(定理)
Sを空でない一つの集合とする。
OをSにおける一つの位相とする時、その部分集合BがOの基底となる為には、任意のo∈Oおよび任意のx∈oに対して、
x∈W,W⊂oとなるようなW∈Bが存在することが必要十分である。

この定理の証明を考えたのですが、よくわかりませんでした。

以下、自分で考えた解答(未完成)です。

(証)
BがOの基底だとを仮定する。
すると定義より
∀o∈Oに対してo=∪_[λ∈Λ]W_λ (W_λ∈B)が成立。
ここで、∀x∈oを考えると、o=∪_[λ∈Λ]W_λより
∃W_λ'∈B s.t. x∈W_λ'
また、W_λ'⊂∪_[λ∈Λ]W_λ=oである。
W:=W_λ'として以上をまとめると
∀o∈O ∀x∈o ∃W∈B s.t. x∈W , W⊂o

逆に、
∀o∈O ∀x∈o ∃W∈B s.t. x∈W , W⊂o
を仮定する。

x∈oとすると、仮定より、あるW_λ'∈Bが存在して
x∈W_λ' , W_λ'⊂oが成立するから
x∈o⇒x∈W_λ'⇒x∈∪_[λ∈Λ]W_λより
o⊂∪_[λ∈Λ]W_λ 


ここまでしかできませんでした。
あとはo⊃∪_[λ∈Λ]W_λさえ示せれば
o=∪_[λ∈Λ]W_λとなり、oは今任意なのでBは基底だと言えると思ったのですが。。。
(そもそも上の回答自体間違ってるかもしれません・・・)

どなたか、詳しい方教えていただけないでしょうか?
よろしくお願いいたしますm(_ _)m

A 回答 (5件)

うーん。


「逆に」の部分の証明を言葉で書きます。
数学的な表現に直すのはやってみてください。

証明するのは、
「任意の開集合oは、集合族(集合の集合)であるBから適当にいくつか(無限個の場合もあり)の集合を取ってくると、それらの和集合として表わされる」…(☆)
ていうことです。(これは、いいですか?)
で、仮定より、開集合oに含まれる全ての点xについて、
Wx∈B s.t. x∈Wx , Wx⊂o  …(♪)
となるような開集合Wxがあります。
ここで、開集合oの全ての点について、それぞれ、(♪)を満たすような集合Wxを取ってきて、それら全ての和集合をとった集合をRとすると、R=o がなりたちます。このRがつまり(☆)の具体例になってます。(証明終わり)

なぜ、R=o が成り立つのかは、ご自分でどうぞ。(ほとんど自明ですが)

この回答への補足

回答ありがとうございます。
>「任意の開集合oは、集合族(集合の集合)であるBから適当にいく>つか(無限個の場合もあり)の集合を取ってくると、それらの和集合>として表わされる」…(☆)
>ていうことです。(これは、いいですか?)
はい、これはOKです。

>なぜ、R=o が成り立つのかは、ご自分でどうぞ

[R=∪_[x∈o]W_x=oの証明]
x'∈∪_[x∈o]W_xとすると
あるx_0∈oが存在してx'∈W_(x_0)
W_xの決め方から、W_(x_0)⊂oであるからx'∈oだとわかる。
よって∪_[x∈o]W_x⊂oが成立。

逆にx'∈oとすると、(♪)よりx'∈W_x'であり、
W_x'⊂∪_[x∈o]W_xだから、x'∈∪_[x∈o]W_x
よって∪_[x∈o]W_x⊃o

したがってR=oである。

これでOKでしょうか?
というか、これと同じことをひとつ前のNo.3の補足に書いて証明したつもりなのですが、あれではダメのでしょうか?
同じことをやっているとおもうのですが・・。

これで、(しなくても良いかも知れませんが、)
Λ=o、x=λとして、今得られた結果書き直してやれば

任意のOの元oに対してあるΛ(λ∈Λ⇒W_λ∈B)が存在して、
o=∪_[λ∈Λ]W_λ

ということになってBは基底である。

No.3の補足に書いた証明と同じではないですか?

どうか回答よろしくお願いします。m(_ _)m

補足日時:2009/05/15 03:20
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>というか、これと同じことをひとつ前のNo.3の補足に書いて証明したつもりなのですが、あれではダメのでしょうか?


