ベクトルについての問題です。

よろしくお願いします。

「ベクトルについて」の質問画像

A 回答 (2件)

lとcの内積が0になるので、


c=(x,y,z)とすると
2x-3y+6z=0
x=(3/2)y-3z
c=((3/2)y-3z,y,z)
また
b=k(2,-3,6)とおけるので
a=((3/2)y-3z+2k,y-3k,z+6k)
z=10-6k
y=-8+3k
7=(3/2)(-8+3k)-3(10-6k)+2k
7=-12+(9/2)k-30+18k+2k
49=(49/2)k
k=2
z=-2
y=-2
x=3
b=(4,-6,12)
c=(3,-2,-2)
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回答No.1ですんでいますが、蛇足の付け足しをさせてください。



質問のような状況は、大学入試では、四面体の体積を求めるような問題で、底面の法線ベクトル、四面体の高さを求めるようなときに起こります。
回答No.1を整理すると、もう少し要領よく解答できる便利な考え方ができます。

以下、ベクトルを全角大文字、スカラーを半角小文字で表示します。

直線l(エル)の方向ベクトルをL,AのLに沿う方向の成分がB,Lに垂直な方向の成分がCです。
B=kL
なので、
C=A-kL
です。
C⊥Lなので、
C ・L=(A-kL) ・L=A・L-kL・L=0
∴ k=(A・L)/(|L|^2)
四面体の体積を求めるような問題では、底面にない頂点から、底面の1頂点に向かうベクトルAの、底面の法線ベクトルLへの正射影の大きさkが四面体の高さになりますが、これを、内積をLの大きさの2乗で割って求めることができる、というわけです(受験生の方は、結果の式でなく、道筋を覚えましょう)。

この質問では、Cを成分表示しなくても、
A・L=(7, -8, 10)・(2, -3, 6)=14+24+60=98
|L|^2=|(2, -3, 6)|=4+9+36=49
k=98/49=2
B=2L=(4, -6, 12)
C=A-B=(7, -8, 10)-(4, -6, 12)=(3, -2, -2)
と求めることができます(シュミットの直交化法と言います)。
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