LTIシステムの
伝達関数が H(s) = 3/(2+s) で、
システムの出力が y(t) = 1 + cos(2t) である場合の入力をもとめよ。
という問題で、

三角関数によるフーリエ級数展開 (基本周期T0)
       ∞
x(t) = a0/2 + Σ (ak cos kω0t + bk sin kω0t), ω0 = 2π/ T0
       h = 1     
ak = 2 / T0 ∫_T0 x(t) cos kω0t dt

Bk = 2 / T0 ∫_T0 x(t) sin kω0t dt


を使って解く方法を教えてください。

(複素フーリエ展開を使えば解けたのですが、三角関数によるフーリエ級数展開では、最初にどのようにx(t)を置けばいいのかわかりません。)

よろしくお願いします。

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A 回答 (2件)

フーリエ級数は周期関数で全てのtについて、入出力を扱います。


一方、伝達関数H(s)を扱うs領域はラプラス変換で
Y(s)=H(s)X(s)→X(s)=Y(s)/H(s), x(t)=L^-1{X(s)} (t≧0)
で扱えるのはt≧0だけです。
なので、
出力y(t)=1+cos(2t)
およびx(t)のフーリエ級数展開のt<0に対する伝達関数H(s)を
どう扱うかが難しいところです。

Y(jω)=H(jω)X(jω)
H(jω)=3/(2+jω)

LTIシステムでは周波数成分ごとに扱えますので
入力と出力を周波数成分に分けて考えます。
Y(jkω0)=H(jkω0)X(jkω0)

直流分(a0/2)について
1=(3/2)a0/2
a0/2=2/3

a1,b1(k=1)の成分(ω0の成分)
出力のcos2t成分をフーリエ級数展開の基本波成分と考えると
kω0=2, ω0=2とすれば k=1,T0=2π/ω0=πとなります。
H(jω0)=H(j2)=3/(2+j2)=(3/√8)e^(-jπ/4)
(3/√8)*√(a1^2+b1^2)e^{-j(π/4)-jtan-1(b1/a1)}=1e^(j0)
a1^2+b1^2=8/9
b1/a1=-tan(π/4)=-1
b1=-a1
a1=2/3,b1=-2/3

k≧2に対して出力にω0=2より大きな周波数成分が含まれていない以上
LTIシステムでは入力にもk=2以上の成分のak,bkは含まれません。
つまり ak=bk=0

したがって
x(t)=(2/3)+(2/3){cos(2t)-sin(2t)}
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フーリエ展開を使うとすると、


1. H(s)の周波数応答H(jω)から、あるωにおける伝達関数の絶対値|H|と位相角∠(H)を求める。
2. y(t)をそれぞれの周波数成分に分解する。(今回の例だと、ω=0とω=2。)
3. それぞれの成分(ω=0、ω=2)に関して、1.で求めた伝達関数の絶対値と位相から、入力の成分を計算する。
4.入力の成分を合成する。
といった手順でしょう。

(直接的には、y(t)をラプラス変換してY(s)をもとめ、入力信号X(s)=Y(s)/H(s)を計算して、X(s)を逆ラプラス変換する、という手もありますが。)
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Qラプラス変換で連立微分方程式を解くとき

お願いします。

連立微分方程式をラプラス変換で解くとき、
たとえばx'をラプラス変換すると
sL(x) - x(0)
のようにx(0)が出てきますよね。
ラプラス変換の問題集の場合たいてい初期条件が付いているのですが、
初期条件がない場合はこのままx(0)を答えに使用してもよいのでしょうか。

たとえば演算子法で解く問題の場合、
x' = x - 4y
y' = x + 5y
となっていて、問題集の回答の通り微分演算子で解けば
答えは
x = {(C2 - 2C1) - 2C2t}exp(3t)
y = (C1 + C2t)exp(3t)
(C1,C2は任意定数)
となります。一方ラプラス変換で解くと
x = (x0 - (2x0 + 4y0)t)exp(3t)
y = (y0 + (x0 + 2y0)t)exp(3t)
(x0 = x(0),y0 = y(0))
となります。
これは実は C1 = y0, C2 = x0 + 2y0
と置き直すと同じになります。ここで質問です。

(1)このような問題でふつうは任意定数を使うべきでしょうが、
x(0),y(0)を使ったら不正解なのでしょうか。

(2)そもそもx(0),y(0)は任意定数になるのでしょうか。

(3)なんだかラプラス変換があれば微分演算子法は
いらない子のような気もしなくはないのですが
気のせいでしょうか?

