すみません。図がつぶれてわかりづらくなってしまいましたので、訂正します。

昨日のある方の質問で

「台形の下辺の長さが4cm、下辺から上辺への角度が両方とも30度、
下底以外の3辺はすべて長さが等しい台形の面積を求めるというものです。小学校でのレベルで説明がつきますでしょうか?」

というものがあり、回答者からはルートが出てくるので無理なのではというところで回答受付が終了していたのですが、その後に図形に補助線を引くだけで解く方法を見つけたのですが、この解答は小学生の知識だけで成立しているのでしょうか?解答は以下の通り、図は添付データにまとめてあります。

問題:角ABC=角DCB=30度、辺AB=辺AD=辺CD、辺BC=4cm、辺ADと辺BCが平行のとき、台形ABCDの面積

解答
台形ABCDは条件より等脚台形
→辺ADの中点を点F、辺BCの中点を点Gと置けば、台形ABGFと台形DCGFは辺GFで線対称な合同図形である。また辺GFは辺ADおよび辺BCに垂直である。

点Aから辺BGに向かって垂線を引き、辺BGとの交点を点Eとする。
条件より△ABEは正三角形の半分なので辺AEは辺ABの半分の長さで、辺AE=αと置けば、辺AB=2×αとなる。

辺AD=辺AB、点Fは辺ADの中点より辺AF=αとなる。
→四角形AEGFは正方形。

点Bおよび点Gから45度となる補助線を引き、その交点を点Hとする。△HBGは直角二等辺三角形になり、点Aは辺HG上に存在する。
また点Hから辺BGに垂線を下ろすと、△HIBと△HIGは合同な直角に等辺三角形になる。
辺BI=1/2×辺BG=1/2×(1/2×辺BC)=1cm、辺HI=辺BIより△HBGの面積=2×1÷2=1平方cmである。

図より、台形ABGFと△HBGを比較したとき、△AGFと△ABHの面積が同じであれば、台形ABGFと△HBGの面積も等しいとなる。辺AF=辺FG(=辺AE)=αより、△AGFの面積=α×α÷2であり、△ABHも同じ面積か確かめる。

辺AB=2×α、角HBJ=15度である。

辺ABの中点を点Jとし、点Jから辺BHに向かって垂線を引くと、辺AHと辺JKは平行となり、また辺AJ=辺BJであるので、△ABHと△JBKは相似であり、相似比は2:1である

点Hと点Jに補助線を引くと、辺BK=辺HK、辺JKは共通なので、二辺とその間の角度が同じことから、△JBKと△JHKは合同である。
→辺BJ=辺JH(=辺AJ)であり、辺AB=2×αから辺JH=αである。また角KBJ=角KHJ=15度より、∠HJA=30度である。

点Hから辺ABに向かって垂線を下ろし、辺ABとの交点を点Lとする。角HJL=30°であることから△HJLは正三角形を半分にした形であることがわかり、辺JH=αであることから辺HL=1/2×αである。

以上より△ABHの面積=辺AB×辺HL÷2=2×α×1/2×α÷2=α×α÷2となり、△AGFの面積と同じである。

よって、台形ABGFと△HBGの面積が等しいとなり、よって台形ABGFの面積=1平方cmとなる。

台形DCGFも同様に計算でき、よって
台形ABCDの面積=台形ABGFの面積+台形DCGFの面積=2平方cmとなる。

「[訂正]この解答はOKですか?」の質問画像

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A 回答 (4件)

こんなのはどうでしょうか。



同じ形の台形をもう一つ用意して、底辺をくっつけた図形(六角形)を考えます。
この六角形は、同じ大きさの正三角形2つと、正方形1つからできています。
この正三角形と正方形は辺の長さは同じです。
2個の正三角形をそれぞれ半分に切って、同じ直角三角形を4個つくりましょう。
次に、正方形の4つの辺のそれぞれに、その直角三角形の斜辺をくっつけて、全体が大きな正方形になるようにしてください。必ずできるはずです。
この大きな正方形の辺の長さは2です。なぜなら、それははじめの台形の底辺の長さの半分になっているからです。(ここで、正方形の辺=三角形の辺 と、30度60度の直角三角形の短辺=斜辺の半分 であることを使いました)
だから、大きな正方形の面積は、2×2=4になります。
この面積は、はじめの台形の2個分でした。
だから、台形の面積は4÷2=2になります。

