三平方の定理は直角三角形の斜辺以外の二辺をa,bとしたとき
残った斜辺cが
a^2+b^2=c^2
で求められるという公式ですが
逆の「a^2+b^2=c^2なら直角三角形である」の証明はどうやってやるのでしょう?

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A 回答 (5件)

ユークリッドっぽく…



三辺 a,b,c が a~2+b~2=c~2 を満たす三角形 Δ1 と、
二辺 a,b が直角を挟む三角形 Δ2 が、あるとします。

三平方の定理より、Δ2 の第三の辺は c なので、
三辺相当によって、Δ1 と Δ2 は合同。

すなわち、Δ1 も直角三角形です。
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・一辺の長さがcの正方形ABCDを書きます。


・ABを直径とする円を正方形の内側に描きます。
・Aを中心とした半径aの円を描きます。
・2つの円の交点をEとします。△ABEは直角三角形になります。
 BE=xとします。

「a^2+b^2=c^2」が成り立てばx=bであることを示すことが出来れば「a^2+b^2=c^2 であれば直角三角形である」ことの証明になるでしょう。

・BE上に点Fを取りBF=aとします。FCを結んでその線上にCG=aとなる点Gを取ります。GDを結んでその線上にDH=aとなる点Hを取ります。HAを結びます。点EはHA上に来ます。

△ABE≡△BCF≡△CDG≡△DAH
四角形EFGHは一辺の長さがx-aの正方形です。

面積の関係より
c^2=4(ax/2) +(x-a)^2
  =a^2+x^2

これよりx=bであることがわかります。


三角関数の性質は三平方の定理を使って出てきますので三平方の定理の証明に三角関数を使うことは出来ないと思います。
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C が


・鋭角: a^2 + b^2 > c^2
・直角: a^2 + b^2 = c^2
・鈍角: a^2 + b^2 < c^2
ということはいいでしょうか. 実は, これを認めればほぼ自明です. だって, a^2+b^2 = c^2 を仮定すると C は鋭角でも鈍角でも矛盾する....
一般に,
A1→B1
A2→B2
....
An→Bn
とあって Ai, Bi がそれぞれ排反かつ Ai, Bi がそれぞれで可能な場合をすべて尽くしている場合, この逆もすべて成り立ちます. 例えば B1 を仮定すると, A1 以外はすべて矛盾しますね.
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余弦定理を利用すれば、どうですか。


c^2=a^2+b^2-a.b cos(辺aとbの間の角)
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Aベストアンサー

10人に2人くらいかなと思います。
私も今まで6つバイトをしてきましたが、どれも半年くらいしかもちませんでした↓
酷いのは今やっている販売のバイトを一週間で辞めようと思っています(^^;)
こんな奴が最近はとても多いみたいですよ。
辞める人が多いから研修期間として一週間、そして続ける気があるかないかの面接を行うと言われたので。(そこで辞める気です)

QF_n=(a+b+c)^(2n+1)-{a^(2n+1)+b^(2n+1)+c^(2n+1)} の因数分解

F_n=(a+b+c)^(2n+1)-{a^(2n+1)+b^(2n+1)+c^(2n+1)} 
(n=1,2,3,4,5)
を因数分解せよ、という問題なのですが、どすればよいのでしょうか?

なお、答えは、

F_1=3(b+c)(c+a)(a+b)
F_2=5(b+c)(c+a)(a+b)(Σa^2+Σab)
F_3=7(b+c)(c+a)(a+b)(Σa^4+2Σa^3 b+3Σa^2 b^2+5Σa^2 bc)
F_4=3(b+c)(c+a)(a+b)(3Σa^6+9Σa^5 b+19Σa^4 b^2+35Σa^4 bc+23Σa^3 b^3+63Σa^3 b^2 c)
F_5=11(b+c)(c+a)(a+b)(Σa^8+4Σa^7 b+11Σa^6 b^2+21Σa^6 bc+9Σa^5 b^3+54Σa^5 b^2 c+23Σa^4 b^4+84Σa^4 b^3 c+123Σa^4 b^2 c^2+159Σa^3 b^3 c^2)

のようなのですが、(b+c)(c+a)(a+b)を因数に持つことは分かりますが、残りの因数はどうやってもとめるのでしょうか?

一文字を変数と見て、地道に割り算するしかないのでしょうか?
効率的な計算方法はありますでしょうか?