見返すと「補足3の証明」でいいみたいです。
ちょっと先入観を持ってみてしまいました。
最初、パッと見たときに、
>すると、∀λ∈o ∃W_λ∈B s.t. λ∈W_λ , W_λ⊂oが成立。
ていう行で引っかかったんですが、まあ問題ないです。
わざわざ、x→λ って書き換えないで、xのまま通せばいいのでは、と思わなくもないですが、その本での開基の定義が、o=∪_[λ∈Λ]W_λ となっているんでしょうから、ここで書き換えるってのも確かに分からなくはないですね。
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この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
私の書き方が悪かったみたいです、申し訳ないですm(_ _)m
でもやっとわかりました。ありがとうございました。

お礼日時:2009/05/15 20:25

>x∈W_λ'' , W_λ''⊂oが成立。


>つまりλ∈Λ⇒W_λ∈B , W_λ⊂oなるΛが存在する。

記号に振り回されて、まったくわかっていないとお見受けします。
面倒なので、答えを書きましょう。Λはすなわち o です。

この回答への補足

回答ありがとうございます。

>記号に振り回されて、まったくわかっていないとお見受けします。
仰るとおりです。御指摘ありがとうございます。
数学は苦手ですが、なんとか理解したいので、もう一度解答を書きなおしてみました。こんな感じでしょうか・・・?

(証)
BがOの基底だと仮定する。
すると定義より
∀o∈Oに対してあるΛが存在して、
(λ∈Λ⇒W_λ∈B), o=∪_[λ∈Λ]W_λ が成立。

ここで、∀x∈oを考えると、o=∪_[λ∈Λ]W_λより
∃W_λ'∈B s.t. x∈W_λ'
また、W_λ'⊂∪_[λ∈Λ]W_λ=oである。
W:=W_λ'として以上をまとめると
∀o∈O ∀x∈o ∃W∈B s.t. x∈W , W⊂o
(ここまでは前回の解答と同じです。)

逆に、∀o∈O ∀x∈o ∃W∈B s.t. x∈W , W⊂oを仮定する。

すると、∀λ∈o ∃W_λ∈B s.t. λ∈W_λ , W_λ⊂oが成立。
このとき、∪_[λ∈o]W_λ=oが成立する。

実際、λ'∈∪_[λ∈o]W_λ⇒∃λ_0∈o s.t. λ'∈W_(λ_0)
W_λの決め方から、W_(λ_0)⊂oなのでλ'∈o
よって∪_[λ∈o]W_λ⊂o・・・(1)

一方、λ'∈oとすると、λ'∈W_λ'であり
W_λ'⊂∪_[λ∈o]W_λなので、λ'∈∪_[λ∈o]W_λ
よってo⊂∪_[λ∈o]W_λ・・・(2)

(1)(2)より、Λ:=oとしてやれば、
「∀o∈Oに対してあるΛが存在して
(λ∈Λ⇒W_λ∈B), o=∪_[λ∈Λ]W_λ」 が成立。
よってBは基底である。(終)

補足日時:2009/05/14 22:15
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「逆に」の部分は、


∀o∈O ∀x∈o ∃W∈B s.t. x∈W , W⊂o ⇒ ∃Λ s.t (λ∈Λ⇒W_λ∈B),o=∪_[λ∈Λ]W_λ
を証明するのが目的ですよ。
「~をみたすようなΛが存在する」ていうのを証明するんだという目的意識が薄いような。

この回答への補足

回答ありがとうございます。

もう一度証明を書きなおしてみたのですがどうでしょうか・・・。

(証)
BがOの基底だと仮定する。
すると定義より
∀o∈Oに対してあるΛが存在して、
(λ∈Λ⇒W_λ∈B), o=∪_[λ∈Λ]W_λ が成立。

ここで、∀x∈oを考えると、o=∪_[λ∈Λ]W_λより
∃W_λ'∈B s.t. x∈W_λ'
また、W_λ'⊂∪_[λ∈Λ]W_λ=oである。
W:=W_λ'として以上をまとめると
∀o∈O ∀x∈o ∃W∈B s.t. x∈W , W⊂o

逆に∀o∈O ∀x∈o ∃W∈B s.t. x∈W , W⊂oを仮定する。
x∈oとすると、仮定より、あるW_λ''∈Bが存在して
x∈W_λ'' , W_λ''⊂oが成立。
つまりλ∈Λ⇒W_λ∈B , W_λ⊂oなるΛが存在する。
(λ''∈Λより、Λは空でない)

このΛに対して
x∈o⇒x∈W_λ'⇒x∈∪_[λ∈Λ]W_λより
o⊂∪_[λ∈Λ]W_λ

一方、x∈∪_[λ∈Λ]W_λ⇒∃λ∈Λ s.t. x∈W_λ
Λの決め方から、W_λ⊂oであるから
x∈∪_[λ∈Λ]W_λ⇒x∈oが成立。
よってo⊃∪_[λ∈Λ]W_λ

