積分して得られる関数が一価である為の条件が積分可能条件であると言うのは正しいのでしょうか?
例えば簡単には以下の状況を想定しています。
df(x,y,z)= u dx + v dy + w dz
fが積分して得られる関数、u,v,wが被積分関数とここでは書いています。

具体的には弾性体力学のひずみ(被積分関数)-変位(積分して得られる関数)の関係において出てくる適合条件は三変数における積分可能条件に相当しますが、この条件はひずみを積分して計算した変位が一価である為の条件であると書いてある本がありました。

他にも以下のようなことが疑問です。。。
1.積分して得られる関数が多価関数ならば積分可能条件を満たされないといえるか?
2.積分して得られる関数fが三変数(x1,x2,x3)以上の場合、∂^2 f/∂x_i∂x_j -∂^2 f/∂x_j∂x_i=0 (i=1,2,3, j=1,2,3)の一回微分を非積分関数で置き換えたものは積分可能条件として十分か?

また、この話が何らかの形で不連続性と関係がありましたら、その関係についても教えていただけると幸いです。

表現が下手くそですみませんが、よろしくお願いいたします。

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A 回答 (4件)

現在、博士課程にて、建築学を専攻しているものです。

もう解決しているかもしれませんが。。。
今、丁度同じ疑問から出発して、色々調べています。間違っているかもしれませんが、自分の理解の範囲内で頑張って説明してみます。(的外れかもしれません)
歪が変位の勾配であれば、勾配の回転は必ず0ですので、一階微分の関係式になります。(また、歪は変位の勾配の対称成分です。)サン・ブナンの歪適合条件式と呼ばれているものは、2階微分の関係式なので、それとは異なります。棚橋先生の参考書には、∇×E×∇=0と書いてあります。
歪テンソルは対称テンソルですので、例えば二次元の場合、第一基本形式ds^2=e_1dxdx+2γ_12dxdy+e_2dydyと書くことが出来ます。このように、第一基本形式から出発する学問をリーマン幾何学といいます。サン・ブナンの歪の適合条件式は、第一基本形式の与えられたリーマン多様体の曲率テンソルが0という条件であるようです。そう考えると、第一種リーマン・クリストッフェルの記号の一階微分係数の関係式であるように見えてきます。また、変位が3成分、歪が6成分。3つ条件が必要なわけですが、歪の適合条件式は6つ。多すぎるワケです。実は、リーマン曲率テンソルの成分が3次元の場合6つで、ところが、ビアンキの恒等式というのが3本立られて、それで、つじつまがあう、ということのようです。とにかく、棚橋先生の弾性力学の本を読むことを勧めます。
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この回答へのお礼

なるほど。そのように言えるのは直感的にわかる気がします。
もともとこの質問をさせていただいたのは、
転位などで生じる変位の特異性で適合条件が成り立たず新しい項が出てくる状況と、
電磁場を生む非可積分位相とのアナロジーを考えていたからでした。つまり、転位の力学をゲージ理論として考えられないかと思ったわけです。

ゲージ理論でいうところの磁場または重力(曲率テンソル)が0というのと、転位がない(適合条件を満たす)ことが対応していると考えれば、niwa0617さんの仰っていることはすっきり通ります。
ほとんどそのものですね。

その後調べてみると、転位の話はベリー位相の一種としてベリーはすでに例に出していたみたいですし、あまり市民権は得られていないみたいですが転位のゲージ理論的な定式化もすでに考えられているみたいです。

最後に、面白そうな本の紹介ありがとうございます。

お礼日時:2010/05/20 02:13

ベクトル解析の言葉で言えば、


「ひずみのベクトル場Aが積分可能条件(rot A = 0 )を満たすならばStokesの定理より「穴があいてない」空間内の任意の閉曲線Cに沿ったAの線積分は
 ∫cA・dl = 0
変位を求めたい2点をこの閉曲線上にとっておけば、この式は任意の経路に沿ってのひずみの積分が同じになることを示している。」ということです。数学的には「穴のある」空間上で考えることがドラームのコホモロジーとして重要になっています。
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「可縮空間で1-形式φが閉形式dφ=0(積分可能条件を満たす)ならばポアンカレの補題の逆により「ポテンシャル」は1価関数として存在する。


