入力が実数で、かつフーリエ級数で表せる場合 
LTIシステムに通したときの応答は
常に実数なのでしょうか、
それとも複素数の応答になることもあるのでしょうか?

よろしくおねがいします。

A 回答 (1件)

常に実数になると思います。

フィードバック演算が含まれていないため、複素数にはならないはずです。
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この回答へのお礼

返事が遅くなってすみません。回答ありがとうございます。参考になりました。

お礼日時:2009/06/04 15:23

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Q複素フーリエ級数を求めよ、と

複素フーリエ級数を求めよ、と
複素フーリエ級数展開を求めよ の違いが最近分からなくなりました。

f(x) = ○○ と与えれた場合、(例えば sinx)
それを

Cn = C0 + Σ △△ の形に変形するのが
複素フーリエ級数を求めた形になるのでしょうか?

ならば複素フーリエ級数展開は…?とこんがらがっています。
どなたか教えてください。

Aベストアンサー

周期関数f(x)(基本周期T)が与えられたとき
f(x)=Σ[n=-∞→∞] C[n]e^(inx/T) …(1)
ただし、C[n]=(1/T)∫[0→T]f(t)e^(-inx/T)dx
の級数形式にf(x)を変換することを複素フーリエ級数展開といい、
(1)の右辺の展開された級数の形式を複素フーリエ級数(または複素級数展開式)という。式の中の[n]は下付き文字を表すものとします。

はっきり区別して使わない場合もありますが、
級数の形式を単に(一般的に)級数と呼び、
関数f(x)を級数の形の式に変換(展開)することを級数展開と呼び、
f(x)を展開した級数の形の式を級数展開式と呼んで、
展開前のf(x)と区別します。
まえに「複素フーリエ」とつければ、複素フーリエ級数とか、複素フーリエ級数展開式となりますね。
この呼称のを式を取り除いて、複素フーリエ級数展開を両方の意味で使っている場合も見られます。

Q複素フーリエ級数展開を導くときの係数CnとC-nについて

複素フーリエ級数展開を導くときの係数CnとC-nについて
http://okawa-denshi.jp/techdoc/2-2-4Spectrum.htm
のページで言うと式2-2-10のところからわかりません。

係数は1つのCnでかけた方が美しいので最終的な形を見越してまとめていくので
しょうが・・・

Cnのほうはan-jbnでC-nはan+jbnですが、C-nを別の文字Knとして
Cn=1/2(an-jbn)で、Kn=1/2(an+jbn)
これをどうやったらjの前の符号だけをマイナスに変えられるのでしょうか?・・・(1)


また、式2-2-11でeの指数の符号-jnωtの符号をプラスにする際にシグマの範囲が
変わる理屈ご存知でしたらご教示頂きたく思います。・・・(2)

シグマは総和をあらわす記号ですが、範囲のはじめと終わりは順序数(自然数)という
決まりがあるのでしょうか?n=○という形で記載があればnだから自然数かなとは
思いますが・・・今回は範囲がn=-∞になっているので整数の範囲に勝手に拡張されてます。

そこらへんもあわせてご教示いただけるとうれしいです。よろしくお願いします。

複素フーリエ級数展開を導くときの係数CnとC-nについて
http://okawa-denshi.jp/techdoc/2-2-4Spectrum.htm
のページで言うと式2-2-10のところからわかりません。

係数は1つのCnでかけた方が美しいので最終的な形を見越してまとめていくので
しょうが・・・

Cnのほうはan-jbnでC-nはan+jbnですが、C-nを別の文字Knとして
Cn=1/2(an-jbn)で、Kn=1/2(an+jbn)
これをどうやったらjの前の符号だけをマイナスに変えられるのでしょうか?・・・(1)


また、式2-2-11でeの指数の符号-jnωtの符号をプラスに...続きを読む

Aベストアンサー

質問者さんがどの辺りで躓いているのかよく分からないので、
いくつか書いていきます。

まず天下り的に知識から

フーリエ級数展開は実数の関数を表せ、
複素フーリエ級数展開は複素数の関数を表せます。
つまり複素フーリエ関数はフーリエ級数展開の上位バージョンです。
ですから、参照HPは複素フーリエ級数展開を導いているというよりは、
(実数)フーリエ級数展開との対応をとっている、といった方がベターです。
具体的に言うと、複素フーリエ変換にCn=an-jbnでC-n=an+jbn、
つまりCnとC-nが複素共役である、という条件が加わると
複素フーリエ展開で表される関数は実数関数に制限されます。


