三平方の定理の逆

三平方の定理は直角三角形の斜辺以外の二辺をa,bとしたとき
残った斜辺cが
a^2＋b^2=c^2
で求められるという公式ですが
逆の「a^2＋b^2=c^2なら直角三角形である」の証明はどうやってやるのでしょう？

No.4 ベストアンサー 回答者： arrysthmia 回答日時： 2009/05/14 20:41

ユークリッドっぽく…

三辺 a,b,c が a~2+b~2=c~2 を満たす三角形 Δ1 と、
二辺 a,b が直角を挟む三角形 Δ2 が、あるとします。

三平方の定理より、Δ2 の第三の辺は c なので、
三辺相当によって、Δ1 と Δ2 は合同。

すなわち、Δ1 も直角三角形です。

No.5 回答者： htms42 回答日時： 2009/05/15 05:17

・一辺の長さがｃの正方形ＡＢＣＤを書きます。

・ＡＢを直径とする円を正方形の内側に描きます。
・Ａを中心とした半径ａの円を描きます。
・２つの円の交点をＥとします。△ＡＢＥは直角三角形になります。
　ＢＥ＝ｘとします。

「ａ^2＋ｂ^2＝ｃ^2」が成り立てばｘ＝ｂであることを示すことが出来れば「ａ^2＋ｂ^2＝ｃ^2　であれば直角三角形である」ことの証明になるでしょう。

・ＢＥ上に点Ｆを取りＢＦ＝ａとします。ＦＣを結んでその線上にＣＧ＝ａとなる点Ｇを取ります。ＧＤを結んでその線上にＤＨ＝ａとなる点Ｈを取ります。ＨＡを結びます。点ＥはＨＡ上に来ます。

△ＡＢＥ≡△ＢＣＦ≡△ＣＤＧ≡△ＤＡＨ
四角形ＥＦＧＨは一辺の長さがｘ－ａの正方形です。

面積の関係より
ｃ^2＝４(ａｘ／２)　＋（ｘ－ａ）^2
　　＝ａ＾２＋ｘ＾２

これよりｘ＝ｂであることがわかります。


三角関数の性質は三平方の定理を使って出てきますので三平方の定理の証明に三角関数を使うことは出来ないと思います。

No.3 回答者： Tacosan 回答日時： 2009/05/14 19:01

C が

・鋭角: a^2 + b^2 > c^2
・直角: a^2 + b^2 = c^2
・鈍角: a^2 + b^2 < c^2
ということはいいでしょうか. 実は, これを認めればほぼ自明です. だって, a^2+b^2 = c^2 を仮定すると C は鋭角でも鈍角でも矛盾する....
一般に,
A1→B1
A2→B2
....
An→Bn
とあって Ai, Bi がそれぞれ排反かつ Ai, Bi がそれぞれで可能な場合をすべて尽くしている場合, この逆もすべて成り立ちます. 例えば B1 を仮定すると, A1 以外はすべて矛盾しますね.

No.2 回答者： sinisorsa 回答日時： 2009/05/14 18:09

余弦定理を利用すれば、どうですか。

c^2=a^2+b^2-a.b cos(辺aとbの間の角）

No.1 回答者： owata-www 回答日時： 2009/05/14 18:08

こういう風に

http://contest.thinkquest.jp/tqj2002/50027/page1 …