の対偶をとって
「可縮空間でポテンシャルが多価ならば積分可能条件を満たさない。」
です。ポアンカレの補題により変数がいくつでも同じです。
 私ごときものが回答するより森羅万象の深遠な問題に絶句するような見事な見解(誤差関数の不定積分が置換積分でできるとか)を堂々と披露されているお歴々に是非ご回答頂きたいものです。

参考URL:http://www12.plala.or.jp/ksp/vectoranalysis/ddw=0/
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この回答へのお礼

xご回答いただいてからしばらく考えてみました。
積分可能条件は多変数でも一形式Φに対してdΦ=0で与えられ、
これを満たせば一形式Φを積分した量∫Φは必ず一価になるということですね。

逆にこの量∫Φが多価であれば、それを微分したΦは積分可能条件を満たさず、dΦ≠0となるということですね。

お蔭様でポアンカレの補題の意味が良く分かりました。
お礼が遅れて申し訳ありません。ありがとうございました。

お礼日時:2009/05/28 23:13

ポアンカレの補題の逆により、星型領域(一般には可縮空間)であれば1-形式が完全形式である十分条件はいわゆる積分可能条件で与えられます。

したがって積分して得られる関数が多価関数ならば積分可能条件を満たさないということも言えます。3変数以上であっても同様です。星型領域でなければ高価関数であっても局所的に積分可能条件を満たす例があります。例としてよく挙げられるのは原点を除いた2次元ユークリッド空間上で
 φ = (1/(x^2+y^2))(xdy - ydx)
とするものです。これは「積分可能条件」dφ=0 を満たし、
  f = Arctan(y/x)
はdf = φを満たしますが、fは多価関数になります。
 私ごときものが回答するより森羅万象の深遠な問題に想像を絶するような見事な見解を堂々と披露されているお歴々に是非ご回答頂きたいものです。

この回答への補足

ご回答いただきまして大変ありがとうございます。
なるほど、非常に参考になります。
1.多価関数であれば積分可能条件は満たさないについてはOKなのですね!
「多価関数であれば完全形式でない」というのを使っていると考えてよろしいでしょうか?この部分はそういうものなのでしょうか?

また、「積分可能条件」dφ=0とありますが、これは微分形式を使った表式ですよね?
普通に計算するとd df=∂_i ∂_j f dx_i dx_jとなってしまうので、∂_i ∂_j f=∂_j ∂_i fと同じものが導出できないので…。
d df=∂_i ∂_j f dx_iΛdx_jであれば基底の反対称性から導出できますが、一般に多変数の場合にdφ=0が積分可能条件と考えて差し支えないのでしょうか?
つまり∂_i ∂_j f=∂_j ∂_i fだけで十分なのでしょうか?例えば∂_i ∂_j ∂_k f=∂_k ∂_j ∂_i fなんていう条件が必要ないのか気になるところです。。。

たくさん疑問が出てきてしまって申し訳ありませんが、
もしご存知でしたら是非教えていただければと思います。

※∂_i:変数x_iでの微分を略記しています。 (i=1,…,n)
※和の規約を使っています。

補足日時:2009/05/14 23:39
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SUMIFS関数関数は複数条件に対応できる関数になります。
その意味での「s」になるのではないでしょうか?

※ Excel2007以降では同じような関数で
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g(x,y) = x + 2y

のような場合はどのように考えたらよいのでしょうか?