以上です。よろしくお願いいたします。

お願いします。

連立微分方程式をラプラス変換で解くとき、
たとえばx'をラプラス変換すると
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のようにx(0)が出てきますよね。
ラプラス変換の問題集の場合たいてい初期条件が付いているのですが、
初期条件がない場合はこのままx(0)を答えに使用してもよいのでしょうか。

たとえば演算子法で解く問題の場合、
x' = x - 4y
y' = x + 5y
となっていて、問題集の回答の通り微分演算子で解けば
答えは
x = {(C2 - 2C1) - 2C2t}exp(3t)
y = (C1 + C2t)exp(3t)
(C1,C2は任意定数)
とな...続きを読む

Aベストアンサー

(A) C1、C2は初期条件(境界条件)によって決まる定数であって、全く自由に決められる定数ではありません。普通任意定数といっているのは、初期条件によってどんな値にでも任意に決まられる定数の意味です。

(B) 一方、x(0),y(0)はそれぞれ、変数x(t),y(t)の初期値という事です。
具体的な初期値(境界値)が決まればそれで置き換えることができる値です。
全く何も制約のない任意定数ではありません。

(A)は数学者、純粋数学で使われる傾向にあり、実際の物理量と無関係な定数として扱われ、
(B)は現実的な初期の物理量の初期値をあらわす物理量で工学や実験系の物理学でで採用される傾向にあります。

実際、初期条件(境界条件)を与えてやれば、時間関数の変数(物理変数)の式は同じになります。

> (3)なんだかラプラス変換があれば微分演算子法は
いらない子のような気もしなくはないのですが
気のせいでしょうか?

あなたがどちらの立場を取るかの違いだけです。
数学分野の人なら演算子法をより好んで使い、工学系の人ならラプラス変換をより好んで使うということですね。

工学分野の人が、数学分野の人に演算子法はいらない(不要だ)、ラプラシ変換法を使え。といっても、結論はでないでしょうね。
逆のことを言われるだけでしょう。

(A) C1、C2は初期条件(境界条件)によって決まる定数であって、全く自由に決められる定数ではありません。普通任意定数といっているのは、初期条件によってどんな値にでも任意に決まられる定数の意味です。

(B) 一方、x(0),y(0)はそれぞれ、変数x(t),y(t)の初期値という事です。
具体的な初期値(境界値)が決まればそれで置き換えることができる値です。
全く何も制約のない任意定数ではありません。

(A)は数学者、純粋数学で使われる傾向にあり、実際の物理量と無関係な定数として扱われ、
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Aベストアンサー

コンデンサーにたまっていた電荷が放電する場合ですからそれに合わせて考える必要があります。
#2に場面の説明と図があります。(抵抗Rを入れておく方が分かりやすいでしょう。)
その図で言うと電流の向きは反時計回りです。
この向きは+Qのある極板(Aとします)から-Qのある極板(Bとします)に向かって電荷が移動するということで決まります。逆は起こりません。電流が流れれば極板の上の電荷は減少します。
I=-dQ/dtです。
この式の中でのQは一般的な電荷の意味ではありません。極板Aの上の電荷の意味です。
だからこの式は方程式なのです。(定義式ではありません。)
(この場面でI=dQ/dtは出てきません。電荷が増加する方向に電流が流れるということが起こらないからです。起こるとしたら電池を接続しての充電の場合です。#2の図でいえばスイッチの入っている方向が違うのです。1つの場面に両方の式が出てくるということはありません。)

極板に電荷がたまっていればQ=CVで決まる電位差が存在します。
電流Iはこの電位差とも関係します。I=V/Rです。
I=Q/(CR)ですから微分方程式は Q/(CR)=-dQ/dtになります。
変数分離で解くと初期値をQoとして
Q=Qoexp(-t/(CR))

放電によって電荷が(指数関数で)減少するという結果が出てきました。
-をつけた式で考えたので矛盾のない結果になったのです。

充電の場合でしたら
I=dQ/dt
Q=CV
I=(E-V)/R  ・・・  (Eは電池の起電力)

t=0でQ=0という条件で解くと
Q=CE(1-exp(-t/(CR)))

t→∞でQ=CEです。
充電できました。

コンデンサーにたまっていた電荷が放電する場合ですからそれに合わせて考える必要があります。
#2に場面の説明と図があります。(抵抗Rを入れておく方が分かりやすいでしょう。)
その図で言うと電流の向きは反時計回りです。
この向きは+Qのある極板(Aとします)から-Qのある極板(Bとします)に向かって電荷が移動するということで決まります。逆は起こりません。電流が流れれば極板の上の電荷は減少します。
I=-dQ/dtです。
この式の中でのQは一般的な電荷の意味ではありません。極板Aの上...続きを読む