参考HPの流れをざっくりと、

フーリエ級数展開はsin,cosで表される。
これをオイラーの公式でe^(jnwt)の形に分解すれば複素フーリエ展開になりそうだ。
分解してみると
e^(jwt), e^(2jwt), e^(3jwt), e^(4jwt)・・・e^(jnwt)・・・・
e^(-jwt), e^(-2jwt), e^(-3jwt), e^(-4jwt)・・・e^(-jnwt)・・・・
等の項が出てきたがそれぞれの係数をどう置こう?正方向に無限個、負方向に無限個・・・
sin,cosの時は正方向に無限個だけだったのに項の数が倍になってしまった。
よし、自然数を使ってそれぞれの項にかかる係数は、次のように置くことにしよう。
C1, C2, C3, C4・・・Cn・・・
C-1,C-2,C-3,C-4・・・C-n・・・
負の方向の項には自然数nにマイナスをつけてカバー。
シグマで足し合わせるときには第1項から第∞個まで足し合わせればOKだな。
実際に計算してみると、フーリエ級数展開の整数を用いて
Cn =an-jbn  
C-n=an+jbn
という対応が取れるみたいだ。
・・・・・4,3,2,1,0,-1,-2,-3,-4・・・・・番目の項がそれぞれあるわけだから
自然数nよりも整数mで表現したほうが綺麗だ。
正の項の場合は、Cne^(jnwt)はそのままCme^(jmwt)で置き換えてよさそうだ
負の項の場合は、例えばC-2e^(-j2wt)はCme^(jmwt) [m=-2]だから
マイナスをjの前につけずに常にCme^(jmwt)で表してしまってよさそうだ。
つまり
Σ(n=1→∞)C-ne^(-jnwt)
にm=-nを代入してやれば
Σ(n=1→∞)C-ne^(-jnwt)=Σ(m=-1→-∞)Cme^(jmwt)か
m=0の時は、項がe^(j0wt)=1だから、定数a0/2を係数C0に還元してやることにしよう。
mがマイナスの項もあるからシグマで足し合わせるときは第-∞項から第∞項まで
足し合わせないといけないな。
結局全部まとめるとΣ(m=-∞→∞)Cme^(jmwt)
記号は何でもいいからmじゃなくてnを使っておくか、
Σ(n=-∞→∞)Cne^(jnwt)



質問に答えられて無いかも知れないですけど。
参考程度に。

質問者さんがどの辺りで躓いているのかよく分からないので、
いくつか書いていきます。

まず天下り的に知識から

フーリエ級数展開は実数の関数を表せ、
複素フーリエ級数展開は複素数の関数を表せます。
つまり複素フーリエ関数はフーリエ級数展開の上位バージョンです。
ですから、参照HPは複素フーリエ級数展開を導いているというよりは、
(実数)フーリエ級数展開との対応をとっている、といった方がベターです。
具体的に言うと、複素フーリエ変換にCn=an-jbnでC-n=an+jbn、
つまりCnとC-nが複素共役であ...続きを読む

Qフーリエ級数とフーリエ変換

大学の試験で問題が発表されて、そのうちの一つに
「フーリエ変換とはどういうものか述べよ」というのがありました。
そこで疑問に思ったのですが、フーリエ級数とフーリエ変換の違いって何ですか?
自分なりに調べてみて、

・フーリエ級数は、任意の関数がある区間で、三角関数の足し合わせで表現したもの。
・フーリエ変換は、フーリエ級数展開の周期を無限大まで飛ばしたもの。こうすることで、元の関数との誤差が0になる。

これって正しいですか?(数学の試験ではないので、難しい数式とかで証明する必要はありません)

Aベストアンサー

似たような用語で「フーリエ展開」も有ります。
フーリエ変換とかフーリエ展開は、歪んだ波からフーリエ級数を求める事を言います。つまり、フーリエ変換やフーリエ展開は操作(動詞or動名詞)、フーリエ級数はその結果を言うわけです。

