数学の問題が解けません。

数学の問題が解けません。どのようにしていたらいいのか見当もつかず、困っています。
だれかわかるかた、教えていただませんか?

問 直角をはさむ辺の長さを12cm,5cmとし、斜辺の長さを13cmとする。このとき、辺13cm,12cmをはさむ角の大きさは何度か?

自分の考え
cosθ = 12/13 の12/13の値に最も近い、θの値を探していけばいいと思思ったため、関数電卓でθの値は求めることができる。

でも、手で計算するにはどのようにしたらいいのでしょうか?





このような問題ですが、どのようにしたらいいのでしょうか?
ぜひ、アドバイスをお願いしします。

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A 回答 (3件)

cosθ=12/13


sinθ=5/13
θ=arcsin(5/13)[rad]=(180/π)arcsin(5/13)[°]
マクローリン展開
arcsin(x)=x+(1/6)x^3+(3/40)x^5+ ...
を利用して
aricsin(x)≒x-(1/6)x^3=x{1-(x^2)/6}
x{1-(x^2)/6}で近似して
x=5/13
とおくと
arcsin(5/13)≒22.62

手計算による近似計算では
x{1-(x^2)/6}=(5/13){1-(1/6)*(5/13)^2}[rad]
=(180/3.14159)*(5/13){1-(1/6)*(5/13)^2}[°]
=22.58[°]
となります。
有効桁数が3桁なら、22.6[°]で理論値と同じです。

有効桁数が4桁までなら、マクローリン展開の項数を3項使ってやれば
手計算で計算できます。
θ=(180/3.14159)x{1+(1/6)(x^2)+(3/40)(x^2)^2}[°]
この式でx=5/13 を代入して計算すればいいですね。
この近似式の計算で
θ≒22.62[°]
と有効桁数4桁の精度で角度の手計算ができますね。
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>でも、手で計算するにはどのようにしたらいいのでしょうか?



余弦定理を使うと良い。求める角をθとすると、cos(θ)=0.92.
従って、かなり0°に近い。cosθの近似値表を見れば良いんじゃないか。
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 関数電卓を使うなら、



>最も近い、θの値を探していけばいい

という風に使うより、cos^-1 とか Arccos みたいな逆三角関数で求める方がよさそうです。

Google で検索欄に arccos(12/13)/degrees として検索すると

arccos(12 / 13) / degrees = 22.6198649

となり、約22.6°となるみたいですね。

>でも、手で計算するにはどのようにしたらいいのでしょうか?

 手で計算せよ、というような指示があるのでしょうか。
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