全微分の関係を使って考えてみました。

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= dx + 3 dy + O(dx,dy)

dg(x,y) = (∂g/∂x) dx + (∂g/∂y) dy + O(dx,dy)
= dx + 2 dy + O(dx,dy)

∂f/∂g = limit_{dx→0,dy→0} df/dg を考えれば良いのではないかと。

どの方向から極限をとっても極限値が変わらないと仮定して、
つまりdx = dyとして、極限を考えると。

∂f/∂g = 4/3

とても正しいとは思えないのですが、他にどう考えればよいのかわからず悩んでいます。
そもそも、微分が存在しないと言うことなのでしょうか?

質問は以下の2点です。
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以上
よろしくお願いします。

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全微分の関係を使って考えてみました。

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#2です。

A#2の補足に関連して

偏微分の定義に帰って考えれば理解しやすいかと思います。

∂f/∂gを考える場合
g=x+2y=uとしてuを1つの変数として考え、偏微分ですからf=x+3yをuとu以外の他の変数vを使って f(x,y)→f(u,v)の様に表現しないといけません。
そしてuで偏微分するときはv=ー定(定数)として扱わないといけません。
A#2では 
u=x+2y,v=yという変数変換を使い、∂f/∂⇔∂(u+v)/∂uで定義しています。
g=x+2y=uと1つの変数で置き換えx+2yは一固まりとして扱わないといけません。
このとき f=u+v, v=yと書けますので、他の一定とみなすべき変数vはyに相当します。
v=y=一定とした時
∂f/∂g=∂(u+v)/∂u=1 (v=y=一定の元で偏微分が存在し定義される)
となります。

また、A#2の補足の疑問点の場合には
g=x+2y=u,f=u+u/2-x/2=(3/2)u-vと変形できるので
u=x+2y,v=x/2という変数変換を使い、∂f/∂g⇔∂((3/2)u-v)/∂uで定義しています。
この偏微分では、
v=x/2=一定とした時
∂f/∂g⇔∂((3/2)u-v)/∂u=3/2 (v=x/2=一定の元で偏微分が存在し定義される)
となります。

偏微分の変数u,vの定義(変数変換)が異なれば、その変数で定義される
∂f/∂g=∂f(u,v)/∂u
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元の独立変数x,yに戻って考えれば、yを一定にして∂f/∂gを考えるか、
xを一定にして∂f/∂gを考えるか、といった立場の違いにより、偏導関数も
異なってくるということですね。

#2です。

A#2の補足に関連して

偏微分の定義に帰って考えれば理解しやすいかと思います。

∂f/∂gを考える場合
g=x+2y=uとしてuを1つの変数として考え、偏微分ですからf=x+3yをuとu以外の他の変数vを使って f(x,y)→f(u,v)の様に表現しないといけません。
そしてuで偏微分するときはv=ー定(定数)として扱わないといけません。
A#2では 
u=x+2y,v=yという変数変換を使い、∂f/∂⇔∂(u+v)/∂uで定義しています。
g=x+2y=uと1つの変数で置き換えx+2yは一固まりとして扱わないといけません。
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Qエクセル関数(IF)のある条件公式の意味は?

ある商品の売買に関する下記のエクセル関数(IF)のある条件公式の意味がわかりません。
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前半の部分は、Fから6(?)の値がH28の値よりも小さいとき、
かつF28の値が1よりも大きいときは売。
後半の部分はFから6(?)の値がH28よりも大きいとき、
かつF28の値が1より大きいときは買。
という指示ではないかと思いますが正しいのでしょうか?

