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三平方の定理は直角三角形の斜辺以外の二辺をa,bとしたとき
残った斜辺cが
a^2+b^2=c^2
で求められるという公式ですが
逆の「a^2+b^2=c^2なら直角三角形である」の証明はどうやってやるのでしょう?

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A 回答 (5件)

ユークリッドっぽく…



三辺 a,b,c が a~2+b~2=c~2 を満たす三角形 Δ1 と、
二辺 a,b が直角を挟む三角形 Δ2 が、あるとします。

三平方の定理より、Δ2 の第三の辺は c なので、
三辺相当によって、Δ1 と Δ2 は合同。

すなわち、Δ1 も直角三角形です。
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・一辺の長さがcの正方形ABCDを書きます。


・ABを直径とする円を正方形の内側に描きます。
・Aを中心とした半径aの円を描きます。
・2つの円の交点をEとします。△ABEは直角三角形になります。
 BE=xとします。

「a^2+b^2=c^2」が成り立てばx=bであることを示すことが出来れば「a^2+b^2=c^2 であれば直角三角形である」ことの証明になるでしょう。

・BE上に点Fを取りBF=aとします。FCを結んでその線上にCG=aとなる点Gを取ります。GDを結んでその線上にDH=aとなる点Hを取ります。HAを結びます。点EはHA上に来ます。

△ABE≡△BCF≡△CDG≡△DAH
四角形EFGHは一辺の長さがx-aの正方形です。

面積の関係より
c^2=4(ax/2) +(x-a)^2
  =a^2+x^2

これよりx=bであることがわかります。


三角関数の性質は三平方の定理を使って出てきますので三平方の定理の証明に三角関数を使うことは出来ないと思います。
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C が


・鋭角: a^2 + b^2 > c^2
・直角: a^2 + b^2 = c^2
・鈍角: a^2 + b^2 < c^2
ということはいいでしょうか. 実は, これを認めればほぼ自明です. だって, a^2+b^2 = c^2 を仮定すると C は鋭角でも鈍角でも矛盾する....
一般に,
A1→B1
A2→B2
....
An→Bn
とあって Ai, Bi がそれぞれ排反かつ Ai, Bi がそれぞれで可能な場合をすべて尽くしている場合, この逆もすべて成り立ちます. 例えば B1 を仮定すると, A1 以外はすべて矛盾しますね.
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余弦定理を利用すれば、どうですか。


c^2=a^2+b^2-a.b cos(辺aとbの間の角)
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