Qラプラス変換を初等的関数に適用したら

数学は中学程度なのですが、今はラプラス変換にあこがれています。この変換はたとえばy=xのような関数に施すとラプラス変換について何かわかるでしょうか。

Aベストアンサー

ラプラス変換を私なりに分類すると

h:t<0でh(t)=0,0<tでh(t)=1
T:決まった時間、負であっても正であってもよい
とすると
(1)片側ラプラス変換:F(s):=∫[0<t<∞]dt・f(t)・e^(-s・t)
(2)擬似両側ラプラス変換:F(s):=∫[-∞<t<∞]dt・f(t)・h(t-T)・e^(-s・t)
(3)両側ラプラス変換:F(s):=∫[-∞<t<∞]dt・f(t)・e^(-s・t)

(1)
通常のラプラス変換
初心者向き
δ関数が変な妥協しないと変換できない
公式が汚く(2)より多い
変換と原関数が1対1
(2)
最も有用
中級者向き
Tを自在に設定できるので便利
変換できる関数を多くするにはTを大きな負にとる
そのためδ関数を問題なく変換できる
公式が綺麗で(1)より少ないので楽
変換と原関数が1対1
(3)
変換できる関数が最も広く万能だが扱いにくい
上級者向き
欠点はtの一次以上の多項式を変換できない
変換と原関数が1対1に対応するとは限らない
公式は適用できない
複素関数論(留数定理、ジョルダンの補助定理)を熟知していないと扱えない

f(t)=tの変換は
(1)F(s)=1/s^2
(2)F(s)=(T/s+1/s^2)・e^(-s・T)
(3)変換できない

ラプラス変換を私なりに分類すると

h:t<0でh(t)=0,0<tでh(t)=1
T:決まった時間、負であっても正であってもよい
とすると
(1)片側ラプラス変換:F(s):=∫[0<t<∞]dt・f(t)・e^(-s・t)
(2)擬似両側ラプラス変換:F(s):=∫[-∞<t<∞]dt・f(t)・h(t-T)・e^(-s・t)
(3)両側ラプラス変換:F(s):=∫[-∞<t<∞]dt・f(t)・e^(-s・t)

(1)
通常のラプラス変換
初心者向き
δ関数が変な妥協しないと変換できない
公式が汚く(2)より多い
変換と原関数が1対1
(2)
最も有用
中級者向き
Tを自在に設定できるので便利
変換...続きを読む

Q(1)  x(t)=5・sin(3 t +2) を複素数の指数関数を用

(1)  x(t)=5・sin(3 t +2) を複素数の指数関数を用いて表せ。
     
     わからないのでお願いします。

Aベストアンサー

x(t)=Im{5exp(i(3t+2))}

Qラプラス変換とフーリエ変換について教えて下さい。

ラプラス変換とフーリエ変換の違いは後者が虚数だけなのに対して、前者はそれを拡張して複素数に使えるようにしたものであるということ分かるのですが、その使い分け方がさっぱり分かりません。

・一般的に微分方程式を解くときにはラプラス変換を用いますが、これをフーリエ変換でしないのはなぜなのでしょうか?

・逆格子ベクトルを作るときや、スペクトラムアナライザーではフーリエ変換を使いますが、これをラプラス変換でしてはいけないのでしょうか?

・計算機用にフーリエ変換にはFFTというものがありますが、ラプラス変換を離散的にしたZ変換の計算機用に速くしたものがないのはなぜなのでしょうか?

よろしくお願い致します。

Aベストアンサー

お世話さまです。
>一般的に微分方程式を解くときにはラプラス変換を用いますが、これをフーリエ変換でしないのはなぜなのでしょうか?
無限に続く関数はフーリエ変換できないため。sin関数が例です。
積分した値が無限無限大以下となるような関数しか扱えません。

ラプラス変換でもスペクトラムアナライザー変換できます。
フーリエ変換の中にラプラス変換があるイメージで考えるとわかりやすいです。まず使用はないです。積分・微分演算子の分野として確立してます。

Qi(t)=I・sin(ωt+θ)を複素数表示したら、i=I・e^jθ

i(t)=I・sin(ωt+θ)を複素数表示したら、i=I・e^jθ
になると書いてあったのですが、どうしたらこうなるのかが分かりません。
分かりやすく教えて下さい。