三平方の定理の証明のアイデアを借用しました。
図形を切ったり貼ったりするだけなので、これなら小学生にも理解できるのでは。
「[訂正]この解答はOKですか?」の回答画像4
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この回答へのお礼

別な解答、ありがとうございました。

この解き方はちょっと感動しました。gef00675さんは、もしかしてパズルとか得意ですか?(笑)

こういうパズルの問題は面白いですね。そろそろ閉めようかなと思っていたのですが、なんかいろんな解き方がありそうなので、もうちょっとだけ待ってみたいと思います。

ちなみに知り合いの大学の先生にこの問題を教えたら、そこの学科の他の先生や学生さんがみんなが面白がって取り組んでいるそうです。ただ、いまだに解けた人はいないそうです。

お礼日時:2009/05/15 21:07

#1です。


□でもαでもOKですし、
消去算なんかで
(5×□+2×△)-(3×□+2×△)=2×□
2×□=10 → □=5 
なんて考えたりしますが、
この操作と
2□÷2=□
の操作
は感覚的に違うなぁ、と個人的に思ったわけです。

このへんの作業は、文字(□)でなく、比で考えてもいいかもしれませんね。
AB:JH=2:1とか
△AGFとくらべて、底辺は2倍、高さが(1/2)倍だから
△AGFと△ABHの面積が等しい
とか。
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この回答へのお礼

再びご意見、ありがとうございます。

私は
> 2×□=10 → □=5
のように、置き換えた文字の値を直接求めることは、方程式を解くことになると思い、それはしませんでした。αがどんな値かわからなくてもよい、まさに「置き換え」で解きました。

でも、確かに比で直接考えてしまう方がいいかもしれませんね。

お礼日時:2009/05/14 21:13

>二辺とその間の角度が同じことから、△JBKと△JHKは合同である。



今の小学生って、合同とか、それと絡めた証明っぽいことってできるんでしたっけ?

私の小学生時分(ウン十年前)でも自信ない・・・
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この回答へのお礼

ご意見、ありがとうございました。

新指導要領をみたら、合同はありましたが相似はないみたいですね。ちょっと前の指導要領だと、どちらも中学の単元みたいですし。私が小学生の時(80年代前半)は両方ともあったのですが...

ただ、中学入試問題としては「三角形の合同・相似」は頻出問題ということもありますので、「中学入試問題を解くレベル」ならOKではないかと、言い訳をしておきます(笑)。

お礼日時:2009/05/14 15:16

△ABH=α×α÷2


△AGF=α×α÷2
だから△ABH=△AGF
ってのは同じ形だから大丈夫だろう、といことにして

>辺JH=αであることから辺HL=1/2×α
文字式っぽくて、気になります。
αをα×2にして、辺JH=α×2→辺HL=α
としても、文字式の計算っぽくなりますねぇ、面積だすところとか。


私も、この問題気になっていたので、便乗して、解答貼らせていただきます。

求める台形をABCD(図1)として、
図2のように、BCがわにひっくり返したのをつけて
AD'とA'Dの交点をEとすると、EはBC上にあるので
△ABD=△AEDになります
図3の△DCFはCDを斜辺とする直角二等辺三角形で
△DCF=△AEDとなり、
台形ABCDと△BCFの面積は等しくなります。
図4でBFがわに△BCFをひっくり返したのをつけて
△BCC'を考えると、これは頂角30°のBC=BC'の二等辺三角形になります。
よってBC'=4cm、C'からBCに垂線を下ろすと、C'Hは2cmになり
△BCC'の面積は4平方センチメートル
もとめる台形はこの半分なので
2平方センチメートルとなります。
「[訂正]この解答はOKですか?」の回答画像1
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この回答へのお礼

ご意見、ありがとうございました。

おっしゃる通り、ちょっと文字式的になってますが、一応小学校でもわからない数字の箇所を□とかの記号で置き換えるのはありだったような気がしたので、使ってみました。

#□だと△と紛らわしいかと思ったので、αで置き換えました。

i_nojiさんの解答は置き換えがないので、こっちの方がスマートですね。

お礼日時:2009/05/14 14:06

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