グラフを使って不等式を解け
(1)(2xー1)/xー1<x+1
(2)3x/x+2≧2x-1
分数関数の不等式が苦手です。。
解説お願いしますm(__)mm(__)m

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A 回答 (5件)

(1) 


(a) x-1>0(x>1)のとき
  2x-1<(x+1)(x-1)
  x(x-2)>0
 ∴x<0、2<x
  ただし、x>1なので、 x>2
(b) x-1<0(x<1)のとき
  2x-1>(x+1)(x-1)
  x(x-2)<0
 ∴0<x<2
  ただし、x<1なので、 0<x<1

 A. 0<x<1、2<x

(2) 上記(1)と同様に場合分けをして求めてください。
  x<-2、-1≦x≦1
 が求められると思います。


 ところで、2次不等式は大丈夫ですか?
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この回答へのお礼

ありがとうございました(><)

お礼日時:2009/05/15 02:04

不等号の左辺と右辺のグラフを描いて、グラフの上下関係が


不等号の向きと一致しているxの範囲を求めるだけ。

(1)(2x-1)/(x-1)<x+1
0<x<1,2<x

(2))3x/(x+2)≧2x-1
x<-2,-1≦x≦-1
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この回答へのお礼

ありがとうございます^^

お礼日時:2009/05/15 02:06

勘違いしてた上に計算ミス…#1はひどい (笑

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この回答へのお礼

理解できました^^♪
ありがとうございました!

お礼日時:2009/05/15 02:08

どこまで考えたのかが分からないのですが、たとえば左辺の分母を右辺に移項して1次関数と2次関数のグラフとして扱って解くことはできませんか?



ただし、分母が正なのか負なのかで、右辺に移項したときに不等号の向きが変わりますので、場合分けが必要となることに注意してください。
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この回答へのお礼

回答くださりありがとうございました^^

お礼日時:2009/05/15 02:11

(1)x<0、2<x


(2)x<-1/3(x≠-2)、0<x
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Q分数の足し算

分数の足し算を教えてください。
1/36+1/45=1/20 になるのでしょうが。ちょっと理解できません。

Aベストアンサー

分母が異なる分数は分母を同じになおしてやる必要があります。(通分といいます)
そこで分母同士を比べると「36=9x4」で「45=9x5」ですから、両方の最小公倍数を求めて、「9x4x5=180」を共通の分母にするのです。
すると式は
5/180(1/36の分母分子に5をかけた)+4/180(1/45の分母分子に4をかけた) となり、=9/180=1/20 です。

Qexp{L[1]x+L[2]x^2/2+L[3]x^3/3+…}=F[1]+F[2]x+F[3]x^2+…

フィボナッチ数列F[n]は、
F[1]=1,F[2]=1,F[n+2]=F[n+1]+F[n]
で定義され、リュカ数列L[n]は、
L[1]=1,L[2]=3,L[n+2]=L[n+1]+L[n]
で定義されます。このとき、

exp{L[1]x+L[2]x^2/2+L[3]x^3/3+…}=F[1]+F[2]x+F[3]x^2+…

が成り立つそうなのですが、どうしてなのですか?

右辺は、フィボナッチ数列の母関数と似ていてなんとか求められるのですが、左辺をどうして求めていいかわかりません。

なお、式は
http://mathworld.wolfram.com/FibonacciNumber.html
の(68)を参照しました。

Aベストアンサー

↓ここに証明がありますね。
http://maths.dur.ac.uk/~dma0rcj/PED/fib.pdf
(2.7 A surprising sum を見てください。)

参考URL:http://maths.dur.ac.uk/~dma0rcj/PED/fib.pdf

Qなぜ、分数の足し算引き算は分母をそろえないと計算できないのですか?掛け算割り算はなぜそろえなくても計算できるのですか?

なぜ、分数の足し算引き算は分母をそろえないと計算できないのですか?そして掛け算割り算はなぜそろえなくても計算できるのですか?