Aベストアンサー

i(t)=I・sin(ωt+θ)が与えられた時
I・cos(ωt+θ)も同時に取り上げ
i=I・cos(ωt+θ)+j・I・sin(ωt+θ)
について考えます。
オイラーの公式により
i=I・e^j・(ωt+θ)
ωtの部分は周期ωの周期関数(正弦波)であることを示しているだけで、
交流理論においてはθの部分が大事であって、この部分だけで必要な議論ができることから
ωtの部分を省略して記述します。よって
i=I・e^j・θ

オイラーの式により
i=I・e^jθ=I(cosθ+jsinθ)=Icosθ+jIsinθ

Qラプラス変換についての質問です

ラプラス変換についての質問です。
f(t)cos(ωt)のラプラス変換のやり方がわかりません。やり方だけでも
結構ですので、わかる方いましたら、是非教えてください。よろしくお願いします。

Aベストアンサー

ヒントのみ
オイラーの公式から
cosωt=(1/2)e^(iωt)+(1/2)e^(-iωt)
この式をラプラス変換の定義式にいれてラプラス変換するだけ。

ラプラス変換の定義式に上の式を代入して指数部をtで括って見てください。そしてラプラス変換の定義式とじっくりと比較してください。
分からなければ、以上の計算式を書いた上で、分からない箇所を質問して下さい。

Q写真の例題4.2の初期条件がθ(π/2ω)=θ0、v(π/2ω)=v0の場合について、θ(t)とv(

写真の例題4.2の初期条件がθ(π/2ω)=θ0、v(π/2ω)=v0の場合について、θ(t)とv(t)の式と振動周期Tを求めよ。
この問題を詳しく教えていただきたいです。お願いします。

Aベストアンサー

No.1です。「補足」を見ました。

ご質問は単に「一般式に初期条件を入れて、その条件下での変位、速度の式を作る」だけのことなので、一体何が分からないのか理解できません。

(1) 画像に書かれた初期条件の場合

一般式
 x(t)=Acosωt+Bsinωt
に t=0 を代入して
 x(0) = A = θ0
より
 x(t)=θ0*cosωt+Bsinωt
これを微分して
 v(t) = -θ0*ω*sinωt + B*ω*cosωt
t=0 のとき
 v(0) = B*ω = v0
より
 B = v0/ω

よって
 x(t)=θ0*cosωt+(B/ω)*sinωt
 v(t) = -θ0*ω*sinωt + v0*cosωt


(2) 質問文に書かれた初期条件の場合

一般式
 x(t)=Acosωt+Bsinωt
に t=π/2ω を代入して
 x(π/2ω) = Acos(π/2) + Bsin(π/2) = B = θ0
より
 x(t)=Acosωt+θ0*sinωt
これを微分して
 v(t) = -A*ω*sinωt + θ0*ω*cosωt
t=π/2ω のとき
 v(π/2ω ) = -A*ω*sin(π/2) + θ0*ω*cos(π/2) = -A*ω = v0
より
 A = -v0/ω

よって
 x(t) = -(v0/ω)*cosωt+θ0*sinωt
 v(t) = v0*sinωt + θ0*ω*cosωt


そもそも単振動の基本はきちんと勉強しましたか?

高校レベルならこちら。
http://wakariyasui.sakura.ne.jp/p/mech/tann/tannhuriko.html

大学レベルならこちら。
https://www.sit.ac.jp/user/konishi/JPN/L_Support/SupportPDF/SimplePendulum.pdf

これを学んだ上で、どこが分からないのか、何を知りたいのかを説明してください。

No.1です。「補足」を見ました。

ご質問は単に「一般式に初期条件を入れて、その条件下での変位、速度の式を作る」だけのことなので、一体何が分からないのか理解できません。

(1) 画像に書かれた初期条件の場合

一般式
 x(t)=Acosωt+Bsinωt
に t=0 を代入して
 x(0) = A = θ0
より
 x(t)=θ0*cosωt+Bsinωt
これを微分して
 v(t) = -θ0*ω*sinωt + B*ω*cosωt
t=0 のとき
 v(0) = B*ω = v0
より
 B = v0/ω

よって
 x(t)=θ0*cosωt+(B/ω)*sinωt
 v(t) = -θ0*ω*sinωt + v0*cosωt


(2) 質問文に書かれた初期...続きを読む


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