一方、工学の世界では、複雑な波を、周波数別に分離する手段としてフーリエを使います。どちらかと言うと位相は気にせずに周波数とその強さだけを気にします。
このときも、フーリエ変換とかフーリエ展開といっていると思います。
よく、アンプの特性グラフなどで、縦軸:振幅、横軸:周波数と言うのを見ます。
波の分析で「スペクトラムアナライザ」というのを使いますが、これなど、まさに周波数とその強さだけを、ブラウン管上に表示するものです。

Q量子力学 波動関数の実数と複素数

量子力学習いたてのものです
授業のまとめをしていたのですが、教授の作ったテキストに違和感を感じて投稿しました
一次元井戸型ポテンシャル(範囲が0からa)上の電子から時間に依存しないシュレティンガー方程式を導き、そのあとで、電子のド・ブロイ波の振幅に関するボルンの確率論的解釈(波動関数ψ(x)に対し、ψ(x)²dxをx~x+dxに間に電子が観測される確率とする)を導入したのちに、波動関数の定数部分を求めてみよう、という内容でした。
その時に、テキストでは波動関数ψ(x)を
ψ(x)=Asin(2πx/λ) (Aは定数)
とおいて、∫(0→a)ψ(x)²dx=1
よりAを求め、
ψ(x)=√(2/a)・sin(nπx/a)
を得ていました 
しかし、講義では波動関数には複素数が定義されている、というか一般式が
ψ(x)=Acos(2πx/λ)+iB(2πx/λ) (A,Bは実数、i=√(-1))
と教わりました(この部分は板書が汚かったので私が読み間違っている可能性があります)
テキストではなぜか波動関数を勝手に実数に限定しているようです
そのため自分でこの場合も同様にして波動関数を求めてみました
すると
ψ(x)=i√(2/a)・sin(nπx/a)
と虚数単位を付けただけで、あとは同じような関数が得られました

テキストではなぜ実数を考えていたのでしょうか?
そして、この波動関数の複素数、特にこの場合での複素数の意味はあるのでしょうか?
この二つを教えていただきたいです
まだ偏微分を習っていないため、電子を一次元内に存在すると仮定しています
ただ検索しても偏微分の記号や偏微分に関するものがあったり、問題設定が決定的に違い量子力学習いたての私では理解ができないです

もし、
ψ(x)=Acos(2πx/λ)+iB(2πx/λ) (A,Bは実数、i=√(-1))
が間違っているようでしたら訂正もお願いします
本当に習いたてですので、もしかなり高等な理論が展開されるようなら、後々習いますよ、とさえ言っていただければ大丈夫です

量子力学習いたてのものです
授業のまとめをしていたのですが、教授の作ったテキストに違和感を感じて投稿しました
一次元井戸型ポテンシャル(範囲が0からa)上の電子から時間に依存しないシュレティンガー方程式を導き、そのあとで、電子のド・ブロイ波の振幅に関するボルンの確率論的解釈(波動関数ψ(x)に対し、ψ(x)²dxをx~x+dxに間に電子が観測される確率とする)を導入したのちに、波動関数の定数部分を求めてみよう、という内容でした。
その時に、テキストでは波動関数ψ(x)を
ψ(x)=Asin(2πx/λ) (Aは定数)...続きを読む

Aベストアンサー

例えばある棒や矢印の「向き」を表現したいとき、ベクトルを使って表現するのがわかりやすいと思いますが、
ベクトルvの指し示す向きと、正の実数αを用いてαvというベクトルが指し示す向きは同じになりますよね。当然ベクトルの大きさは異なりますが、向きだけを知りたいのであれば大きさの違いがあるかどうかは関係がないわけです。
とは言うものの、何かの向きを求めたいとき、その向きを表すベクトルが複数あるのは不便なことが多いです。(例えばある方程式から向きを求めたい場合、常に解が複数ある(=不定方程式になっている)事を意味します)
そういうことが困るときには、例えば|v|=1のように長さを特定の値に制限することで、向きとベクトルが1対1に対応するようになってくれるのですね。(例えばある計算からv=(3,4)と求まったとしたら、このベクトルの長さで割ったv=(3/5,4/5)を向きを表すベクトルだと思う事にする、という事を言っています)
量子力学の話を念頭に置いた言葉遣いをすると、|v|=1のように長さを制限することを「規格化」と言います。

