LTIシステムの
伝達関数が H(s) = 3/(2+s) で、
システムの出力が y(t) = 1 + cos(2t) である場合の入力をもとめよ。
という問題で、

三角関数によるフーリエ級数展開 (基本周期T0)
       ∞
x(t) = a0/2 + Σ (ak cos kω0t + bk sin kω0t), ω0 = 2π/ T0
       h = 1     
ak = 2 / T0 ∫_T0 x(t) cos kω0t dt

Bk = 2 / T0 ∫_T0 x(t) sin kω0t dt


を使って解く方法を教えてください。

(複素フーリエ展開を使えば解けたのですが、三角関数によるフーリエ級数展開では、最初にどのようにx(t)を置けばいいのかわかりません。)

よろしくお願いします。

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A 回答 (2件)

フーリエ級数は周期関数で全てのtについて、入出力を扱います。


一方、伝達関数H(s)を扱うs領域はラプラス変換で
Y(s)=H(s)X(s)→X(s)=Y(s)/H(s), x(t)=L^-1{X(s)} (t≧0)
で扱えるのはt≧0だけです。
なので、
出力y(t)=1+cos(2t)
およびx(t)のフーリエ級数展開のt<0に対する伝達関数H(s)を
どう扱うかが難しいところです。

Y(jω)=H(jω)X(jω)
H(jω)=3/(2+jω)

LTIシステムでは周波数成分ごとに扱えますので
入力と出力を周波数成分に分けて考えます。
Y(jkω0)=H(jkω0)X(jkω0)

直流分(a0/2)について
1=(3/2)a0/2
a0/2=2/3

a1,b1(k=1)の成分(ω0の成分)
出力のcos2t成分をフーリエ級数展開の基本波成分と考えると
kω0=2, ω0=2とすれば k=1,T0=2π/ω0=πとなります。
H(jω0)=H(j2)=3/(2+j2)=(3/√8)e^(-jπ/4)
(3/√8)*√(a1^2+b1^2)e^{-j(π/4)-jtan-1(b1/a1)}=1e^(j0)
a1^2+b1^2=8/9
b1/a1=-tan(π/4)=-1
b1=-a1
a1=2/3,b1=-2/3

k≧2に対して出力にω0=2より大きな周波数成分が含まれていない以上
LTIシステムでは入力にもk=2以上の成分のak,bkは含まれません。
つまり ak=bk=0

したがって
x(t)=(2/3)+(2/3){cos(2t)-sin(2t)}
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フーリエ展開を使うとすると、


1. H(s)の周波数応答H(jω)から、あるωにおける伝達関数の絶対値|H|と位相角∠(H)を求める。
2. y(t)をそれぞれの周波数成分に分解する。(今回の例だと、ω=0とω=2。)
3. それぞれの成分(ω=0、ω=2)に関して、1.で求めた伝達関数の絶対値と位相から、入力の成分を計算する。
4.入力の成分を合成する。
といった手順でしょう。

(直接的には、y(t)をラプラス変換してY(s)をもとめ、入力信号X(s)=Y(s)/H(s)を計算して、X(s)を逆ラプラス変換する、という手もありますが。)
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