まとめると、
∀o∈Oに対してあるΛが存在して、
(λ∈Λ⇒W_λ∈B), o=∪_[λ∈Λ]W_λ
ゆえにBは基底である。(終)

後半はΛを強調したつもりです。
添削お願いできないでしょうか?
どうかよろしくお願いいたします。

補足日時:2009/05/14 17:18
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ぶっちゃけ、もう出来てるんだけど。


気付いてないということは、わかっていないということなんでしょうね。。。

この回答への補足

回答ありがとうございます。

>ぶっちゃけ、もう出来てるんだけど。
>気付いてないということは、わかっていないということなんでしょうね。。。

私が質問文に書いた証明の途中で証明が完結しているということではないですよね?
o⊃∪_[λ∈Λ]W_λは自明だということですか?

補足日時:2009/05/13 22:31
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この回答へのお礼

逆に、
∀o∈O ∀x∈o ∃W∈B s.t. x∈W , W⊂o
を仮定する。

x∈oとすると、仮定より、あるW_λ'∈Bが存在して
x∈W_λ' , W_λ'⊂oが成立する。
ここでW_λ' は、oに含まれるBの元W_λの和集合に含まれるから
x∈o⇒x∈W_λ'⇒x∈∪_[λ∈Λ]W_λ
つまりo=∪_[λ∈Λ]W_λ (W_λはoに含まれるBの元)

よって定義によりBは基底である・・・。

↑これではダメでしょうか?

また、x∈∪_[λ∈Λ]W_λとすると
∃λ''∈Λ s.t. x∈W_λ
今、W_λ''はoに含まれているのだから
x∈W_λ''⇒x∈o
よって∪_[λ∈Λ]W_λ⊂o

つまりo=∪_[λ∈Λ]W_λだから

お礼日時:2009/05/13 23:32

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Lebesgue可測集合とはλをLebesgue外測度とする時,
{E;Eはn次元区間塊,E⊂∀S⊂R^n,λ(S)≧λ(S∩E)+λ(S∩E^c)}の元の事ですよね。
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inf{Σ[i=1..∞]|I_i|;∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k⊂∪[i=1..∞]I_i}=0
と分かったので
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=inf{Σ[i=1..∞]|I_i\Bd(I_i)∪Bd(I_i)|;∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k⊂∪[i=1..∞]I_i\Bd(I_i)∪Bd(I_i)}
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=inf{Σ[i=1..∞]|I_i\Bd(I_i)|+|Bd(I_i)|;∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k⊂∪[i=1..∞]I_i\Bd(I_i)∪Bd(I_i)}
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inf{Σ[i=1..∞]|I_i\Bd(I_i)|;∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k⊂∪[i=1..∞]I_i\Bd(I_i)}=0が言え,
∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k∈Lも言え,
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となりおしまいなのですが

inf{Σ[i=1..∞]|I_i\Bd(I_i)|+|Bd(I_i)|;∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k⊂∪[i=1..∞]I_i\Bd(I_i)∪Bd(I_i)}
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(ア) ∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_kがLebesgue外測度0を持つ事を示せ。
(イ) これはLebesgue測度0を持つか? 持つなら理由を述べよ。

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Lebesgue外測度の定義からλ^*(A_k)=inf{Σ[i=1..∞]|I_i|;A_k⊂∪[i=1..∞]I_i}…(1)
(但しI_iはn次元区間塊[a_1,b_1]×[a_2,b_2]×…×[a_n,b_n])と書け,
題意よりΣ[k=1..∞]λ^*(A_k)<∞なのでλ^*(A_k)<∞と分かる。
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数列の部分和の定義と∩∪の定義からすぐだと思いますよ。
面倒なので外測度を単にλで表します。
仮定はΣλ(A_k)<∞です。これは級数の収束の定義から部分和
S_N=Σ[k=1,..,N] λ(A_k)
がコーシー列、よって
任意のε>0に対してNが存在し、n≧Nならば
Σ[k=n,...,∞] λ(A_k)<ε
ということを言っているわけです。
問題は、∩[n=1,..,∞]∪[k=n,..∞] A_kの外測度を求めることですが上の事実を利用できることが分かると思います。上で示したNをとってきます。このとき
λ(∩[n=1,..,∞]∪[k=n,..∞] A_k)≦Σ[k=N,..,∞] λ(A_k)<ε
となるのはほとんど明らかですね。任意のεに対してもっと大きい番号N'をとっても問題の集合はN'から先の和集合に含まれるわけですからこれは結局λ(∩[n=1,..,∞]∪[k=n,..∞] A_k)=0でなければならないことを示しています。


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