これと同様な事は量子力学(波動関数)においてもおこります。
波動関数ψが表している状態と、0でない複素数αを用いてαψという波動関数が表している状態は同じものになります。
そうすると、向きとベクトルの話と同様に、必要に応じてαを適切に選ぶことにすれば、ψに関してある条件(規格化条件)を自由に課すことができる事になります。

テキストから引用されている
>ψ(x)=Asin(2πx/λ) (Aは定数)
Aは定数としか言っておらず、実数に限るとは言っていないようですがいかがでしょうか。

>テキストではなぜ実数を考えていたのでしょうか?
お示しのテキストでもそうだと思いますが、多くの場合、|ψ|=1という規格化条件を選びます。
この条件から|A|の値が決まる事になりますがAの位相因子についてはこの条件からは決まりません。
しかし、α倍しても同じ状態を表す事を踏まえると、αの位相を適切に選ぶという事を前提にすれば「Aが正の実数」であるという条件を課すこともできるのですね。

>そして、この波動関数の複素数、特にこの場合での複素数の意味はあるのでしょうか?
>ψ(x)=i√(2/a)・sin(nπx/a)
の事を言っているのであれば、この波動関数に-iをかけてやれば、テキストにある解と一致し、同じ状態を表していることが確認できます。

例えばある棒や矢印の「向き」を表現したいとき、ベクトルを使って表現するのがわかりやすいと思いますが、
ベクトルvの指し示す向きと、正の実数αを用いてαvというベクトルが指し示す向きは同じになりますよね。当然ベクトルの大きさは異なりますが、向きだけを知りたいのであれば大きさの違いがあるかどうかは関係がないわけです。
とは言うものの、何かの向きを求めたいとき、その向きを表すベクトルが複数あるのは不便なことが多いです。(例えばある方程式から向きを求めたい場合、常に解が複数ある(=不定方...続きを読む

Qフーリエ級数

 私は、現在フーリエ級数について学習中ですが、現在ではのこぎり波(三角波)を用いたフーリエ級数の求め方に悪戦苦闘しています。この場合は短形波を用いたフーリエ級数と同じようにフーリエ係数(An, Bn)を使って解くのでしょうか?
説明不足かもしれませんが、どなたかよろしくお願いします。
ちなみに、参考文献はありますか?

Aベストアンサー

 矩形波では、矩形波を
  f(x)=0 (-π<x<0)
    =1 (0<x<π)
として、フーリエ係数を次のように求めたことと思います。(積分区間はすべて -π→π とします。)
  a0=1/(2π)∫f(x)dx =1/2
  An=1/π ∫f(x)cos(nx)dx=0
  Bn=1/π ∫f(x)sin(nx)dx=2/(nπ) (n:odd), 0 (n:even)
 ∴f(x)=1/2+2/π {sin(x)+(1/3)sin(3x)+(1/5)sin(5x)+・・・)

 のこぎり波でも、定義どおりに同様に求めることができ、こちらの方が奇関数ですから、フーリエ余弦係数が0になりますので、計算が楽にできます。

 のこぎり波の式を
  g(x)=x  (-π<x<π)
とおきますと、フーリエ係数は、
  An=(1/π) ∫x cos(nx)dx=0
  Bn=(1/π) ∫x sin(nx)dx
   =(2/π) ∫x sin(nx)dx   (ここだけ積分区間は 0→π)
   =(-1)^(n+1) 2/n
と求められますので、展開式は次のようになります。
  g(x)=2{ sin(x)-(1/2)sin(2x)+(1/3)sin(3x)-・・・)

 
 フーリエ係数の求め方については、多くのサイトで解説されていますので、「フーリエ級数展開、フーリエ係数」などの用語で検索されるとよいと思います。

 矩形波では、矩形波を
  f(x)=0 (-π<x<0)
    =1 (0<x<π)
として、フーリエ係数を次のように求めたことと思います。(積分区間はすべて -π→π とします。)
  a0=1/(2π)∫f(x)dx =1/2
  An=1/π ∫f(x)cos(nx)dx=0
  Bn=1/π ∫f(x)sin(nx)dx=2/(nπ) (n:odd), 0 (n:even)
 ∴f(x)=1/2+2/π {sin(x)+(1/3)sin(3x)+(1/5)sin(5x)+・・・)

