ユニタリー演算子Uをエルミート演算子Gを用いて
U = exp[iaG] (i:虚数,a:実定数)
と表し、ある演算子Aが
UAU^† = A
を満たすとき、交換関係
[G,A] = 0
が成り立つそうなのですが、どう証明したらよいかがわかりません。

何かヒントをいただけたらと思います。よろしくお願いします。

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A 回答 (5件)

No.2です。


(2)式は
ia[G,A]+(aの二次以上の項) = 0
と書けますが、左辺はaのべき級数なのでこれが恒等的に0になるためには
aの各次数の係数がすべて0である必要があります。たとえばa^2の係数
-(1/2)((G^2)A+A(G^2))+GAG = 0
です。
この問題できかれているのがaの一次の係数に含まれる[G,A]の値だけなので、
aの二次以上については言及する必要はないと思いますが上記のように各次数
の係数はすべて0になってます。
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この回答へのお礼

あ、勘違いしてました。
(I+iaG+…)A(I-iaG+…) = A+ia[G,A]+… = A
は「成り立つはず」なんですよね。最後の等号は
UAU^† = A
から得られるんですよね。2次以降は関係なかったです、すみません。

回答ありがとうございました。

お礼日時:2009/05/18 00:15

(質問)


「aで微分する際、
exp[iaG]∂A/∂a - ∂A/∂a exp[iaG]
の項が出てきますが、これが0であるというのは自明なのでしょうか?
演算子の微分は演算子のままだと思うのですが。。確信はないですけれど。
だとしたら順番の入れ替えはできないので何か変形が必要になりますよね?」

(答)
Uには定義よりaは含まれますが、Aは「ある演算子」なのでaは含まれていないと考えられます。(Gにもaは含まれていないと考えられます。さもなければ、(∂/∂a)Gの因子も出てくることになります。したがって、ここでは、”a”は単なるパラメータと考えています。)

ただし、
exp[iaG]A-Aexp[iaG]=0
の両辺をaで微分するとき、すなわちexp[iaG]をaで微分するとき、
(∂/∂a)exp[iaG]=iG・exp[iaG]

(∂/∂a)exp[iaG]=exp[iaG]・iG
かという疑問は起こります。しかし、exp[iaG]は「iaGのべき級数」で定義されていますので、exp[iaG]は演算子としてはGしか含んでいないので、exp[iaG]とGは可換です。(G^n)G=G^(n+1)=G(G^n)

両辺をaで微分して
iGexp[iaG]A-AiGexp[iaG]=0
となります。
もちろん、GとAは一般には可換ではないので、そこは交換できません。もし、可換なら初めから[G,A] = 0となります。
私たちが使ったのは、
「ある演算子Aが UAU^† = A を満たす」という条件だけです。
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この回答へのお礼

>”a”は単なるパラメータと考えています。
パラメータとして扱うというのに少し抵抗がありますが、恐らくそういうものなのだろうと今は飲み込んでおきます。
また似たような問題に出くわしたとき、詳しく勉強してみようと思います。

回答ありがとうございました。

お礼日時:2009/05/18 23:38

ユニタリー演算子Uをエルミート演算子Gとすれば、


U^†=U^(-1)
G^†=G

ある演算子Aが
UAU^† = A

を満たすとき、右からUを両辺にかけて、U^†U=I より
UAU^†U = AU -->  UA=AU --> UA-AU=0

この最後の式にU = exp[iaG]を代入して、
exp[iaG]A-Aexp[iaG]=0

両辺をaで微分して
iGexp[iaG]A-AiGexp[iaG]=0

iで割って、
Gexp[iaG]A-AGexp[iaG]=0

U = exp[iaG]を代入して
GUA-AGU=0

第1項でUA=AUを使えば、
GAU-AGU=0 

右から両辺にU^†をかければ、
GA-AG=0

これより、                             
[G,A] = 0

何か問題点はありますか。

この回答への補足

回答ありがとうございます。

aで微分する際、
exp[iaG]∂A/∂a - ∂A/∂a exp[iaG]
の項が出てきますが、これが0であるというのは自明なのでしょうか?
演算子の微分は演算子のままだと思うのですが。。確信はないですけれど。
だとしたら順番の入れ替えはできないので何か変形が必要になりますよね?