F_n=(a+b+c)^(2n+1)-{a^(2n+1)+b^(2n+1)+c^(2n+1)} 
(n=1,2,3,4,5)
を因数分解せよ、という問題なのですが、どすればよいのでしょうか?

なお、答えは、

F_1=3(b+c)(c+a)(a+b)
F_2=5(b+c)(c+a)(a+b)(Σa^2+Σab)
F_3=7(b+c)(c+a)(a+b)(Σa^4+2Σa^3 b+3Σa^2 b^2+5Σa^2 bc)
F_4=3(b+c)(c+a)(a+b)(3Σa^6+9Σa^5 b+19Σa^4 b^2+35Σa^4 bc+23Σa^3 b^3+63Σa^3 b^2 c)
F_5=11(b+c)(c+a)(a+b)(Σa^8+4Σa^7 b+11Σa^6 b^2+21Σa^6 bc+9Σa^5 b^3+54Σa^5 b^2 c+23Σa^4 b^4+84Σa^4 b^3 c+123Σa^4 b^2 c^2+159Σa^3 b^3 c^...続きを読む

Aベストアンサー

最後までは計算していませんが、次の方法でできそうです。
F_n = (b+c)(c+a)(a+b)(Σ[ABC] k_ABC a^A b^B c^C) とおきます。
(ここで、A+B+C = 2n+1 です。)
展開すると、F_n = (a^2 b + 略 + 2abc)(Σ[ABC] k_ABC a^A b^B c^C) です。
そして、F_n を例えば、a で A+2 回偏微分、a で B+1 回偏微分、
a で C 回偏微分、した後、a,b,c に 0 を代入します。
F_n=(a+b+c)^(2n+1)-{a^(2n+1)+b^(2n+1)+c^(2n+1)} に対しても同じようにします。
このようにすると、例えば C > 0 であれば、
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(与式)=a^2b-a^2c+b^2c-ab^2+ac^2-bc^2
=(c-a)b^2+(a^2-c^2)b+(c-a)ac
=(c-a)b^2+(a+c)(a-c)b+(c-a)ac
=(c-a)b^2-(-a-c)(c-a)b+(c-a)ac
=(c-a)(b^2-(-a-c)b+ac)
=(c-a)(b+a)(b+c)
=(a+b)(b+c)(c-a)

Aベストアンサー

(与式)=a^2b-a^2c+b^2c-ab^2+ac^2-bc^2
=(c-a)b^2+(a^2-c^2)b+(c-a)ac
=(c-a)b^2+(a+c)(a-c)b+(c-a)ac
=(c-a)b^2-(-a-c)(c-a)b+(c-a)ac
     ~~~~~~
       ⇑
     この式が間違い

+(a+c)(a-c)b の式から

-(-a-c)(c-a)b の式を作ったわけですが

+ に -1 をかけて - に、
(a+c) に -1 をかけて (-a-c) に、
(a-c) に -1 をかけて (c-a) に
それぞれ式変形していますが、これだと
(-1)×(-1)×(-1)=-1 倍していることになり、上の式とは「+」と「-」の符号が逆になってしまいます。

なので、
(a-c) を (c-a) にしたとき、
+ を - にかえればよく、(⇐ これだと (-1)×(-1)=1 倍なので、等しさが保てる)
=(c-a)b^2+(a+c)(a-c)b+(c-a)ac
=(c-a)b^2-(a+c)(c-a)b+(c-a)ac
以下
=(c-a)(b^2-(a+c)b+ac)
=(c-a)(b-a)(b-c)
=-(a-b)(b-c)(c-a)
になります。

(与式)=a^2b-a^2c+b^2c-ab^2+ac^2-bc^2
=(c-a)b^2+(a^2-c^2)b+(c-a)ac
=(c-a)b^2+(a+c)(a-c)b+(c-a)ac
=(c-a)b^2-(-a-c)(c-a)b+(c-a)ac
     ~~~~~~
       ⇑
     この式が間違い

+(a+c)(a-c)b の式から

-(-a-c)(c-a)b の式を作ったわけですが

+ に -1 をかけて - に、
(a+c) に -1 をかけて (-a-c) に、
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Q諺の 急がば回れ ってどういう意味??? 急いだ方が時間節約になるし、速く終わった方が良いじゃない?

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つぎにすることは、各項のaの係数に共通の因数がないか調べる。

(b-c)a^2-(b-c)(b+c)a+bc(b-c)
(b-c)が共通にある!これで括る。

(b-c){a^2-(b+c)a+bc}
あとは簡単ですね。


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