数列の証明

大学の課題で出された数列の証明問題です。
レベルは恐らく高校くらいだと思います。
数列が苦手で、どうしてもわからないので質問します。

正の実数ａ、ｂ（ａ＞ｂ）に対して、数列｛ａ(n)｝｛ｂ(n)｝を
ａ(0)＝ａ、 ｂ(0)＝ｂ
ａ(n+1)＝(ａ(n)＋ｂ(n))／２、 ｂ(n+1)＝√ａ(n)ｂ(n) （ｎ≧0）
で定義されるものとする。この時、
１、｛ａ(n)｝が単調減少であること、｛ｂ(n)｝が単調増大であることを示せ。
２、｛ａ(n)｝が単調減少かつａ(n)≧ｂ、｛ｂ(n)｝が単調増大かつｂ(n)≦ａより、｛ａ(n)｝および｛ｂ(n)｝は収束する。この時、｛ａ(n)｝の極限値と｛ｂ(n)｝の極限値が一致することを示せ。

解答・解説できる方、よろしくお願いいたします。

No.2 回答者： arrysthmia 回答日時： 2009/05/14 11:14

任意の n について、a(n) > b(n) であることを言えば、

a(n+1) = { a(n) + b(n) } / 2 から a(n+1) < a(n) が、
b(n+1) = √{ a(n) b(n) } から b(n+1) > b(n) が 言えます。

「単調増加」「単調減少」が広義単調でよいならば、
相加相乗平均の関係から a(n) ≧ b(n) が言えますから、
それだけで終わりですが、

狭義単調であることまで含めて示そうとすれば、
数学的帰納法を使って、a(n) ≠ b(n) を言う必要があります。

No.1 回答者： oyamala 回答日時： 2009/05/14 06:22

(1)は数学的帰納法で示せますね。

具体的には、任意のnに対してa(n) > b(n)　かつ a(n+1) < a(n) かつ b(n+1) > b(n)を帰納法で示します。

(2)は、a(n)とb(n)の極限をそれぞれα、βとでもすれば、
n→∞のとき、a(n+1) = a(n)の式から、
(α＋β)/2 = α　となり、α = βがいえます。