極限値を求める問題です。

分子 A=(x-1)^(1/2) - (x-5)^(1/2)
分母 B=(x+1)^(1/2) - (x-2)^(1/2) とする。
x→無限大  のとき
lim(A/B)を求めなさい。

という出題がありました。
答えは 4/3 だそうです。

導出が分かる方、お願いします。

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A 回答 (2件)

一筋縄ではいきませんが、基本は無理式の有理化です。




lim[x→∞] (A/B)
= {√(x-1)-√(x-5)}{√(x+1)+√(x-2)}
 -------------------------------------
  {√(x+1)-√(x-2)}{√(x+1)+√(x-2)}
lim[x→∞]

 ※ 分母分子に、{√(x+1)+√(x-2)}をかけた。


= {√(x-1)-√(x-5)}{√(x+1)+√(x-2)}
 -------------------------------------
  3
lim[x→∞]

 ※ 分母が、3になった。


= {√(x-1)-√(x-5)}{√(x-1)+√(x-5)}{√(x+1)+√(x-2)}
 -----------------------------------------------------
 3{√(x-1)+√(x-5)}
lim[x→∞]

 ※ 分母分子に{√(x-1)+√(x-5)} をかけた。


= 4{√(x+1)+√(x-2)}
 --------------------
 3{√(x-1)+√(x-5)}
lim[x→∞]

 ※ 分子の前2項を計算して4になった。


= 4{√(1+1/x)+√(1-2/x)}
 -----------------------
 3{√(1-1/x)+√(1-5/x)}
lim[x→∞]

 ※ 分母分子を、√xで割った。


=4/3
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この回答へのお礼

早速のご回答、ありがとうございました。

じつは、分母の有理化まではやってみたのですが、
分子も有理化するところに考えが至りませんでした。

大変ありがとうございました。

お礼日時:2009/05/13 00:22

有理化かと

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この回答へのお礼

ご回答ありがとうございました。

ご指摘の通り、キーワードは「有理化」でした。
分母・分子ともに有理化を試みるのがミソだったのですね。

自力では浮かびませんでした。ありがとうございました。

お礼日時:2009/05/13 00:27

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