この条件の公式なのですが、意味がわかりません。
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

参考に
=IF(F28>1,IF(H28>$F$6,"売",IF(H28<-$F$6,"買","-")),"-")
式をこのようにすることもできます。
売買の条件
1.F28>1 であること
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[問]{φ_n(x)}を[a,b]での直交関数列とせよ。級数Σ[n=1..∞]a_nφ_n(x)が関数f(x)に[a,b]で一様収束する時,各n∈Nに対してa_nはfのフーリエ係数となる事を示せ。
[証]
仮定より[a,b]でΣ[n=1..∞]a_nφ_n(x)=f(x) …(1)と言える。
c_k (k=0,1,2,…)をf(x)の{φ_n(x)}に於ける[a,b]でのフーリエ係数とすると
フーリエ係数の定義から
c_k=∫[a..b]f(x)φ_k(x)dx/∫[a..b](φ_k(x))^2dx=∫[a...b](Σ[n=1..∞]a_nφ_n)φ_k(x)dx/∫[a..b](φ_k(x))^2dx (∵(1))
=∫[a...b]a_kφ_kφ_k(x)dx/∫[a..b](φ_k(x))^2dx(∵{φ_n(x)}は直交)
=a_k∫[a...b](φ_k(x))^2dx/∫[a..b](φ_k(x))^2dx
=a_k
となり,一様収束である事の条件を使わなかったのですがこれで正しいのでしょうか?

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c_k (k=0,1,2,…)をf(x)の{φ_n(x)}に於ける[a,b]でのフーリエ係数とすると
フーリエ係数の定義から
c_k=∫[a..b]f(x)φ_k(x)dx/∫[a..b](φ_k(x))^2dx=∫[a...b](Σ[n=1..∞]a_nφ_n)φ_k(x)dx/∫[a..b](φ_k(x))^2dx (∵(1))
=∫[a...b]a_kφ_kφ_k(x)dx/∫[a..b](φ_k(x))^2dx(∵{φ_n(x)...続きを読む

Aベストアンサー

そのままでは直交性
∫[a...b]φ_n(x)φ_k(x)dx=0 (n≠k)
を利用できないので、Σと∫を入れ換えないといけないのです。

Qこのポイント獲得条件の意味がわからないんですけど分かりやすく説明してくれる方お願いします(T_T)

このポイント獲得条件の意味がわからないんですけど分かりやすく説明してくれる方お願いします(T_T)

Aベストアンサー

「インストールしてアプリ起動」と書いてありますね。そのままです。
上のボタンから、AppStoreにへ入って、ダウンロード。アプリ起動です。
大抵はアプリ起動後にブラウザが勝手に立ち上がります。遷移しない場合はポイント付かない(失敗)してる事が多いです。(なお、失敗したと思ってやり直し2度めインストールしても付きません。1度インストールしてるため)

こういったポイント付くと書いてあっても、ポイント付かない場合もあります。
特定のゲーム会社のもので付かないという事があります。(偽広告?)
すぐポイントと書いてあっても、5分後ぐらいの事もあります。

Q関数f(x1,x2,x3,x4,x5)が最大値となるようなx1,x2,x3,x4,x5の求め方

変数を5つもつ関数f(x1,x2,x3,x4,x5)があります。
関数f(x1,x2,x3,x4,x5)は、一言では言い表せないような複雑な式とします。

y=f(x1,x2,x3,x4,x5)としたとき、
yが最大になるようなx1,x2,x3,x4,x5はどのようにして求めればよいでしょうか?

例えば、、、

(1) x2,x3,x4,x5を適当な値に固定し、x1を変化させてyが最大となるようなx1を求める。(このときのx1をaとする)

(2) x1をaに、x3,x4,x5を適当な値に固定し、x2を変化させてyが最大となるようなx2を求める。(このときのx2をbとする)

(3) x1をaに、x2をbに、x4,x5を適当な値に固定し、x3を変化させてyが最大となるようなx3を求める。(このときのx3をcとする)

(4) x1をaに、x2をbに、x3をcに、x5を適当な値に固定し、x4を変化させてyが最大となるようなx4を求める。(このときのx4をdとする)

(5) x1をaに、x2をbに、x3をcに、x4をdに固定し、x5を変化させてyが最大となるようなx5を求める。(このときのx5をeとする)

このとき、f(a,b,c,d,e)は最大値??
多分、違いますよね。

変数を5つもつ関数f(x1,x2,x3,x4,x5)があります。
関数f(x1,x2,x3,x4,x5)は、一言では言い表せないような複雑な式とします。

y=f(x1,x2,x3,x4,x5)としたとき、
yが最大になるようなx1,x2,x3,x4,x5はどのようにして求めればよいでしょうか?

