「Xの分布=Yの分布=Exp(1)のとき、P(Y≧3X)を求めよ」

という問題についてですが、まず
Xの確率密度関数:f(x)=e^(-x) (x>0)
Yの確率密度関数:g(y)=e^(-y) (y>0)
と表せます。

解答では、

P(Y≧3X)
=∫[-∞~∞]P(Y≧3X|X=t)*f(t)dt
=∫[0~∞]P(Y≧3X|X=t)*e^(-t)dt  (★)
=∫[0~∞]P(Y≧3t)*e^(-t)dt    (▲)
=∫[0~∞]{∫[3t~∞]g(u)du}*e^(-t)dt
=∫[0~∞]{∫[3t~∞]e^(-u)du}*e^(-t)dt
=1/4

となっています。
疑問なのは★→▲への計算なのですが、
条件付確率の条件が外れるということは、XとYが独立だということになります。
しかし、問題文の1行からはXとYが独立とは、私には読み取れないのです。

私が読み取れないだけで、独立という設定なのでしょうか?
それとも、指数分布の性質により独立と判断できるのでしょうか?

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A 回答 (3件)

たとえば


「二つサイコロを投げました。片方のサイコロの目がもう片方のサイコロの目の2倍になっている確率を求めなさい」
という問題があったら、おそらく、サイコロのどの目が出るかはたがいに独立でしょう。
まぁあくまで「おそらく」ですが、分布が等しいからと言ってそこから独立であるかどうかについて何か情報が得られるわけではないので、普通は独立と考えるんだと思います。
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 確率分布が独立であることと、重積分の変数が独立であることを混同していませんか?



 ★→▲の変形では、確かに変数uは変数tに従属しますが、そのことと確率分布が独立であることとは無関係です。
 確率分布は独立ですが、積分区間が従属関係にあるだけです。
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というか独立じゃなかったら、P(Y≧3X)=1/4 なんて成り立たないです。


極端な話、X=Y なら、P(Y≧3X)= 0 ですね。
問題に、どっか、独立って書いてあるのでは?
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