Aベストアンサー

 分母が異なると言うことは、1の長さが違うから、1の長さを合わせるために通分をします。1/2と1/3をたし算するときは、1/2を3/6に、1/3を2/6にして、1の長さを同じにしてから、たし算をします。
 3ドルのものを見たときに、1ドルが90円のとき、270円かと思い浮かぶのではないでしょうか? 分母が異なる分数のたし算は3ドルと100円のたし算と似ています。普通は3+100ではなく、円にして、270+100=370とします。

かけ算 例 5/2×4/3
分解すると5/2の1/3が4個です。5/2の1/3は5/6、5/6が4個だから、答えは5/6+5/6+5/6+5/6=20/6=10/3
かけ算は同じ分数のたし算だから、分母をそろえるとかはありません。

わり算 例 5/2÷3/4
5/2から3/4が何回ひき算できるかなので、5/2を10/4として3/4をひいていきます。
10/4-3/4-3/4-3/4=1/4 3回ひけました。
1/4残りました。3/4はひけないので、1/4(1/3回)をひきます。
1/4-1/4=0 3回と1/3回ひけたので、答えは、10/3です。
わり算は分母をそろえてからでないと計算できないのですが、わる数の分数をひっくり返してかけ算すると分母をそろえるとかしなくても簡単にできてしまいます。

 分母が異なると言うことは、1の長さが違うから、1の長さを合わせるために通分をします。1/2と1/3をたし算するときは、1/2を3/6に、1/3を2/6にして、1の長さを同じにしてから、たし算をします。
 3ドルのものを見たときに、1ドルが90円のとき、270円かと思い浮かぶのではないでしょうか? 分母が異なる分数のたし算は3ドルと100円のたし算と似ています。普通は3+100ではなく、円にして、270+100=370とします。

かけ算 例 5/2×4/3
分解すると5/...続きを読む

Q1/(1+x)+1/(1+x)^2+1/(1+x)^3=1の最小値を少

1/(1+x)+1/(1+x)^2+1/(1+x)^3=1の最小値を少数第7位まで求めよという問題なのですが,
1+x=yと置き換えて考えたのですけれど、躓きました。お力をお貸しください。

Aベストアンサー

他の方も書かれていますが、問題文が意味不明です。書かれていることをよく確認しましょう。

「1/(1+x)+1/(1+x)^2+1/(1+x)^3=1の最小値を少数第7位まで求めよ」
とありますが、「1/(1+x)+1/(1+x)^2+1/(1+x)^3=1」はあくまでも方程式であり、関数ではないので最大とか最小という議論にはなりません。お返事の内容から想像すると、
「方程式1/(1+x)+1/(1+x)^2+1/(1+x)^3=1の実数解を少数第7位まで求めよ」
という趣旨だと解釈しますが、それでよいですか?最大最小という議論をするのであれば、
「関数1/(1+x)+1/(1+x)^2+1/(1+x)^3の[0,1]における最小値を求めよ」
という感じになるはずですからね。

さて、置き換えを使ってもあんまり簡単にならないので、そのまま分母を払って整理すると、
「x^3+2x^2-2=0の実数解を少数第7位まで求めよ」
という感じになりますが、これは[0,1]に実数解をひとつ、さらに虚解がふたつあることは容易に分かります。で、その解ですが、カルダノの公式を使えば、
「3x=-2+(19-3√33)^{1/3}+(19+3√33)^{1/3}」
であることは容易に分かります。ただ、この値を手計算で少数第7位まで計算するのはやはり困難なので、近似計算を手計算するのであれば、ニュートン法あたりを使うのがオーソドックスでしょう。ちなみに、このxを20桁精度で計算すると、
「x=0.83928675521416113255…」
になります。

以下、ニュートン法。f(x)=x^3+2x^2-2とおいて、(x_n,f(x_n))で接線を引き、x軸との交点をx_{n+1}とおいてみましょう。そうすると簡単な計算から、
「x_{n+1}=2(x_n^3+x_n^2+1)/(3x_n^2+4x_n)」
となることが分かります。x_1=1からスタートすれば、x_nは解の近似を与えるから順番に計算していきます。そうすると、
「x_2=6/7=0.8…」
「x_3=811/966=0.839…」
「x_4=2070198913/2466616761=0.839286…」
「x_5=6263804199613897189499314834/7463246811294598892464483629=0.83928675521416…」
となるようですね。しかしニュートン法使ったところで、x_4辺りが手計算の限界のようには感じますが、これでも少数第6位ぐらいまでしか合わないみたいですね。ちなみに精度はステップをひとつ上げると桁数が倍になるぐらいの感じです。