例えば、、、

(1) x2,x3,x4,x5を適当な値に固定し、x1を変化させてyが最大となるようなx1を求める。(このときのx1をaとする)

(2) x1をaに、x3,x4,x5を適当な値に固定し、x2を変化させてyが最大となるようなx2を求める。(このときのx2をbとする)

(3) x1...続きを読む

Aベストアンサー

まず最初に、この「一言では言い表せないような複雑な」関数が「連続」である必要があります。不連続の場合は初期値(「x2,x3,x4,x5を適当な値に固定し」に相当)から最大値に至る探索の道筋の手がかりがなにも無い事になってしまいますから。

次に、この方法で最大値が求まるためは、2次元で考えたとして山の頂上(y の最大値に相当)がパラメータx1,x2,x3,x4,x5の値域内でひとつだけである必要があります。山で例えると富士山(頂上の火口付近のくぼみは無視して)のような山です。そうでない場合、つまり、例えば八ヶ岳のように複数の頂上があった場合、見つかった値は最大値とは限りません。つまり八ヶ岳のひとつの頂上が見つかっただかで、これが八ヶ岳で一番高い頂上かどうかは分からないということです。こうして見つかった y の値を「局所最大値」と呼びます。確実に(局所でない大局的な)最大値を見つける方法は見つかっていません。

質問者さんの方法でも(局所)最大値は見つかりますが、多くの場合、x1~x5 をそれぞれ少しだけ値を振って(Δx)、その時の y の変化が大きい方に、より動いていく、というやり方をします。例えて言えば、山登りで霧がたち込めていて頂上が見えない場合、足下の周辺の地面だけを見て、最も傾斜が急な方向に次の一歩を踏み出す(次の x1~x5 を決める)わけです。この方法は No.1 さんのおっしゃるように「山登り法」と呼ばれており、質問者さんの方法より速く(少ない歩数で)(局所)最大値に達することができます。

歩幅の大きさにも注意が必要です。頂上や山の大きさに関係するのですが、多くの場合「一言では言い表せないような複雑な」訳で、山の大きさすら分かりません。一歩の大きさを大きくすればそれだけ速く頂上に到達できますが、頂上の正確な位置がでませんし、山よりも大きな歩幅ですと山を飛び越えてしまいますので、「十分に」小さな値にします。計算を速くするために、最初の歩幅は大きく、段々歩幅を小さくするというやり方もあります。

より詳しくは「山登り法」で検索されるといろいろと見つかると思います。

まず最初に、この「一言では言い表せないような複雑な」関数が「連続」である必要があります。不連続の場合は初期値(「x2,x3,x4,x5を適当な値に固定し」に相当)から最大値に至る探索の道筋の手がかりがなにも無い事になってしまいますから。

次に、この方法で最大値が求まるためは、2次元で考えたとして山の頂上(y の最大値に相当)がパラメータx1,x2,x3,x4,x5の値域内でひとつだけである必要があります。山で例えると富士山(頂上の火口付近のくぼみは無視して)のような山です。そうでない場合、つまり、...続きを読む

Q戦略的互恵関係の成立条件とその意味とは?

戦略的互恵関係の成立条件とその意味とは?