補足日時:2009/05/16 02:43
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UとU^†を展開して


U = I+iaG+… , U^† = I-iaG+…  (1)
ゆえに
UAU^† = (I+iaG+…)A(I-iaG+…) = A+ia[G,A]+… = A (2)
(2)が任意のaに対して成り立つには
[G,A] = 0 (3)
が成り立たなねばならないと思います。

この回答への補足

回答ありがとうございます。
展開の際、2次以降の項にG^2等が出てきますが、それの処理はどうなるのでしょうか?

補足日時:2009/05/16 02:41
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成り立ちません.例えば


 G = |0 1|, a = 2π
   |1 0|
とおくと U = I (単位行列) になるので,
 A = |1 0|
   |0 0|
とでも置けば,UAU^† = A は成り立ちますが,[G, A] ≠ O です.

任意の a に対して UAU^† = A が成り立つ,とかでしょうか?
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この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
一応「成り立つ」という結果は得られるはずなんですが...

お礼日時:2009/05/16 02:39

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ユニタリ行列ってなんですか?ユニタリを満たすと、量子力学や、線形代数学において、どのような意味をもつのでしょうか?行列の要素に簡単な数値を用いて説明してもらえるとうれしいです。

次の文章は、自分で調べてみたけど、いまいち意味がわからなかったことです。

複素正方行列をUとすると、そのエルミート共役がその逆数に等しいとき、ユニタリと呼ばれるんですか?

U^†=U^(-1)


(1)エルミート行列Aの対角要素は相似(ユニタリ)変換により、要約される。

D=U^†AU

ここでUは列が行列Aの直交ベクトルであるユニタリ行列で、実数対角行列で、対角要素は行列Aの固有値である

とありました。

Aベストアンサー

ユニタリ行列(一般にはユニタリ変換)とは、エルミート内積が定義された複素ベクトル空間Vで内積を保つ変換をいいます。
例えば、VとしてC^2(複素数を成分に持つ2成分ベクトルの全体)とすれば、a、b∈Vの内積を
  (a,b)=a1^*b1+a2^*b2、但しa=(a1,a2),b=(b1,b2)、^*は複素共役
で定義すれば、内積(a,b)はエルミート内積になります。ここで、V上の1次変換U:x→x'(Uは2x2の複素数を成分に持つ行列)がユニタリ変換であるとは、任意のa,b∈Vに対して
  (Ua,Ub)=(a,b)
を満たすことをいいます。これは次の条件と同値になります。
  U^*U = U^*U = I、但しIは恒等変換
さらに、a∈Vに対して
  ||a|| = root( (a,a) ) ≡ root( a1^*a1+a2^*a2 )
とおけば、|| ||はV上の距離(ノルム)を与え、ユニタリ変換Uはノルムを保つ、つまり任意のa∈Vに対して
  || Ua || = a
を満たします。

量子力学では、Vは波動関数の空間で無限次元の複素ベクトル空間になります(正確にはヒルベルト空間といいます。ヒルベルト空間にはさらに完備性の条件が付きますが省略します)。
この場合、2つの波動関数ψ1(x)、ψ2(x)∈Vに対して、エルミート内積が
  (ψ1,ψ2) = ∫ψ1(x)^*ψ2(x)dx
によって定義されます。この場合、ユニタリ変換Uは
  (Uψ1,Uψ2) =(ψ1,ψ2)
を満たす作用素ということになります。ノルムを保つという性質は
  || Uψ || = || ψ ||
となります。量子力学において、| ψ(x) |^2 = ψ(x)^*ψ(x)は点xに粒子が存在する確率を意味しており、|| Uψ || = || ψ ||は変換Uによって粒子の全確率|| ψ ||^2が保存する事を意味します。量子力学における波動関数の時間変化(シュレディンガー方程式の解)は時間をパラメータに持つユニタリ変換になりますし、空間回転などに対する対称性を論ずる場合その変換はユニタリ変換となります。ですので、ユニタリ変換は量子力学で時間発展の方程式を解いたり、対称性を論ずる場合不可欠な概念になります。

詳しくは、量子力学の本を読んでみてください。

以上、ご参考まで

ユニタリ行列(一般にはユニタリ変換)とは、エルミート内積が定義された複素ベクトル空間Vで内積を保つ変換をいいます。
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