他の方も書かれていますが、問題文が意味不明です。書かれていることをよく確認しましょう。

「1/(1+x)+1/(1+x)^2+1/(1+x)^3=1の最小値を少数第7位まで求めよ」
とありますが、「1/(1+x)+1/(1+x)^2+1/(1+x)^3=1」はあくまでも方程式であり、関数ではないので最大とか最小という議論にはなりません。お返事の内容から想像すると、
「方程式1/(1+x)+1/(1+x)^2+1/(1+x)^3=1の実数解を少数第7位まで求めよ」
という趣旨だと解釈しますが、それでよいですか?最大最小という議論をするのであれば、
「関数1/(1+x)+1/(1...続きを読む

Q分数の足し算で

分数の足し算で
最近通分が出来ない子供が多いようですが
通分しないで足し算すると、正しく通分した場合の答えと大体 2:1になります。
何か法則とかあるのでしょうか?たまたま?

Aベストアンサー

既に「分母が近い場合、2つの分数の値が近い場合に、2:1になる」と言う答えが出ていますが。

どうしてそうなるか、考えて見ます。

1/100 + 1/101を例に取りましょう。

通分して正しく計算した場合は

1/100 + 1/101
=(1*101)/(100*101) + (1*100)/(101*100) …(1)
=101/10100 + 100/10100
=(101+100)/10100 …(2)
=201/10100
となります。

間違って計算した場合は
1/100 + 1/101
=(1+1)/(100+101) …(3)
=2/201
となります。

通分している場合は(1)のように分子分母に100近い値を掛け算していますので、比べやすいよう(3)の式の分子分母を100倍した式(4)を作ります。
=(1+1)/(100+101) …(3)
=(100*(1+1))/(100*(100+101)) …(3)
=(100+100)/(10000+10100) …(4)

ここで、正しく通分した場合の式(2)と、間違った式(4)を比べます。

=(101+100)/10100 …(1)
=(100+100)/(10000+10100) …(4)

分子の方は、ほぼ同じような式になりました(注:※)。なので、分母だけ考えます。

しかし、分子の方が大きく異なり、(1)は「分母がそのまま」ですが、(4)は「近い数2つを足し算」してしまっています。

「近い数2つを足し算」するのは「2倍にする」ような物です。

つまり「分母が2倍になる」のですから「値が半分になる」わけです。

なので「正解の値:不正解の値≒2:1」になる訳です。

簡単に言えば「間違った計算の時は、分母同士も足し算しちゃうから、半分ちかくの値になっちゃう」のです。

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※:「分母が近くない場合」や「2つの分数の値が近くない場合」には、通分する事により、分子の方も「大きく違った式」になってしまいます。その為に比率が2:1にはなりません。

既に「分母が近い場合、2つの分数の値が近い場合に、2:1になる」と言う答えが出ていますが。

どうしてそうなるか、考えて見ます。

1/100 + 1/101を例に取りましょう。

通分して正しく計算した場合は

1/100 + 1/101
=(1*101)/(100*101) + (1*100)/(101*100) …(1)
=101/10100 + 100/10100
=(101+100)/10100 …(2)
=201/10100
となります。

間違って計算した場合は
1/100 + 1/101
=(1+1)/(100+101) …(3)
=2/201
となります。

通分している場合は(1)のように分子分母に100近い値を掛け算しています...続きを読む

Qx≧1の時2(√(x+1)-√x),2(√x-√(x-1)),1/√xの大小関係は

こんにちは。


x≧1の時2(√(x+1)-√x),2(√x-√(x-1)),1/√xの大小関係は?