最近、国会の予算委員会をラジオで聞いていると「戦略的互恵関係」という言葉が頻繁に聞こえてくるのですが、意味がわからないのです。
まあ、主義主張が同じ国であれば「互恵関係」は成立すると思いますが、主義主張が全く異なる国との間に「戦略的互恵関係」など存在し得ないように思うのですが、どのような考えや哲学で主義主張が全く異なる国家間で「戦略的互恵関係」なるものが成立するものなのでしょうか?
成立するとなれば、どのようなものでしょうか? 
強いて追加すると、北朝鮮とは「戦略的互恵関係」は成立しないですよね。同質同根の中国とも同じですよね。
どういう成立条件で何を意味するのかをお教え願いたい。

Aベストアンサー

+共産主義を標榜する共産党の答弁の方がむしろ哲学的ですね。では彼らはなんなのでしょうね。

原理主義者です。

原理主義者には、聖書・聖典があります。

工作部員とプランナーの役割分担と言い換えることでしょう。

鉄砲玉兵卒とイマームといっても良いかもしれません。

社会主義者を装う共産主義者の特徴として

孤立する(自分はゲリラだと思っている)。
人間はうんざり。(家族関係がギクシャクしている)
世界の景色こそ大事。人間は邪魔。

基本的に組織はいらないと主張するが、
政党・病院は、戦略的互恵関係に基づき、常に組織は利用している。
損をしたと感じたら、社会性がないと主張する。(愛は損得関係だと思っている)

「宗族社会」を理想の社会と思い込み、「変な過疎村」が現存する原始共産主義だと勘違いしている)
自分の考えが聖典。(そういう意味では新教キリスト的)

共産党は政権を取れないから投票しない。というのも戦略的互恵関係です。
同党が政権を取れば真っ先に指導的立場に就職したいと思っている。

民主党に対してそう考えているように、
共産党が、政権をとれば
いままでこの党には何かあると思っていた。と饒舌さを発揮し、取り入ろうとするはずです。

自己中心を基礎とした戦略的どっちつかず。
便所に行くことさえ「精神的充足」と名づける「俗物唯物論者」です。
自分に合う人がいないといつも半泣きの顔をさらけ出している不幸な人たちです。

+共産主義を標榜する共産党の答弁の方がむしろ哲学的ですね。では彼らはなんなのでしょうね。

原理主義者です。

原理主義者には、聖書・聖典があります。

工作部員とプランナーの役割分担と言い換えることでしょう。

鉄砲玉兵卒とイマームといっても良いかもしれません。

社会主義者を装う共産主義者の特徴として

孤立する(自分はゲリラだと思っている)。
人間はうんざり。(家族関係がギクシャクしている)
世界の景色こそ大事。人間は邪魔。

基本的に組織はいらないと主張するが、
政党・病院は、戦略的互...続きを読む

Q関数方程式の連続性の証明 関数 F(X) が、任意のX,Y∈Rに対して、F(X+Y)=F(X)+F(

関数方程式の連続性の証明




関数 F(X) が、任意のX,Y∈Rに対して、F(X+Y)=F(X)+F(Y) を満たすとき
関数 F(X) が、X=0 で連続ならば、任意の実数X'で連続であることを示せ。

という問題です。

ある点で連続であることを示す方法は知っていますが、この場合任意の点なのでどうやって示せばいいかわかりません。
lim[x→x']f(x)=f(x')を示せばいいのでしょうか?

解答とともに教えてください!

Aベストアンサー

> lim[x→x']f(x)=f(x')を示せばいいのでしょうか?
そうです。

具体的にやってみれば、

lim[x→x']F(x) = lim[y→0] F(x'+y) … y=x-x'とおいた
= lim[y→0] {F(x')+F(y)}  … F(X+Y)=F(X)+F(Y) より
= F(x') + lim[y→0] F(y)
= F(x') + F(0) … X=0で連続なので
です。

また、
F(X+Y)=F(X)+F(Y)
で、X=Y=0を代入してみれば、
F(0) = 2×F(0)
ですから、
F(0) = 0
です。
というわけで、
lim[x→x']F(x) = F(x')
が成り立ちます。

Q不問求人条件にかかる特記事項・・・ 意味?

求人情報に以下の用語がありましたが、何を意味しているのでしょうか?

