示してくれるフリーソフトってありますか?
あるなら、どんなものか教えて欲しいです。

Aベストアンサー

一般的にはフリーソフトでは無理。

30個~50個以内の数字というから,50個まで考えないといけない。それだと,1.03*10^10通りの組になる。うまく計算ができたとして,ディスプレイに出力するのにどれほどの時間がかかるか。毎秒1万個出力して,12日くらいかかりそうだ。もっと速く出力できるだろうか。30個~50個以内の数字のそれぞれの桁数の指定が無いので,Cなどのプログラムで扱う整数の10桁の数字まで扱うとすれば,1つの組合せは,100桁になる。これだとそんなに速くはできまい。また,これを文字列で扱うと,全部記憶装置に保持すれば,1TB以上必要になる。それくらいのHDDはいまどき珍しくも無いので,これは出来るが,これを読み書きするだけでも50時間くらいはかかるだろう。また,1つの組合せを得たら,すぐに出力して,記憶装置に保持しなければメモリだけで足りるだろうが,1度ディスプレイに表示するだけで,なくなってしまう。これを,印刷しておこうとすれば,軽く1000日は超えるだろうし,紙もA4で,1ページに100個出力すると,1億ページも必要になる。(任意精度演算なら,記憶装置容量はいくらか少なくなるかもしれないが,本質的には変わりない)
せいぜい,最低の2桁までの数字を拾うだけとしても,似たようなものだろう。印刷は別にして,このくらいの量だと全くできないわけでもなさそうだが,ほとんど実用的ではないし,一般的でもない。非常に特殊な目的に使うものなら,ソフトとしての需要は少ないから,フリーソフトで公開する人がいるだろうか。
まして,順列を考えるなら,ディスプレイ出力で1万年,印刷では,100万年以上はかかりそうだ。

自分でつくるか。

一般的にはフリーソフトでは無理。

30個~50個以内の数字というから,50個まで考えないといけない。それだと,1.03*10^10通りの組になる。うまく計算ができたとして,ディスプレイに出力するのにどれほどの時間がかかるか。毎秒1万個出力して,12日くらいかかりそうだ。もっと速く出力できるだろうか。30個~50個以内の数字のそれぞれの桁数の指定が無いので,Cなどのプログラムで扱う整数の10桁の数字まで扱うとすれば,1つの組合せは,100桁になる。これだとそんなに速くはできまい。また,これを文字列で扱う...続きを読む

Qモンモール問題、完全順列、攪乱順列の拡張

モンモール問題、完全順列、攪乱順列で検索するといろいろな言い回しがあります。

1,2,3,・・・,n の数を並び替えたとき、先頭から数えた順番と数が一致するものが1つもない並べ方

n人がプレゼントをもちよって、バラバラに交換したとき、1人も自分自身の用意したプレゼントをもらわない方法

写像f:{1,2,…,n}→{1,2,…,n}ただし、単射かつ∀i∈{1,2,…,n},f(i)≠i
の総数

これらの場合の数は、n!Σ[k=0,n]{(-1)^k}/k!であることはよく知られています。

そこで、拡張として次の総数を考えるとどうなるのでしょうか?

n≦mとする。
写像f:{1,2,…,n}→{1,2,…,m}ただし、単射かつ∀i∈{1,2,…,n},f(i)≠i
の総数

たとえば、n=3,m=4のとき、
(f(1),f(2),f(3))=(2,1,4),(2,3,1),(2,3,4),(3,1,2),(3,1,4),(3,4,1),(3,4,2),(4,1,2),(4,3,1),(4,3,2)

Aベストアンサー

>n≦mとする。
>写像f:{1,2,…,n}→{1,2,…,m}ただし、単射かつ∀i∈{1,2,…,n},f(i)≠i
>の総数

求める写像の総数を S(n,m) とする。包除原理より、
S(n,m)
=Σ[k=0,n]{comb(n,k)*((-1)^k)*comb(m-k,n-k)*(n-k)!}
=(n!)*Σ[k=0,n]{((-1)^k)*(m-k)!/((m-n)!*(n-k)!*k!)}. (答)

計算例:
S(3,4)=11,
S(5,9)=8544,
S(11,14)=6581134823.


>たとえば、n=3,m=4のとき、
>(f(1),f(2),f(3))=(2,1,4),(2,3,1),(2,3,4),(3,1,2),(3,1,4),(3,4,1),(3,4,2),(4,1,2),
>(4,3,1),(4,3,2)

上記の10個の写像に加え、
(f(1),f(2),f(3))=(2,4,1)も条件をみたす写像。


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