以前お世話になりました、大学受験生です。
数学本の中に「明らか」としか述べられていない話があって、
もやもやしているので質問させていただきます。
その文章は以下のもので、

実数全体で連続な関数f(x)が原点を除いたところで何回でも微分可能
で(c^∞級と言うらしいです)、lim[x→0]f'(x)がある実数aに
収束しているならばf(x)は原点でも微分可能であって、
またf'(x)は実数全体で連続(つまりf'(0)=a)となっている。

です。
どう証明したらよいのでしょうか。恥ずかしながら見当がつかないのです。

それから勝手に自分で進めていることなのですが、
たとえば関数e^(-1/x^2)というのがあったとして、
原点以外でc^∞級であることを既知としていれば、原点でも
微分可能であるということになるのですか。

わかる方、長くなってもよいので詳しいご教授願います。
よろしくお願いいたします。

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A 回答 (1件)

>実数全体で連続な関数f(x)が原点を除いたところで何回でも微分可能


で(c^∞級と言うらしいです)、
>lim[x→0]f'(x)がある実数aに収束しているならばf(x)は原点でも微分可能であって、
>またf'(x)は実数全体で連続(つまりf'(0)=a)となっている。

平均値の定理より、
(平均値の定理は、閉区間で連続、開区間で微分可能なら成り立ちます)
{f(h)-f(0)}/h = f'(y) (0<y<h)
ですから、
lim[h→0] {f(h)-f(0)}/h = lim[y→0] f'(y) = a
になるのは、まあ「明らか」ではないでしょうか。
厳密に証明するには、大学で習うε-δ論法を使わないといけません。
高校だと、いまいち、limというのが本当はどういう意味なのかを勉強しないので、「明らか」とごまかす以外に方法がありません。

>たとえば関数e^(-1/x^2)というのがあったとして、
>原点以外でc^∞級であることを既知としていれば、原点でも
>微分可能であるということになるのですか。
上の条件で考えれば、原点での関数の値を連続になるように定義すれば、原点で微分可能、と言えますね。
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この回答へのお礼

よくわかりました。
ご丁寧にありがとうございました。

お礼日時:2009/05/15 16:49

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