不問求人条件にかかる特記事項正社員雇用(試用期間3ヶ月:賃金同じ)

このように、ハローワークや求人情報特有の言葉をわかりやすく解説したサイトなどありますか?

Aベストアンサー

正社員だけれど試用期間が3ヶ月ありますという意味です。
特記事項なので、注意すべき項目という意味かと思います。

ハローワークの独特の用語の参考になるかどうかわかりませんが
ハローワークインターネットサービス+転職サイトの情報を
両方掲載しているサイトがあるのでよければ参考までに。

参考URL:http://www.indivision.jp/promo/guide.html?banner_id=ad_hw

Q∂f/∂x=∂f/∂yの表される解を考えてみました

∂f/∂x=∂f/∂y ・・・・・・・(1) の解について

(1)を満たす解f(x,y)はz=x+yとしてf(x,y)=C(z) (C(z)はzについて微分可能な任意関数)である。
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合成関数の微分法を用いて
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これをf(x,-x+z)について解くと、f(x,-x+z)=C(z) (C(z)はzのみに依存する任意関数)

すなわち df(x,-x+z)/dx=0 ⇔ f(x,-x+z)=C(z) 
                  ⇔ f(x,y)=C(x+y)  ・・・・・・・・・・・(2)
しかし(1)に代入するとC(x+y)はx+yについて微分可能でないといけないことが分かるので
結局(2)は
 df(x,-x+z)/dx=0 ⇔ f(x,y)=C(x+y) (C(x+y)はx+yについて微分可能な任意関数) ・・・・・・(2)'

となる。
逆に(1)を満たす解の中でf(x,y)=C(x+y)の形以外の適当なx,yに依存する関数F(x,y)を考える。
y=-x+z(zは任意定数)と制限されれば x+yのみに依存する任意関数C(x+y)をとっても
F(x,y)≠C(x+y)であるから (2)'からdF(x,-x+z)/dx≠0    
つまりy=-x+zのとき
dF(x,-x+z)/dx=∂F/∂x+dy/dx・∂F/∂y=∂F/∂x -∂F/∂y≠0 で
このときF(x,y)は(1)を満たさない。

したがって(1)を満たす解はz=x+yとして
f(x,y)=C(z) (C(z)はzについて任意の微分可能な関数)でしか表せない事が分かった。

この説明方法に誤り、アドバイスあれば指摘してください。
問題は(1)の解でy=-x+zと制限すれば必ずdf(x,-x+z)/dx=0なるという情報が分かっている。
F(x,y)をy=-x+zで制限されたときF(x,-x+z)/dx ≠0だから(1)はこのとき満たされないため
f(x,y)=C(x+y)のみしか表せないと考えたのであるが、それでよいかどうか。


fが(1)の解 ⇒ y=-x+zのとき df(x,-x+z)/dx=0
これより  y=-x+zのときdF(x,-x+z)/dx≠0 ⇒ Fは(1)の解でない 
だから
(1)の解はf(x,y)=C(x+y)のみというのが自分の考え。

∂f/∂x=∂f/∂y ・・・・・・・(1) の解について

(1)を満たす解f(x,y)はz=x+yとしてf(x,y)=C(z) (C(z)はzについて微分可能な任意関数)である。
しかしこの解がそれ以外で表されるか否かというのを考えてみました。

(考察)
f(x,y)が(1)の解であるならば、zを任意の定数として固定してy=-x+zのとき
合成関数の微分法を用いて
df(x,-x+z)/dx=0 である。
これをf(x,-x+z)について解くと、f(x,-x+z)=C(z) (C(z)はzのみに依存する任意関数)

すなわち df(x,-x+z)/dx=0 ⇔ f(x,-x+z)=C(z) 
     ...続きを読む

Aベストアンサー

よいと思います。
(x,y) から (x,z), z=x+y へ
変数変換して考えたのですね。

(x,y) から (z,w), z=x+y, w=x-y へ
変換して考えてみても、x を共用しないので
解りやすいかもしれません。


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