 のこぎり波でも、定義どおりに同様に求めることができ、こちらの方が奇関数ですから、フーリエ余弦係数が0になりますので、...続きを読む

Qフーリエ級数でノコギリ波をあらわすのですが

いつもお世話になっております。中学生です。
何時間も計算しているのですが添付にあります式に
たどり着きません(解法は載っていない本です)。
唐突ではありますが、関数f(t)をフーリエ級数であらわしたとき、
f(t)=A[0]+Σ[n=1~∞] { A[n]*(cos(nωt)+ B[n]*sin(nωt) }
と書けるとして、自分は係数を求めようとしました(当然)。
A[0]とA[n]は零になったので、あとはf(t)にsin(nωt)を掛けて
周期で(-T/2~T/2で)積分しようとしました。
f(t)は、図から試しにf(t)=tとして行い、部分積分して
最後に2/Tを掛け、他T=2π/ωなどを駆使して導けると思ったのですが、どうしても添付にあります式にたどり着きません。
そもそも添付のグラフに縦軸の値がないのですが、f(t)=tが
間違っているのでしょうか。
当てになりませんが、
斜め線の範囲がTと書いてあるので、積分区間を(-T/2~T/2)としました。

考え方や、計算の仕方に間違いがありましたらわかる方、ご指摘
願いたいと思います。積分の演算やフーリエ級数の導き方はなんとか
分かっているので、遠慮のない回答をお願い致します。
よろしくお願い致します。

いつもお世話になっております。中学生です。
何時間も計算しているのですが添付にあります式に
たどり着きません(解法は載っていない本です)。
唐突ではありますが、関数f(t)をフーリエ級数であらわしたとき、
f(t)=A[0]+Σ[n=1~∞] { A[n]*(cos(nωt)+ B[n]*sin(nωt) }
と書けるとして、自分は係数を求めようとしました(当然)。
A[0]とA[n]は零になったので、あとはf(t)にsin(nωt)を掛けて
周期で(-T/2~T/2で)積分しようとしました。
f(t)は、図から試しにf(t)=tとして行い、部分積分して
最後に2/T...続きを読む

Aベストアンサー

グラフの最大値を1、最小値を-1と仮定してみると、t=-T/2でf(t)=-1、t=T/2でf(t)=1となります。
そこで、区間[-T/2,T/2]において f(t)=2t/T
となります。
この仮定をすると、結果が合います。
目盛が書いていないグラフは困ったものですね。

Qフーリエ級数の問題ですが。。

フーリエ級数の問題ですが。。

u(x)=x, (-1/2<x<1/2)でのフーリエ級数を求めたいのですが,
どなたか教えて頂けないでしょうか。。

お願い致します。

Aベストアンサー

基本周期Tを指定してください。それによって展開式が変わります。
指定したxの範囲以外はどうなっていますか?

フーリエ級数展開の展開式も色々な定義がありますが、質問者さんが使う展開式の定義式とその係数を与える積分の式はどこにも載っていますが、どの形式の係数の式を使いますか?補足に書いて下さい。
以上が決まれば、積分するだけだと思います。

参考になるURL
http://questionbox.jp.msn.com/qa4928281.html

Qフーリエ級数について

フーリエ級数について簡単に調べると直流成分+基本波成分+高調波成分の合成によって表すもので、その逆で3つに分解することがフーリエ級数展開だというものでよろしいんですか?
また、計算式がインテグラルド?fみたいなやつと、sinを使う2つがあるのですが、どちらを使うべきなのでしょうか?

Aベストアンサー

フーリエ変換にはいくかの種類がありますが、どれも考えている関数を波の重ねあわせであらわそうというものです。

(1)フーリエ級数展開 (f(x)=Σ_n sin(nπx/L)とか)
(2)フーリエ積分表示 f(x)∫dk F(k)e^{ikx}

があります。(1)は周期的な関数に使います。(2)は周期がない-∞~∞で定義された関数に使います。扱える関数としては(2)の方が広いわけなので(2)だけ勉強すれば(1)は必要ないわけです。しかし(2)の積分表示で周期のある関数を扱ってみると(1)の形に帰着します。つまり積分が消えて和になります。しかし通常の教科書は(1)を勉強してその拡張として(2)を説明するパターンが多いと思われます。理由はフーリエ級数の方が数学的に扱いやすいですからです。δ関数ならっていたら、例えばF(k)=δ(k-1)-δ(k+1)のような例を考えると