という問題なのですが
2(√(x+1)-√x) < 1/√x < 2(√x-√(x-1))
という大小関係になると思います。
単に引き算してもなかなか2乗の形に持ってけません。
どうやって証明するのでしょうか?

Aベストアンサー

ヒントのみ
1/√xに着目して
分子の有理化をしてください。
そして、逆数の大小の比較(差をとって比較)してください。
大小関係が決まりますので、その逆数をとってもとの大小関係が決まります。
ただし、不等号の両辺が1より大か、小かを確認して逆数の不等号を考えてください。

結果の大小関係は正しいですね。

Q分数の足し算なのですが、ちょっと混乱してしまったので教えてください。

分数の足し算なのですが、ちょっと混乱してしまったので教えてください。
3と1/3+2と5/12などのような足し算は(3+2)+(4/12+5/12)=5と9/12のように計算して良いのでしょうか?

Aベストアンサー

はい。それでよいです。

3と1/3 + 2と5/12 = 3+1/3 + 2+5/12
 = 3 + 2 + 1/3 + 5/12

もしも足した分数が仮分数になってしまったら、また真分数に直さないといけませんね。

Qx[1]・x[2]・…・x[n]=1 ならば x[1] + x[2] + … + x[n] ≧ n

x[k]>0 (k=1,2,…,n)とする。

このとき、
x[1]・x[2]・…・x[n]=1 ならば x[1] + x[2] + … + x[n] ≧ n

と予想しましたが、証明できるのでしょうか?

また、
x[1] + x[2] + … + x[n] = 1 とすると、x[1]・x[2]・…・x[n] に関する何らかの不等式はあるのでしょうか?

Aベストアンサー

そのまま相加相乗平均ですね。

( x[1] + x[2] + … + x[n])/n≧(x[1]・x[2]・…・x[n])^(1/n)=1
x[1] + x[2] + … + x[n]≧n

反対も同じです。

1/n≧(x[1]・x[2]・…・x[n])^(1/n)
x[1]・x[2]・…・x[n]≦(1/n)^n

Q分数の足し算、引き算は通分するのに、掛け算割り算はしなくていいのはなぜ?

分数の足し算引き算は通分して分母をそろえないといけないのですが、なざかけざん割り算は通分しなくてもいいのでしょうか?

できるだけわかりやすく簡単に説明するにはなんて言ったらよいでしょうか??

Aベストアンサー

通分しても構わないのですよ。

例えば、(1/6)÷(1/4) の場合。
通分して (2/12)÷(3/12)、
割って (2×12)/(12×3) = 2/3。
割るとき、分子分母に共通の 12 を
約分しています。

通分せずに (1×4)/(6×1) としても、
2 で約分することは必要ですから、
手間はあまり違いませんね。

Qf(x)=x^4+x^3+(1/2)x^2+(1/6)x+1/24

f(x)=x^4+x^3+(1/2)x^2+(1/6)x+1/24
g(x)=x^5+x^4+(1/2)x^3+(1/6)x^2+(1/24)x+1/120
(1)すべのxについてf(x)>0を示せ。
(2)g(x)=0はただ1つの実数解αをもち、-1<α<0を示せ。
これで、(1)は分かりましたが、(2)については、(1)を利用するのだろう
と思うのですか、その利用の仕方がわかりません。
よろしくおねがいします。

Aベストアンサー

>、(1)は分かりましたが、(2)については、(1)を利用するのだろう
>と思うのですか、その利用の仕方がわかりません。

g(x)=xf(x)+1/120 とおけるので、

(1)の結果
【1】f'(x)は単調増加
【2】f(x)はただ一つの極小値f(p)をもつ。
【3】すべてのxについて f(x)>0
を利用して、

g'(x)=f(x)+xf'(x) より
f(x)=g'(x)-xf'(x)>0 (【3】より)
これから、
g'(x)>xf'(x)>xf'(p)>-f'(p)
∴g'(x)>0
g(x)は単調増加。
g(0)=1/120>0,  g(-1)=-11/6<0
したがって、
∃α (-1<α<0) [ g(α)=0 ]

こんな風に利用できないですか。


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