大学の課題で出された数列の証明問題です。
レベルは恐らく高校くらいだと思います。
数列が苦手で、どうしてもわからないので質問します。

正の実数a、b(a>b)に対して、数列{a(n)}{b(n)}を
a(0)=a、 b(0)=b
a(n+1)=(a(n)+b(n))/2、 b(n+1)=√a(n)b(n) (n≧0)
で定義されるものとする。この時、
1、{a(n)}が単調減少であること、{b(n)}が単調増大であることを示せ。
2、{a(n)}が単調減少かつa(n)≧b、{b(n)}が単調増大かつb(n)≦aより、{a(n)}および{b(n)}は収束する。この時、{a(n)}の極限値と{b(n)}の極限値が一致することを示せ。

解答・解説できる方、よろしくお願いいたします。

A 回答 (2件)

任意の n について、a(n) > b(n) であることを言えば、


a(n+1) = { a(n) + b(n) } / 2 から a(n+1) < a(n) が、
b(n+1) = √{ a(n) b(n) } から b(n+1) > b(n) が 言えます。

「単調増加」「単調減少」が広義単調でよいならば、
相加相乗平均の関係から a(n) ≧ b(n) が言えますから、
それだけで終わりですが、

狭義単調であることまで含めて示そうとすれば、
数学的帰納法を使って、a(n) ≠ b(n) を言う必要があります。
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(1)は数学的帰納法で示せますね。


具体的には、任意のnに対してa(n) > b(n) かつ a(n+1) < a(n) かつ b(n+1) > b(n)を帰納法で示します。

(2)は、a(n)とb(n)の極限をそれぞれα、βとでもすれば、
n→∞のとき、a(n+1) = a(n)の式から、
(α+β)/2 = α となり、α = βがいえます。
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