∫dk F(k)e^{ikx}=∫dk [δ(k-1)-δ(k+1)]e^{ikx}
=e^{ikx}-e{-ikx} =2isin(kx)

となって(1)の級数表示みたいになります。この関数はsinですから周期があるということになります。
もともとsinが周期関数だから答えも周期関数になるのです。


質問の答えですが、

周期がある関数f(x)=f(x+L)などの場合には(1)を使います。(2)を使ったら無駄な努力をして(1)に帰着しますから時間の浪費です。

____/|_____/|_____/|_____

↑この関数は周期ありますよね、よってフーリエ級数展開を使ってください。

周期がない関数で-∞~∞で定義されたものはフーリエ積分変換して、フーリエ(積分)逆変換で表します。

フーリエ変換にはいくかの種類がありますが、どれも考えている関数を波の重ねあわせであらわそうというものです。

(1)フーリエ級数展開 (f(x)=Σ_n sin(nπx/L)とか)
(2)フーリエ積分表示 f(x)∫dk F(k)e^{ikx}

があります。(1)は周期的な関数に使います。(2)は周期がない-∞~∞で定義された関数に使います。扱える関数としては(2)の方が広いわけなので(2)だけ勉強すれば(1)は必要ないわけです。しかし(2)の積分表示で周期のある関数を扱ってみると(1)の形に帰着します。つまり...続きを読む

Qフーリエ級数展開について

振幅がVである、あるエネルギーE(V)をフーリエ級数展開したときの第一項目がE(V)=-Vcos(2θ)とあるのですが、どういうことを意味しているのかを教えてください。
抽象的で申し訳ないのですが、
どうしてフーリエ級数展開の第一項目がこのように表わせるのか、
などのアドバイスが頂けたら幸いです。
質問の意味がわからないという方もいると思いますがご容赦ください。

Aベストアンサー

問題の情報不足です。
フーリエ級数展開する場合、基本周期または展開区間が与えられていないと展開できません。

仮に変数がθで、基本周期が2πとすれば
展開係数のa0=a1=b1=0を意味します。
E(V)をテイラー展開系で近似して表せば
E(V)=V*(2θ^2-1)+V*0(θ^4) (|θ|<<1)

ここで、0(θ^4)はθの4乗項以上の総和とします。

と表される位の情報くらいしかわかりませんね。

Qフーリエ級数展開が可能

有限な電力の信号はフーリエ級数展開が可能だと習ったのですが、無限の電力ってどういう物なんでしょうか?

Aベストアンサー

専門家からはもっと厳密で正確な答えが寄せられると思うのですが、
とりあえず私流の粗雑な考え方だと次のようになります。

#1様の「フーリエ級数展開が可能なのは、周期的に繰り返される信号ではなかったでしょうか?」はその通りです。そして周期的ということから一周期の間での信号挙動を分析対象とするだけで全てを語れます。フーリエ級数の式も一周期の範囲だけ扱うようになっていますよね。一周期という有限の時間では扱う信号のパワーは有限です。信号が電気信号だったら信号の電力は有限。

周期性が保証されない一般の信号を扱うときは、無限の時間についてその信号を議論しないといけないわけで、フーリエ変換の定義式の積分範囲が-∞から+∞になっていることがその現れです。無限の範囲について信号があり得るという状況なわけですから、信号のパワーは無限大です。信号が電気信号だったら信号の電力は無限。

大体こんなところで間に合うのではないかと。繰り返しますが、あまり正確な言い方ではないんだろうなと自覚していますから、専門家からもっと適切な回答があればそちらを信用してください。

専門家からはもっと厳密で正確な答えが寄せられると思うのですが、
とりあえず私流の粗雑な考え方だと次のようになります。

#1様の「フーリエ級数展開が可能なのは、周期的に繰り返される信号ではなかったでしょうか?」はその通りです。そして周期的ということから一周期の間での信号挙動を分析対象とするだけで全てを語れます。フーリエ級数の式も一周期の範囲だけ扱うようになっていますよね。一周期という有限の時間では扱う信号のパワーは有限です。信号が電気信号だったら信号の電力は有限。

周期性...続きを読む


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